Simplifier les racines carrées

Apprends à simplifier les racines carrées en trouvant et en extrayant les facteurs carrés parfaits.

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Simplifier une racine carrée signifie la réécrire sous sa forme la plus simple en extrayant les facteurs carrés parfaits.
Une racine carrée est sous forme simplifiée quand :
  • Le nombre sous le radical n'a pas de facteurs carrés parfaits autres que 1
  • Il n'y a pas de fractions sous le radical
  • Il n'y a pas de radicaux au dénominateur
Propriété clé :
a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}
Nous utilisons cela pour séparer les carrés parfaits :
72=36×2=36×2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Essaie tout de suite

Combien fait 36\sqrt{36} ?

Exemples résolus

Simplifie 72\sqrt{72}
1

Liste les carrés parfaits inférieurs à 72

1,4,9,16,25,36,49,641, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 → Carrés parfaits à vérifier
2

Trouve lesquels divisent 72 exactement

72÷4=1872 \div 4 = 18 \checkmark, 72÷9=872 \div 9 = 8 \checkmark, 72÷36=272 \div 36 = 2 \checkmark → 4, 9 et 36 sont des facteurs
3

Choisis le plus grand : 36

72=36×2\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} → Factorise avec 36
4

Applique la règle du produit

36×2=36×2\sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} → Sépare les racines
5

Simplifie le carré parfait

36=6\sqrt{36} = 6 → 626\sqrt{2}

Erreurs courantes

S'arrêter trop tôt : écrire 72=218\sqrt{72} = 2\sqrt{18} au lieu de 626\sqrt{2}

Pourquoi c'est faux: 18 a encore un facteur carré parfait (9). Vérifie toujours si le radicande restant peut être simplifié davantage.

Correct: Continue à simplifier : 218=29×2=2×32=622\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Écrire 50=252\sqrt{50} = 25\sqrt{2} au lieu de 525\sqrt{2}

Pourquoi c'est faux: On prend la RACINE CARRÉE de 25, pas 25 lui-même. 25=5\sqrt{25} = 5, pas 25.

Correct: 50=25×2=25×2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}

Penser que a+b=a+b\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}

Pourquoi c'est faux: Les racines carrées NE se distribuent PAS sur l'addition ! Seulement sur la multiplication.

Correct: 9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, mais 9+16=3+4=7\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7. Ce n'est pas égal !

Visuel interactif

Simplifier les racines

72\sqrt{72}
Simplifie la racine : cherche le plus grand facteur sous la racine dont tu peux prendre la racine.

Étape 1 sur 4

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Combien fait 36\sqrt{36} ?

Pourquoi c'est important

Simplifier les racines carrées est essentiel en mathématiques car :
  • Réponses exactes : 626\sqrt{2} est exact, tandis que 8,485...8,485... est une approximation
  • Calculs plus faciles : Les formes simplifiées rendent les opérations suivantes beaucoup plus simples
  • Reconnaître les motifs : Voir que 50=52\sqrt{50} = 5\sqrt{2} aide à comparer les valeurs
  • Applications réelles : Utilisé en géométrie (diagonale d'un carré), en physique (formules de vitesse) et en ingénierie
Les radicaux simplifiés sont la façon standard d'exprimer les nombres irrationnels en mathématiques !

Applications dans le monde réel

Diagonale d'un carré

Trouver la diagonale d'un carré utilise le théorème de Pythagore et nécessite de simplifier les racines carrées.

Exemple:

Un carré a un côté de 6 cm. Sa diagonale est 62+62=72=62\sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} cm.

1Essaie par toi-même

Un jardin carré a des côtés de 10 mètres.

Quelle est la longueur exacte du chemin diagonal à travers le jardin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le théorème de Pythagore : 102+102\sqrt{10^2 + 10^2}

Tailles d'écran

Les tailles de télévision et d'écran sont mesurées en diagonale, ce qui implique des racines carrées.

Exemple:

Un écran fait 40 cm de large et 30 cm de haut. La diagonale est 402+302=2500=50\sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{2500} = 50 cm.

2Essaie par toi-même

Un écran de tablette fait 24 cm de large et 18 cm de haut.

Quelle est la mesure de la diagonale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule 242+182\sqrt{24^2 + 18^2}

Points clés

  • 1Pour simplifier n\sqrt{n}, trouve le plus grand facteur carré parfait de nn
  • 2Utilise la règle du produit : a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}
  • 3La décomposition en facteurs premiers aide à trouver les facteurs carrés parfaits (paires de nombres premiers)
  • 4Une racine carrée est simplifiée quand il n'y a plus de facteurs carrés parfaits sous le radical
  • 5Vérifie toujours si ta réponse peut être simplifiée davantage

Questions fréquentes

Vérifie le nombre sous le radical. Si son seul facteur carré parfait est 1 (pas de facteurs premiers répétés), elle est complètement simplifiée. Par exemple, 30\sqrt{30} est simplifié car 30=2×3×530 = 2 \times 3 \times 5 n'a pas de nombres premiers répétés.
Vérifie le nombre sous le radical. Si son seul facteur carré parfait est 1 (pas de facteurs premiers répétés), elle est complètement simplifiée. Par exemple, 30\sqrt{30} est simplifié car 30=2×3×530 = 2 \times 3 \times 5 n'a pas de nombres premiers répétés.
Utiliser le plus grand facteur carré parfait te donne la réponse en une seule étape. Tu peux utiliser des facteurs plus petits, mais tu devras simplifier plusieurs fois. Les deux méthodes donnent la même réponse finale.
Non. Si le nombre sous le radical n'a pas de facteurs carrés parfaits autres que 1 (comme 2, 3, 5, 6, 7, 10, etc.), la racine carrée est déjà sous forme simplifiée.

Glossaire

Radicande
Le nombre sous le signe radical. Dans 72\sqrt{72}, le radicande est 72.
Carré parfait
Un nombre qui est le carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
Forme simplifiée
Une racine carrée où le radicande n'a pas de facteurs carrés parfaits autres que 1.
Règle du produit pour les radicaux
a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} pour aa et bb non négatifs.

Carte des formules

Règle du produit

a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}

Sépare une racine carrée en produit de deux racines

Motif de simplification

n2×m=nm\sqrt{n^2 \times m} = n\sqrt{m}

Extrais le facteur carré parfait du radical

Carrés parfaits

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,1441, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144

Mémorise ces carrés parfaits jusqu'à 144

Défi du jourUn problème, trois essais

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