Addition et soustraction de radicaux

Apprends comment combiner les radicaux semblables par addition et soustraction, comme les termes semblables.

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Définition

Pour additionner ou soustraire des radicaux, ils doivent être des radicaux semblables (même indice et même radicande). Les radicaux semblables fonctionnent comme les termes semblables en algèbre.
Les radicaux semblables ont :
  • Le même indice (racines carrées, racines cubiques, etc.)
  • Le même radicande (le nombre sous le radical)
35+75=1053\sqrt{5} + 7\sqrt{5} = 10\sqrt{5}
Penses-y comme additionner des pommes : 3 pommes + 7 pommes = 10 pommes.
Règle clé : Tu ne peux additionner ou soustraire que les coefficients (nombres devant). La partie radicale reste la même.
ax+bx=(a+b)xa\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}
ax−bx=(a−b)xa\sqrt{x} - b\sqrt{x} = (a - b)\sqrt{x}

Essaie tout de suite

Quelle expression montre des radicaux semblables ?

Exemples résolus

Simplifie : 43+934\sqrt{3} + 9\sqrt{3}
1

Vérifier si les radicaux sont semblables

Les deux ont 3\sqrt{3} - même indice (2) et même radicande (3) → Radicaux semblables
2

Additionner les coefficients

4+9=134 + 9 = 13
3

Garder la partie radicale

13⋅313 \cdot \sqrt{3} → 13313\sqrt{3}

Erreurs courantes

Additionner les radicandes : 3+5=8\sqrt{3} + \sqrt{5} = \sqrt{8}

Pourquoi c'est faux: Tu ne peux pas additionner les nombres sous des radicaux différents. C'est comme dire 1 pomme + 1 orange = 2 pommanges !

Correct: 3+5\sqrt{3} + \sqrt{5} ne peut pas être simplifié. Ce sont des radicaux non semblables.

Oublier de simplifier d'abord : 8+2=8+2\sqrt{8} + \sqrt{2} = \sqrt{8} + \sqrt{2}

Pourquoi c'est faux: Si tu simplifies 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} d'abord, tu peux combiner : 22+2=322\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}

Correct: Simplifie toujours les radicaux d'abord, puis vérifie s'ils deviennent semblables.

Combiner coefficients ET radicandes : 35+25=5103\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{10}

Pourquoi c'est faux: Seuls les coefficients changent. Le radicande reste le même.

Correct: 35+25=553\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5}

Ignorer le coefficient 1 : 7+27=27\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 2\sqrt{7}

Pourquoi c'est faux: 7\sqrt{7} signifie 171\sqrt{7}. Donc 1+2=31 + 2 = 3, pas seulement 22.

Correct: 7+27=17+27=37\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 1\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 3\sqrt{7}

Visuel interactif

Simplifier les racines

12+27\sqrt{12} + \sqrt{27}
Additionne et soustrais les racines : on ne peut regrouper que des racines semblables (même nombre sous la même racine).

Étape 1 sur 4

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

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Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quelle expression montre des radicaux semblables ?

Pourquoi c'est important

L'addition et la soustraction de radicaux apparaissent partout en mathématiques et en sciences :
  • Géométrie : Calculer des périmètres quand les côtés impliquent des racines carrées, comme 32+523\sqrt{2} + 5\sqrt{2} mètres
  • Physique : Combiner des mesures avec des racines dans les calculs d'ondes
  • Ingénierie : Simplifier des expressions dans les calculs de structures
  • Finance : Certains calculs de risque impliquent des expressions radicales
Maîtriser cette compétence est essentiel pour résoudre des équations avec des radicaux, travailler avec le théorème de Pythagore et progresser en algèbre et en analyse.

Applications dans le monde réel

Périmètre d'un triangle

Lors du calcul de périmètres avec des côtés exprimés en radicaux, il faut les additionner.

Exemple:

Un triangle a des côtés de 12\sqrt{12} m, 27\sqrt{27} m et 48\sqrt{48} m. Le périmètre est 23+33+43=932\sqrt{3} + 3\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} mètres.

1Essaie par toi-même

Un jardin a une forme triangulaire avec des côtés de 18\sqrt{18} mètres, 50\sqrt{50} mètres et 8\sqrt{8} mètres.

Quel est le périmètre du jardin sous forme simplifiée ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Simplifie d'abord chaque côté, puis additionne :

Construction et architecture

Les architectes travaillent souvent avec des mesures diagonales impliquant des racines carrées.

Exemple:

Deux sections de toit ont des longueurs de 535\sqrt{3} mètres et 232\sqrt{3} mètres. Longueur combinée : 737\sqrt{3} mètres.

2Essaie par toi-même

Un bâtiment a deux supports diagonaux : l'un mesure 75\sqrt{75} mètres et l'autre 27\sqrt{27} mètres.

Quelle est la longueur totale des supports diagonaux nécessaires ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Simplifie d'abord chaque radical :

Points clés

  • 1Les radicaux semblables ont le même indice et le même radicande (ex. : 353\sqrt{5} et 757\sqrt{5})
  • 2Additionne ou soustrais seulement les coefficients, la partie radicale reste inchangée
  • 3Simplifie toujours les radicaux d'abord pour trouver des radicaux semblables cachés (ex. : 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2})
  • 4Les radicaux non semblables ne peuvent pas être combinés (ex. : 3+5\sqrt{3} + \sqrt{5} reste tel quel)
  • 5Pense aux radicaux comme des variables : 35+25=553\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 5\sqrt{5} est comme 3x+2x=5x3x + 2x = 5x

Questions fréquentes

Oui, mais simplifie d'abord ! 4=2\sqrt{4} = 2 et 9=3\sqrt{9} = 3, donc 4+9=2+3=5\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5. Note que ce n'est PAS 13\sqrt{13} !
Oui, mais simplifie d'abord ! 4=2\sqrt{4} = 2 et 9=3\sqrt{9} = 3, donc 4+9=2+3=5\sqrt{4} + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5. Note que ce n'est PAS 13\sqrt{13} !
Vérifie deux choses : (1) même indice (racine carrée, cubique, etc.) et (2) même radicande (nombre sous le radical). 7\sqrt{7} et 7\sqrt{7} sont semblables. 7\sqrt{7} et 11\sqrt{11} ne le sont pas.
Pas de coefficient signifie que le coefficient est 1. Donc 5=15\sqrt{5} = 1\sqrt{5}. En additionnant 5+35\sqrt{5} + 3\sqrt{5}, tu obtiens 15+35=451\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5}.
Seulement s'ils se simplifient en radicaux semblables. Par exemple, 12+27\sqrt{12} + \sqrt{27} semble non semblable, mais se simplifie en 23+33=532\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}.

Glossaire

Radical
Une expression contenant un symbole de racine, comme x\sqrt{x} (racine carrée) ou x3\sqrt[3]{x} (racine cubique)
Radicande
Le nombre ou l'expression sous le signe radical. Dans 5\sqrt{5}, le radicande est 5
Indice
Le petit nombre indiquant le type de racine. Les racines carrées ont l'indice 2 (souvent non écrit), les racines cubiques ont l'indice 3
Radicaux semblables
Radicaux avec le même indice et le même radicande. 373\sqrt{7} et 575\sqrt{7} sont des radicaux semblables
Coefficient
Le nombre multiplié par le radical. Dans 434\sqrt{3}, le coefficient est 4
Simplifier un radical
Réécrire avec le plus petit radicande possible, en retirant les facteurs carrés parfaits
Défi du jourUn problème, trois essais

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