Addition basique avec numérateurs variables

Additionne : $\frac{3x}{x+2} + \frac{5}{x+2}$

Vérifie que les dénominateurs sont identiques: Les deux fractions ont le dénominateur $(x+2)$ = Dénominateurs semblables confirmés

Additionne les numérateurs: $3x + 5$ = $3x + 5$

Écris sur le dénominateur commun: $\frac{3x + 5}{x+2}$ = $\frac{3x + 5}{x+2}$

Vérifie si une simplification est possible: $3x + 5$ et $x + 2$ n'ont pas de facteurs communs = Impossible de simplifier

Answer: $\frac{3x + 5}{x+2}$

Addition avec numérateurs binômes

Additionne : $\frac{x+3}{x-1} + \frac{2x-5}{x-1}$

Confirme les dénominateurs semblables: Les deux ont $(x-1)$ = Dénominateurs semblables

Additionne les numérateurs: $(x+3) + (2x-5)$ = $x + 3 + 2x - 5$

Combine les termes semblables: $x + 2x + 3 - 5$ = $3x - 2$

Écris le résultat: $\frac{3x-2}{x-1}$ = $\frac{3x-2}{x-1}$

Answer: $\frac{3x-2}{x-1}$

Addition avec dénominateurs polynomiaux

Additionne : $\frac{x^2+1}{x^2-4} + \frac{3x-5}{x^2-4}$

Vérifie les mêmes dénominateurs: Les deux ont $(x^2-4)$ = Dénominateurs semblables

Additionne les numérateurs: $(x^2+1) + (3x-5)$ = $x^2 + 3x + 1 - 5$

Combine les termes semblables: $x^2 + 3x - 4$ = $x^2 + 3x - 4$

Factorise le numérateur si possible: $x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$ = $(x+4)(x-1)$

Factorise le dénominateur: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ = $(x+2)(x-2)$

Vérifie les facteurs communs: Aucun facteur commun entre numérateur et dénominateur = Impossible de simplifier

Answer: $\frac{(x+4)(x-1)}{(x+2)(x-2)}$ ou $\frac{x^2+3x-4}{x^2-4}$

Addition qui se simplifie

Additionne : $\frac{x+1}{x+3} + \frac{2}{x+3}$

Confirme les mêmes dénominateurs: Les deux ont $(x+3)$ = Dénominateurs semblables

Additionne les numérateurs: $(x+1) + 2$ = $x + 3$

Écris sur le dénominateur commun: $\frac{x+3}{x+3}$ = $\frac{x+3}{x+3}$

Simplifie: $\frac{x+3}{x+3} = 1$ (quand $x \neq -3$) = $1$

Answer: $1$ (où $x \neq -3$)

Additionner trois expressions rationnelles

Additionne : $\frac{2x}{x-5} + \frac{3}{x-5} + \frac{x+1}{x-5}$

Confirme que tous les dénominateurs correspondent: Les trois ont $(x-5)$ = Dénominateurs semblables

Additionne tous les numérateurs: $2x + 3 + (x+1)$ = $2x + 3 + x + 1$

Combine les termes semblables: $2x + x + 3 + 1$ = $3x + 4$

Écris le résultat: $\frac{3x+4}{x-5}$ = $\frac{3x+4}{x-5}$

Vérifie la simplification: Aucun facteur commun = Réponse finale

Answer: $\frac{3x+4}{x-5}$

Simplification complexe après addition

Additionne : $\frac{x^2-9}{x^2+5x+6} + \frac{6}{x^2+5x+6}$

Vérifie les mêmes dénominateurs: Les deux ont $x^2+5x+6$ = Dénominateurs semblables

Additionne les numérateurs: $(x^2-9) + 6$ = $x^2 - 3$

Écris sur le dénominateur commun: $\frac{x^2-3}{x^2+5x+6}$ = Résultat initial

Factorise le dénominateur: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ = $(x+2)(x+3)$

Vérifie si le numérateur se factorise: $x^2-3$ ne se factorise pas sur les entiers = Non factorisable

Écris la réponse finale: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x+3)}$ = Forme simplifiée

Answer: $\frac{x^2-3}{(x+2)(x+3)}$

Mistake: Additionner les dénominateurs en même temps que les numérateurs

Why: Les élèves appliquent parfois l'addition aux deux parties : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} \neq \frac{a+b}{c+c}$

Correct: Garde le dénominateur identique : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$

Mistake: Oublier de distribuer le signe négatif

Why: Lors de la soustraction, le moins doit s'appliquer à tous les termes du numérateur soustrait.

Correct: $\frac{x+3}{d} - \frac{x-1}{d} = \frac{(x+3)-(x-1)}{d} = \frac{x+3-x+1}{d} = \frac{4}{d}$

Mistake: Ne pas vérifier la simplification après l'addition

Why: La somme peut contenir des facteurs communs qui devraient être annulés.

Correct: Factorise toujours le numérateur et le dénominateur après l'addition pour vérifier les facteurs communs.

Mistake: Oublier les restrictions du domaine

Why: Les valeurs qui rendent le dénominateur nul sont exclues du domaine.

Correct: Indique les restrictions : pour $\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x-2}$, note que $x \neq 2$.

Circuits électriques

Lorsque des résistances sont en parallèle, la résistance totale implique l'addition de fractions de même forme.

Deux chemins de circuit contribuent $\frac{I_1}{V}$ et $\frac{I_2}{V}$ ampères par volt. Conductance totale : $\frac{I_1 + I_2}{V}$.

Problèmes de taux de travail

Lorsque deux machines travaillent au même temps de cycle, leurs taux de production combinés s'additionnent directement.

La machine A produit $\frac{x}{t}$ unités et la machine B produit $\frac{y}{t}$ unités par heure. Ensemble : $\frac{x+y}{t}$ unités par heure.

Q: Pourquoi n'additionnons-nous pas les dénominateurs ?

A: Additionner des fractions consiste à combiner des parties du même tout. Si les deux fractions sont divisées en le même nombre de parties (même dénominateur), tu comptes simplement combien de parties tu as au total. La taille de chaque partie (dénominateur) reste la même.

Q: Que se passe-t-il si le résultat égale 1 ?

A: Si après l'addition, le numérateur égale le dénominateur (comme $\frac{x+3}{x+3}$), l'expression se simplifie à 1, mais seulement pour les valeurs où le dénominateur n'est pas zéro.

Q: Puis-je simplifier avant d'additionner ?

A: Non, tu ne peux annuler les facteurs communs qu'après avoir combiné les numérateurs. Chaque fraction doit être traitée comme une unité entière jusqu'à ce qu'elles soient combinées.