Additionner des expressions rationnelles (dénominateurs semblables)

Apprends comment additionner des expressions rationnelles qui ont le même dénominateur en combinant les numérateurs.

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Définition

Lors de l'addition d'expressions rationnelles avec dénominateurs semblables, tu additionnes simplement les numérateurs tout en conservant le même dénominateur :
AC+BC=A+BC\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}
où C≠0C \neq 0.
Cela fonctionne exactement comme l'addition de fractions ordinaires :
  • 25+15=2+15=35\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2 + 1}{5} = \frac{3}{5}
Avec des expressions algébriques :
  • 2xx+3+5x+3=2x+5x+3\frac{2x}{x+3} + \frac{5}{x+3} = \frac{2x + 5}{x+3}
Important : Après l'addition, vérifie toujours si le résultat peut être simplifié !

Essaie tout de suite

Que vaut 2x+1+5x+1\frac{2}{x+1} + \frac{5}{x+1} ?

Exemples résolus

Additionne : 3xx+2+5x+2\frac{3x}{x+2} + \frac{5}{x+2}
1

Vérifie que les dénominateurs sont identiques

Les deux fractions ont le dénominateur (x+2)(x+2) → Dénominateurs semblables confirmés
2

Additionne les numérateurs

3x+53x + 5
3

Écris sur le dénominateur commun

3x+5x+2\frac{3x + 5}{x+2}
4

Vérifie si une simplification est possible

3x+53x + 5 et x+2x + 2 n'ont pas de facteurs communs → Impossible de simplifier

Erreurs courantes

Additionner les dénominateurs en même temps que les numérateurs

Pourquoi c'est faux: Les élèves appliquent parfois l'addition aux deux parties : ac+bc≠a+bc+c\frac{a}{c} + \frac{b}{c} \neq \frac{a+b}{c+c}

Correct: Garde le dénominateur identique : ac+bc=a+bc\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}

Oublier de distribuer le signe négatif

Pourquoi c'est faux: Lors de la soustraction, le moins doit s'appliquer à tous les termes du numérateur soustrait.

Correct: x+3d−x−1d=(x+3)−(x−1)d=x+3−x+1d=4d\frac{x+3}{d} - \frac{x-1}{d} = \frac{(x+3)-(x-1)}{d} = \frac{x+3-x+1}{d} = \frac{4}{d}

Ne pas vérifier la simplification après l'addition

Pourquoi c'est faux: La somme peut contenir des facteurs communs qui devraient être annulés.

Correct: Factorise toujours le numérateur et le dénominateur après l'addition pour vérifier les facteurs communs.

Oublier les restrictions du domaine

Pourquoi c'est faux: Les valeurs qui rendent le dénominateur nul sont exclues du domaine.

Correct: Indique les restrictions : pour xx−2+3x−2\frac{x}{x-2} + \frac{3}{x-2}, note que x≠2x \neq 2.

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Exercices pratiques

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Facile
Que vaut 2x+1+5x+1\frac{2}{x+1} + \frac{5}{x+1} ?

Pourquoi c'est important

L'addition d'expressions rationnelles est une compétence fondamentale en algèbre qui se connecte à de nombreuses applications pratiques :
  • Physique : Combiner des résistances en circuits parallèles : 1R1+1R2\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Économie : Additionner des fonctions de coût avec des variables partagées
  • Ingénierie : Sommer des fonctions de transfert dans les systèmes de contrôle
  • Chimie : Calculer des taux de réaction combinés
Maîtriser les dénominateurs semblables est la base pour gérer les dénominateurs différents dans des problèmes plus complexes.

Applications dans le monde réel

Circuits électriques

Lorsque des résistances sont en parallèle, la résistance totale implique l'addition de fractions de même forme.

Exemple:

Deux chemins de circuit contribuent I1V\frac{I_1}{V} et I2V\frac{I_2}{V} ampères par volt. Conductance totale : I1+I2V\frac{I_1 + I_2}{V}.

1Essaie par toi-même

Deux résistances parallèles ont des conductances de 3R\frac{3}{R} et 5R\frac{5}{R} siemens.

Quelle est la conductance totale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne : 3R+5R\frac{3}{R} + \frac{5}{R}

Problèmes de taux de travail

Lorsque deux machines travaillent au même temps de cycle, leurs taux de production combinés s'additionnent directement.

Exemple:

La machine A produit xt\frac{x}{t} unités et la machine B produit yt\frac{y}{t} unités par heure. Ensemble : x+yt\frac{x+y}{t} unités par heure.

2Essaie par toi-même

Le travailleur A accomplit 2h\frac{2}{h} tâches par heure et le travailleur B accomplit 3h\frac{3}{h} tâches par heure.

Quel est leur taux combiné ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Additionne : 2h+3h\frac{2}{h} + \frac{3}{h}

Points clés

  • 1Pour additionner des expressions rationnelles avec dénominateurs semblables, additionne les numérateurs et garde le dénominateur inchangé : AC+BC=A+BC\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}
  • 2Combine les termes semblables dans le numérateur après l'addition
  • 3Factorise et simplifie toujours le résultat quand c'est possible
  • 4Indique les restrictions du domaine où le dénominateur égale zéro
  • 5Cette règle s'étend à l'addition de n'importe quel nombre d'expressions rationnelles avec le même dénominateur

Questions fréquentes

Additionner des fractions consiste à combiner des parties du même tout. Si les deux fractions sont divisées en le même nombre de parties (même dénominateur), tu comptes simplement combien de parties tu as au total. La taille de chaque partie (dénominateur) reste la même.
Additionner des fractions consiste à combiner des parties du même tout. Si les deux fractions sont divisées en le même nombre de parties (même dénominateur), tu comptes simplement combien de parties tu as au total. La taille de chaque partie (dénominateur) reste la même.
Si après l'addition, le numérateur égale le dénominateur (comme x+3x+3\frac{x+3}{x+3}), l'expression se simplifie à 1, mais seulement pour les valeurs où le dénominateur n'est pas zéro.
Non, tu ne peux annuler les facteurs communs qu'après avoir combiné les numérateurs. Chaque fraction doit être traitée comme une unité entière jusqu'à ce qu'elles soient combinées.

Glossaire

Expression rationnelle
Une fraction où le numérateur et/ou le dénominateur contient un polynôme
Dénominateurs semblables
Fractions qui ont exactement la même expression dans leurs dénominateurs
Restriction du domaine
Valeurs de la variable qui rendent le dénominateur nul et doivent être exclues
Simplifier
Réduire une fraction en annulant les facteurs communs dans le numérateur et le dénominateur
Défi du jourUn problème, trois essais

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