Addition avec dénominateurs linéaires

Simplifie: $\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}$

Identifie les dénominateurs: Dénominateur 1: $(x+3)$, Dénominateur 2: $(x-2)$ = Les deux sont linéaires, pas de facteurs communs

Trouve le PPCM: PPCM = $(x+3)(x-2)$ = Multiplie les facteurs distincts

Réécris la première fraction: $\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}$

Réécris la deuxième fraction: $\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}$

Additionne les numérateurs: $\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)}$ = $\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}$

Answer: $\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}$ ou $\frac{7x+11}{x^2+x-6}$

Addition avec dénominateur factorisable

Simplifie: $\frac{3}{x^2-4} + \frac{2}{x+2}$

Factorise tous les dénominateurs: $x^2-4 = (x+2)(x-2)$ = Premier dénominateur: différence de carrés

Trouve le PPCM: PPCM = $(x+2)(x-2)$ = $(x+2)$ est déjà dans la forme factorisée

Réécris les fractions avec le PPCM: $\frac{3}{(x+2)(x-2)}$ reste identique; $\frac{2}{x+2} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+2)(x-2)}$ = Les deux ont maintenant le même dénominateur

Additionne les numérateurs: $\frac{3 + 2(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{3 + 2x - 4}{(x+2)(x-2)}$ = $\frac{2x-1}{(x+2)(x-2)}$

Vérifie la simplification: $2x-1$ ne se factorise pas avec $(x+2)$ ou $(x-2)$ = Déjà sous forme la plus simple

Answer: $\frac{2x-1}{(x+2)(x-2)}$ ou $\frac{2x-1}{x^2-4}$

Addition de trois expressions rationnelles

Simplifie: $\frac{1}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1}$

Identifie tous les dénominateurs: $x$, $(x+1)$, $(x-1)$ = Trois facteurs linéaires distincts

Trouve le PPCM: PPCM = $x(x+1)(x-1)$ = Produit de tous les facteurs

Réécris chaque fraction: $\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)(x-1)} + \frac{2x(x-1)}{x(x+1)(x-1)} + \frac{3x(x+1)}{x(x+1)(x-1)}$ = Toutes les fractions ont maintenant le PPCM

Développe les numérateurs: $(x^2-1) + (2x^2-2x) + (3x^2+3x)$ = $6x^2 + x - 1$

Écris la réponse finale: $\frac{6x^2+x-1}{x(x+1)(x-1)}$ = Vérifie si le numérateur se factorise

Answer: $\frac{6x^2+x-1}{x(x+1)(x-1)}$ ou $\frac{6x^2+x-1}{x^3-x}$

Mistake: Oublier de factoriser les dénominateurs d'abord

Why: Sans factorisation, tu pourrais manquer des facteurs communs et créer un PPCM plus grand que nécessaire, rendant le problème plus difficile.

Correct: Factorise toujours chaque dénominateur complètement avant de trouver le PPCM. Par exemple: $x^2-9 = (x+3)(x-3)$.

Mistake: Additionner les dénominateurs au lieu de trouver le PPCM

Why: Contrairement aux numérateurs, les dénominateurs ne s'additionnent pas. Le PPCM doit contenir tous les facteurs de chaque dénominateur.

Correct: $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}$. Le PPCM est $(x+2)(x+3)$.

Mistake: Oublier de multiplier le numérateur et le dénominateur

Why: En convertissant au PPCM, tu dois multiplier par une forme de 1 (même expression sur elle-même) pour garder la valeur inchangée.

Correct: $\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}$, pas $\frac{2}{(x+1)(x-1)}$.

Mistake: Ne pas simplifier la réponse finale

Why: Après l'addition, le numérateur résultant pourrait partager un facteur commun avec le dénominateur.

Correct: Vérifie toujours si le numérateur peut être factorisé et si des facteurs s'annulent avec le dénominateur.

Résistances en parallèle en électronique

Quand des résistances sont connectées en parallèle, la résistance totale se calcule avec une formule à dénominateurs différents.

Pour deux résistances de $R_1 = x$ ohms et $R_2 = x+2$ ohms en parallèle: $\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$

Problèmes de taux de travail combinés

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux combiné implique l'addition de fractions à dénominateurs différents.

Si le Travailleur A termine un travail en $x$ heures et le Travailleur B en $(x+2)$ heures, leur taux combiné est $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}$ travaux par heure.

Q: Comment trouver le PPCM de deux expressions rationnelles?

A: Factorise chaque dénominateur complètement. Le PPCM contient chaque facteur élevé à la puissance la plus haute qu'il apparaît dans n'importe quel dénominateur. Par exemple: pour $\frac{1}{x^2(x+1)}$ et $\frac{1}{x(x+1)^2}$, le PPCM est $x^2(x+1)^2$.

Q: Que faire si les dénominateurs partagent un facteur commun?

A: Si les dénominateurs partagent des facteurs, inclus chaque facteur partagé une seule fois dans le PPCM. Par exemple: $(x+2)(x-1)$ et $(x+2)(x+3)$ partagent $(x+2)$, donc le PPCM est $(x+2)(x-1)(x+3)$.

Q: Dois-je développer le dénominateur dans ma réponse finale?

A: Les deux formes sont acceptables. La forme factorisée $(x+2)(x-3)$ est souvent préférée car elle rend les restrictions de domaine plus claires et la simplification plus facile. La forme développée $x^2-x-6$ peut être demandée dans certains contextes.