Addition d'expressions rationnelles (dénominateurs différents)

Apprends à additionner des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents en trouvant le PPCM.

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Définition

Pour additionner des expressions rationnelles avec des dénominateurs différents, nous devons d'abord trouver un dénominateur commun. Le processus est similaire à l'addition de fractions numériques:
ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
Pour les expressions rationnelles:
  1. 1.Factorise chaque dénominateur complètement
  2. 2.Trouve le PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
  3. 3.Réécris chaque fraction avec le PPCM
  4. 4.Additionne les numérateurs
  5. 5.Simplifie si possible
2x+1+3x−1=2(x−1)+3(x+1)(x+1)(x−1)=5x+1x2−1\frac{2}{x+1} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{5x+1}{x^2-1}

Essaie tout de suite

Quel est le PPCM de 1x\frac{1}{x} et 1x+2\frac{1}{x+2}?

Exemples résolus

Simplifie: 2x+3+5x−2\frac{2}{x+3} + \frac{5}{x-2}
1

Identifie les dénominateurs

Dénominateur 1: (x+3)(x+3), Dénominateur 2: (x−2)(x-2) → Les deux sont linéaires, pas de facteurs communs
2

Trouve le PPCM

PPCM = (x+3)(x−2)(x+3)(x-2) → Multiplie les facteurs distincts
3

Réécris la première fraction

2x+3⋅x−2x−2=2(x−2)(x+3)(x−2)\frac{2}{x+3} \cdot \frac{x-2}{x-2} = \frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)} → 2x−4(x+3)(x−2)\frac{2x-4}{(x+3)(x-2)}
4

Réécris la deuxième fraction

5x−2⋅x+3x+3=5(x+3)(x+3)(x−2)\frac{5}{x-2} \cdot \frac{x+3}{x+3} = \frac{5(x+3)}{(x+3)(x-2)} → 5x+15(x+3)(x−2)\frac{5x+15}{(x+3)(x-2)}
5

Additionne les numérateurs

2x−4+5x+15(x+3)(x−2)\frac{2x-4+5x+15}{(x+3)(x-2)} → 7x+11(x+3)(x−2)\frac{7x+11}{(x+3)(x-2)}

Erreurs courantes

Oublier de factoriser les dénominateurs d'abord

Pourquoi c'est faux: Sans factorisation, tu pourrais manquer des facteurs communs et créer un PPCM plus grand que nécessaire, rendant le problème plus difficile.

Correct: Factorise toujours chaque dénominateur complètement avant de trouver le PPCM. Par exemple: x2−9=(x+3)(x−3)x^2-9 = (x+3)(x-3).

Additionner les dénominateurs au lieu de trouver le PPCM

Pourquoi c'est faux: Contrairement aux numérateurs, les dénominateurs ne s'additionnent pas. Le PPCM doit contenir tous les facteurs de chaque dénominateur.

Correct: 1x+2+1x+3≠22x+5\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+3} \neq \frac{2}{2x+5}. Le PPCM est (x+2)(x+3)(x+2)(x+3).

Oublier de multiplier le numérateur et le dénominateur

Pourquoi c'est faux: En convertissant au PPCM, tu dois multiplier par une forme de 1 (même expression sur elle-même) pour garder la valeur inchangée.

Correct: 2x+1=2(x−1)(x+1)(x−1)\frac{2}{x+1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)}, pas 2(x+1)(x−1)\frac{2}{(x+1)(x-1)}.

Ne pas simplifier la réponse finale

Pourquoi c'est faux: Après l'addition, le numérateur résultant pourrait partager un facteur commun avec le dénominateur.

Correct: Vérifie toujours si le numérateur peut être factorisé et si des facteurs s'annulent avec le dénominateur.

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Historique

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Exercices pratiques

17 exercices
Problème 1 sur 17
Facile
Quel est le PPCM de 1x\frac{1}{x} et 1x+2\frac{1}{x+2}?

Pourquoi c'est important

L'addition d'expressions rationnelles avec dénominateurs différents apparaît dans de nombreuses applications concrètes:
  • Physique: Combinaison de résistances en parallèle: 1Rtotal=1R1+1R2\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
  • Problèmes de travail: Si un ouvrier termine un travail en xx heures et un autre en yy heures, ensemble ils accomplissent 1x+1y\frac{1}{x} + \frac{1}{y} du travail par heure
  • Optique: L'équation des lentilles minces: 1f=1do+1di\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}
  • Problèmes de taux: Combinaison de différents taux de production ou de déplacement
Maîtriser cette compétence est essentiel pour résoudre des équations algébriques complexes et des problèmes d'optimisation réels.

Applications dans le monde réel

Résistances en parallèle en électronique

Quand des résistances sont connectées en parallèle, la résistance totale se calcule avec une formule à dénominateurs différents.

Exemple:

Pour deux résistances de R1=xR_1 = x ohms et R2=x+2R_2 = x+2 ohms en parallèle: 1Rtotal=1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)}

1Essaie par toi-même

Tu as deux résistances: une de xx ohms et une de (x+3)(x+3) ohms connectées en parallèle.

Trouve une expression pour la résistance totale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve d'abord 1Rtotal=1x+1x+3\frac{1}{R_{total}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3}

Problèmes de taux de travail combinés

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux combiné implique l'addition de fractions à dénominateurs différents.

Exemple:

Si le Travailleur A termine un travail en xx heures et le Travailleur B en (x+2)(x+2) heures, leur taux combiné est 1x+1x+2=2x+2x(x+2)\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} = \frac{2x+2}{x(x+2)} travaux par heure.

2Essaie par toi-même

La machine A produit un lot en tt heures. La machine B produit le même lot en (t+4)(t+4) heures.

Quelle fraction du lot les deux machines produisent-elles ensemble en une heure?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Taux combiné = 1t+1t+4\frac{1}{t} + \frac{1}{t+4}

Points clés

  • 1Pour additionner des expressions rationnelles à dénominateurs différents, factorise d'abord tous les dénominateurs complètement
  • 2Trouve le PPCM en incluant chaque facteur le nombre maximal de fois qu'il apparaît dans un dénominateur
  • 3Multiplie chaque fraction par une forme de 1 pour convertir au PPCM
  • 4Additionne les numérateurs en gardant le dénominateur commun
  • 5Simplifie le résultat en factorisant et en annulant les facteurs communs

Questions fréquentes

Factorise chaque dénominateur complètement. Le PPCM contient chaque facteur élevé à la puissance la plus haute qu'il apparaît dans n'importe quel dénominateur. Par exemple: pour 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} et 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2}, le PPCM est x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Factorise chaque dénominateur complètement. Le PPCM contient chaque facteur élevé à la puissance la plus haute qu'il apparaît dans n'importe quel dénominateur. Par exemple: pour 1x2(x+1)\frac{1}{x^2(x+1)} et 1x(x+1)2\frac{1}{x(x+1)^2}, le PPCM est x2(x+1)2x^2(x+1)^2.
Si les dénominateurs partagent des facteurs, inclus chaque facteur partagé une seule fois dans le PPCM. Par exemple: (x+2)(x−1)(x+2)(x-1) et (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) partagent (x+2)(x+2), donc le PPCM est (x+2)(x−1)(x+3)(x+2)(x-1)(x+3).
Les deux formes sont acceptables. La forme factorisée (x+2)(x−3)(x+2)(x-3) est souvent préférée car elle rend les restrictions de domaine plus claires et la simplification plus facile. La forme développée x2−x−6x^2-x-6 peut être demandée dans certains contextes.

Glossaire

Expression rationnelle
Une fraction où le numérateur et/ou le dénominateur contient un polynôme
PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
La plus petite expression divisible par tous les dénominateurs d'un problème
Dénominateurs différents
Dénominateurs qui ne sont pas identiques et nécessitent de trouver un dénominateur commun
Factoriser
Écrire une expression comme produit d'expressions plus simples

Carte des formules

Addition de deux expressions rationnelles

ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

Formule générale quand les dénominateurs n'ont pas de facteurs communs

Méthode du PPCM

aP+bQ=a⋅PPCMP+b⋅PPCMQPPCM\frac{a}{P} + \frac{b}{Q} = \frac{a \cdot \frac{PPCM}{P} + b \cdot \frac{PPCM}{Q}}{PPCM}

Réécris chaque fraction en utilisant le Plus Petit Commun Multiple

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