Identifier les expressions rationnelles

Lesquelles sont des expressions rationnelles ? a) $\frac{x^2 + 3x}{x - 1}$ b) $\frac{\sqrt{x}}{x + 2}$ c) $\frac{5}{x^3 - 8}$

Vérifie l'expression (a): Numérateur : $x^2 + 3x$ (polynôme). Dénominateur : $x - 1$ (polynôme) = OUI - expression rationnelle

Vérifie l'expression (b): Numérateur : $\sqrt{x}$ (PAS un polynôme - contient une racine) = NON - pas une expression rationnelle

Vérifie l'expression (c): Numérateur : $5$ (polynôme constant). Dénominateur : $x^3 - 8$ (polynôme) = OUI - expression rationnelle

Answer: Les expressions (a) et (c) sont des expressions rationnelles. L'expression (b) n'en est pas une car $\sqrt{x}$ n'est pas un polynôme.

Trouver les restrictions de domaine

Trouve les restrictions de domaine pour $\frac{x + 5}{x^2 - 9}$

Pose le dénominateur égal à zéro: $x^2 - 9 = 0$ = Équation à résoudre

Factorise le dénominateur: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ = Différence de carrés

Résous pour x: $(x + 3)(x - 3) = 0$ $x = -3$ ou $x = 3$ = Valeurs exclues trouvées

Énonce les restrictions: L'expression est indéfinie quand $x = -3$ ou $x = 3$ = $x \neq -3, x \neq 3$

Answer: Restrictions de domaine : $x \neq -3$ et $x \neq 3$. L'expression est définie pour tous les nombres réels sauf $-3$ et $3$.

Évaluer des expressions rationnelles

Calcule $\frac{x^2 - 4}{x + 2}$ pour $x = 5$

Vérifie d'abord les restrictions: Dénominateur : $x + 2 = 0$ quand $x = -2$ Puisque $5 \neq -2$, on peut continuer = Pas de problème de restriction

Substitue $x = 5$ dans le numérateur: $5^2 - 4 = 25 - 4 = 21$ = Numérateur = $21$

Substitue $x = 5$ dans le dénominateur: $5 + 2 = 7$ = Dénominateur = $7$

Divise: $\frac{21}{7} = 3$ = Réponse finale

Answer: Pour $x = 5$, l'expression est égale à $3$

Plusieurs restrictions par factorisation

Trouve toutes les valeurs qui rendent $\frac{2x + 1}{x^2 - 5x + 6}$ indéfini

Pose le dénominateur égal à zéro: $x^2 - 5x + 6 = 0$ = Équation à résoudre

Factorise le trinôme: Trouve deux nombres dont le produit est $6$ et la somme est $-5$ Ce sont $-2$ et $-3$ = $(x - 2)(x - 3) = 0$

Résous chaque facteur: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ = Deux valeurs exclues

Énonce la réponse: L'expression est indéfinie pour $x = 2$ et $x = 3$ = $x \neq 2, x \neq 3$

Answer: L'expression est indéfinie quand $x = 2$ ou $x = 3$

Mistake: Poser le numérateur égal à zéro au lieu du dénominateur

Why: Pour trouver les restrictions, on doit trouver quand l'expression est indéfinie. La division par zéro est indéfinie, pas la division de zéro.

Correct: Pose toujours le DÉNOMINATEUR égal à zéro pour trouver les restrictions. Quand le numérateur est zéro, l'expression est simplement égale à zéro.

Mistake: Oublier de factoriser complètement le dénominateur

Why: Un dénominateur quadratique comme $x^2 - 9$ a DEUX racines, donc il y a DEUX restrictions.

Correct: Factorise toujours complètement le dénominateur avant de résoudre. $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ donne des restrictions à $x = -3$ ET $x = 3$.

Mistake: Penser que $\frac{0}{5}$ et $\frac{5}{0}$ sont identiques

Why: $\frac{0}{5} = 0$ (zéro divisé par n'importe quoi est zéro), mais $\frac{5}{0}$ est indéfini (on ne peut pas diviser par zéro).

Correct: Zéro au numérateur donne zéro. Zéro au dénominateur est indéfini.

Problèmes de vitesse moyenne

Quand on parcourt différentes distances à différentes vitesses, la vitesse moyenne est une expression rationnelle.

Si tu conduis 100 km à la vitesse $v$ et reviens à la vitesse $v + 20$, la vitesse moyenne pour tout le trajet est $\frac{2 \times 100}{\frac{100}{v} + \frac{100}{v+20}}$

Problèmes de taux de travail

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux combiné implique des expressions rationnelles.

Si Alice termine un travail en $x$ heures et Bob en $y$ heures, ensemble ils le terminent en $\frac{xy}{x + y}$ heures.

Circuits électriques

Les formules de résistance en parallèle utilisent des expressions rationnelles.

Pour deux résistances en parallèle : $R_{totale} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}$

Q: Qu'est-ce qui rend une expression 'rationnelle' ?

A: Le terme 'rationnel' vient de 'ratio'. Une expression rationnelle est un rapport (fraction) de deux polynômes, tout comme un nombre rationnel est un rapport de deux entiers.

Q: Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

A: La division demande 'combien de fois le diviseur entre dans le dividende ?' Zéro entre dans n'importe quel nombre un nombre infini de fois, rendant la réponse indéfinie. Il n'existe pas de nombre qui, multiplié par zéro, donne un résultat non nul.

Q: Est-ce que $\frac{5}{x}$ est une expression rationnelle ?

A: Oui ! Le nombre $5$ est un polynôme constant (degré 0), et $x$ est un polynôme (degré 1). Donc $\frac{5}{x}$ est une expression rationnelle avec la restriction $x \neq 0$.