Introduction aux expressions rationnelles

Apprends ce que sont les expressions rationnelles, comment les identifier et comprends leurs propriétés clés, y compris les restrictions de domaine.

Avancé25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Une expression rationnelle est une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.
Expression rationnelle=polynoˆmepolynoˆme\text{Expression rationnelle} = \frac{\text{polynôme}}{\text{polynôme}}
Comme pour les fractions numériques, le dénominateur ne peut jamais être égal à zéro.
Exemples d'expressions rationnelles :
x+3x−2x2−4x+152x−63x2+2x−1x2+5\frac{x + 3}{x - 2} \quad \frac{x^2 - 4}{x + 1} \quad \frac{5}{2x - 6} \quad \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 5}
Concept clé - Restrictions de domaine : Quand le dénominateur est égal à zéro, l'expression est indéfinie. Les valeurs qui rendent le dénominateur nul sont appelées valeurs exclues ou restrictions.

Essaie tout de suite

Laquelle des expressions suivantes est une expression rationnelle ?

Exemples résolus

Lesquelles sont des expressions rationnelles ? a) x2+3xx−1\frac{x^2 + 3x}{x - 1} b) xx+2\frac{\sqrt{x}}{x + 2} c) 5x3−8\frac{5}{x^3 - 8}
1

Vérifie l'expression (a)

Numérateur : x2+3xx^2 + 3x (polynôme). Dénominateur : x−1x - 1 (polynôme) → OUI - expression rationnelle
2

Vérifie l'expression (b)

Numérateur : x\sqrt{x} (PAS un polynôme - contient une racine) → NON - pas une expression rationnelle
3

Vérifie l'expression (c)

Numérateur : 55 (polynôme constant). Dénominateur : x3−8x^3 - 8 (polynôme) → OUI - expression rationnelle

Erreurs courantes

Poser le numérateur égal à zéro au lieu du dénominateur

Pourquoi c'est faux: Pour trouver les restrictions, on doit trouver quand l'expression est indéfinie. La division par zéro est indéfinie, pas la division de zéro.

Correct: Pose toujours le DÉNOMINATEUR égal à zéro pour trouver les restrictions. Quand le numérateur est zéro, l'expression est simplement égale à zéro.

Oublier de factoriser complètement le dénominateur

Pourquoi c'est faux: Un dénominateur quadratique comme x2−9x^2 - 9 a DEUX racines, donc il y a DEUX restrictions.

Correct: Factorise toujours complètement le dénominateur avant de résoudre. x2−9=(x+3)(x−3)x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3) donne des restrictions à x=−3x = -3 ET x=3x = 3.

Penser que 05\frac{0}{5} et 50\frac{5}{0} sont identiques

Pourquoi c'est faux: 05=0\frac{0}{5} = 0 (zéro divisé par n'importe quoi est zéro), mais 50\frac{5}{0} est indéfini (on ne peut pas diviser par zéro).

Correct: Zéro au numérateur donne zéro. Zéro au dénominateur est indéfini.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-8-6-4-202468-4-2024xyx = -3x = 3

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = (x + 5)/(x² - 9)Asymptote

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Laquelle des expressions suivantes est une expression rationnelle ?

Pourquoi c'est important

Les expressions rationnelles apparaissent dans les mathématiques avancées et les applications réelles :
  • Physique : La formule de grossissement des lentilles est hiho=−dido\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}
  • Chimie : Les calculs de concentration utilisent des rapports de polynômes
  • Économie : Le coût par unité s'exprime souvent comme couˆt totalquantiteˊ\frac{\text{coût total}}{\text{quantité}}
  • Ingénierie : La résistance électrique en circuits parallèles utilise 1RT=1R1+1R2\frac{1}{R_T} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}
Comprendre les expressions rationnelles est essentiel pour le calcul différentiel, où les limites de fonctions rationnelles sont un concept central.

Applications dans le monde réel

Problèmes de vitesse moyenne

Quand on parcourt différentes distances à différentes vitesses, la vitesse moyenne est une expression rationnelle.

Exemple:

Si tu conduis 100 km à la vitesse vv et reviens à la vitesse v+20v + 20, la vitesse moyenne pour tout le trajet est 2×100100v+100v+20\frac{2 \times 100}{\frac{100}{v} + \frac{100}{v+20}}

Problèmes de taux de travail

Quand deux personnes travaillent ensemble, leur taux combiné implique des expressions rationnelles.

Exemple:

Si Alice termine un travail en xx heures et Bob en yy heures, ensemble ils le terminent en xyx+y\frac{xy}{x + y} heures.

Circuits électriques

Les formules de résistance en parallèle utilisent des expressions rationnelles.

Exemple:

Pour deux résistances en parallèle : Rtotale=R1×R2R1+R2R_{totale} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}

Points clés

  • 1Une expression rationnelle est une fraction avec des polynômes au numérateur et au dénominateur
  • 2Le dénominateur ne peut JAMAIS être égal à zéro (la division par zéro est indéfinie)
  • 3Pour trouver les restrictions de domaine, pose le dénominateur égal à zéro et résous
  • 4Factorise complètement le dénominateur pour trouver TOUTES les restrictions
  • 5Vérifie toujours les restrictions avant d'évaluer une expression rationnelle

Questions fréquentes

Le terme 'rationnel' vient de 'ratio'. Une expression rationnelle est un rapport (fraction) de deux polynômes, tout comme un nombre rationnel est un rapport de deux entiers.
Le terme 'rationnel' vient de 'ratio'. Une expression rationnelle est un rapport (fraction) de deux polynômes, tout comme un nombre rationnel est un rapport de deux entiers.
La division demande 'combien de fois le diviseur entre dans le dividende ?' Zéro entre dans n'importe quel nombre un nombre infini de fois, rendant la réponse indéfinie. Il n'existe pas de nombre qui, multiplié par zéro, donne un résultat non nul.
Oui ! Le nombre 55 est un polynôme constant (degré 0), et xx est un polynôme (degré 1). Donc 5x\frac{5}{x} est une expression rationnelle avec la restriction x≠0x \neq 0.

Glossaire

Expression rationnelle
Une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes
Restriction de domaine
Une valeur de la variable qui rend l'expression indéfinie (quand le dénominateur est égal à zéro)
Valeur exclue
Autre terme pour restriction de domaine ; une valeur qui doit être exclue du domaine
Indéfini
Quand une expression n'a pas de valeur numérique valide, généralement à cause d'une division par zéro
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Simplifier les expressions rationnelles

Avancé25 min

Multiplication des expressions rationnelles

Avancé25 min

Division d'expressions rationnelles

Avancé25 min

Additionner des expressions rationnelles (dénominateurs semblables)

Avancé25 min