Multiplier des expressions rationnelles simples

Multiplie : $\frac{3x}{4} \times \frac{8}{9x^2}$

Écrire comme une seule fraction: $\frac{3x \times 8}{4 \times 9x^2}$ = $\frac{24x}{36x^2}$

Factoriser les termes communs: $\frac{24x}{36x^2} = \frac{24 \cdot x}{36 \cdot x \cdot x}$ = Identifier les facteurs communs : 12 et $x$

Annuler les facteurs communs: $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$ et $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ = $\frac{2}{3x}$

Écrire la réponse finale: Combiner les parties simplifiées = $\frac{2}{3x}$, où $x \neq 0$

Answer: $\frac{2}{3x}$, où $x \neq 0$

Multiplication avec des facteurs polynomiaux

Multiplie : $\frac{x^2 - 4}{x + 3} \times \frac{x + 3}{x - 2}$

Factoriser complètement toutes les expressions: $x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$ (différence de carrés) = $\frac{(x+2)(x-2)}{x+3} \times \frac{x+3}{x-2}$

Écrire comme une seule fraction: $\frac{(x+2)(x-2)(x+3)}{(x+3)(x-2)}$ = Numérateur et dénominateur combinés

Identifier les facteurs communs: $(x-2)$ apparaît au numérateur et au dénominateur $(x+3)$ apparaît au numérateur et au dénominateur = Deux paires de facteurs communs

Annuler les facteurs communs: $\frac{(x+2)\cancel{(x-2)}\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x+3)}\cancel{(x-2)}}$ = $x + 2$

Énoncer les restrictions: Dénominateurs originaux : $x+3 \neq 0$ et $x-2 \neq 0$ = $x \neq -3$ et $x \neq 2$

Answer: $x + 2$, où $x \neq -3$ et $x \neq 2$

Multiplier trois expressions rationnelles

Multiplie : $\frac{2x}{x^2 - 1} \times \frac{x + 1}{4} \times \frac{x - 1}{x}$

Factoriser toutes les expressions: $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$ = $\frac{2x}{(x+1)(x-1)} \times \frac{x+1}{4} \times \frac{x-1}{x}$

Combiner en une seule fraction: $\frac{2x(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1) \cdot 4 \cdot x}$ = $\frac{2x(x+1)(x-1)}{4x(x+1)(x-1)}$

Annuler les facteurs communs: $\frac{\cancel{2}\cancel{x}\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{4}^2\cancel{x}\cancel{(x+1)}\cancel{(x-1)}}$ = $\frac{1}{2}$

Énoncer les restrictions: $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$ = De tous les dénominateurs originaux

Answer: $\frac{1}{2}$, où $x \neq 0$, $x \neq 1$, $x \neq -1$

Mistake: Oublier de factoriser avant de multiplier

Why: Multiplier des polynômes non factorisés crée des expressions plus grandes qui sont plus difficiles à simplifier ensuite.

Correct: Factorise toujours chaque numérateur et dénominateur complètement AVANT de multiplier. Cela rend l'annulation beaucoup plus facile.

Mistake: Annuler des termes au lieu de facteurs

Why: Tu ne peux annuler que des facteurs (choses multipliées), pas des termes (choses additionnées).

Correct: $\frac{x+3}{x+5}$ ne peut pas être simplifié en annulant $x$. Mais $\frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5}$ car $x$ est un facteur.

Mistake: Oublier les restrictions du domaine

Why: Même après annulation, les valeurs qui rendaient l'expression originale indéfinie restent exclues.

Correct: Énonce toutes les restrictions des dénominateurs ORIGINAUX, pas seulement de la forme simplifiée.

Mistake: Additionner au lieu de multiplier

Why: La multiplication et l'addition de fractions suivent des règles différentes.

Correct: Pour la multiplication : multiplier en croix. $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Taux combinés en physique

Lors du calcul d'effets composés comme la résistance ou les changements de vitesse, la multiplication d'expressions rationnelles modélise comment les quantités se combinent.

Si une voiture parcourt $\frac{d}{t_1}$ km/h pour la première étape et que sa vitesse change d'un facteur $\frac{t_1}{t_2}$, le taux effectif est $\frac{d}{t_1} \times \frac{t_1}{t_2} = \frac{d}{t_2}$ km/h.

Calculs de probabilité

Trouver la probabilité d'événements indépendants combinés nécessite la multiplication d'expressions rationnelles.

Si la probabilité de l'événement A est $\frac{x}{x+5}$ et l'événement B est $\frac{x+5}{2x}$, alors $P(A \text{ et } B) = \frac{x}{x+5} \times \frac{x+5}{2x} = \frac{1}{2}$.

Q: Puis-je annuler avant de multiplier ?

A: Oui ! C'est même recommandé. Tu peux annuler tout facteur dans tout numérateur avec le même facteur dans tout dénominateur avant de multiplier. Cela garde les nombres plus petits et plus faciles à manipuler.

Q: Et s'il n'y a rien à annuler ?

A: Multiplie simplement les numérateurs et les dénominateurs tels quels. Toutes les multiplications n'ont pas de facteurs communs à annuler.

Q: Ai-je besoin d'un dénominateur commun ?

A: Non ! Contrairement à l'addition et la soustraction de fractions, la multiplication ne nécessite pas de dénominateur commun. Multiplie simplement en croix.