Multiplication des expressions rationnelles

Apprends à multiplier des expressions rationnelles en multipliant les numérateurs et les dénominateurs, puis en simplifiant.

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Définition

Pour multiplier des expressions rationnelles, multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble, puis simplifie le résultat.
Pour les expressions rationnelles AB\frac{A}{B} et CD\frac{C}{D} où B≠0B \neq 0 et D≠0D \neq 0 :
AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}
Important : Factorise toujours complètement et annule les facteurs communs avant de multiplier pour faciliter les calculs !
AB×CD=A⋅CB⋅D=CB\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{\cancel{A} \cdot C}{B \cdot \cancel{D}} = \frac{C}{B}
(si A=DA = D)

Essaie tout de suite

Que vaut 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} ?

Exemples résolus

Multiplie : 3x4×89x2\frac{3x}{4} \times \frac{8}{9x^2}
1

Écrire comme une seule fraction

3x×84×9x2\frac{3x \times 8}{4 \times 9x^2} → 24x36x2\frac{24x}{36x^2}
2

Factoriser les termes communs

24x36x2=24⋅x36⋅x⋅x\frac{24x}{36x^2} = \frac{24 \cdot x}{36 \cdot x \cdot x} → Identifier les facteurs communs : 12 et xx
3

Annuler les facteurs communs

2436=23\frac{24}{36} = \frac{2}{3} et xx2=1x\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x} → 23x\frac{2}{3x}
4

Écrire la réponse finale

Combiner les parties simplifiées → 23x\frac{2}{3x}, où x≠0x \neq 0

Erreurs courantes

Oublier de factoriser avant de multiplier

Pourquoi c'est faux: Multiplier des polynômes non factorisés crée des expressions plus grandes qui sont plus difficiles à simplifier ensuite.

Correct: Factorise toujours chaque numérateur et dénominateur complètement AVANT de multiplier. Cela rend l'annulation beaucoup plus facile.

Annuler des termes au lieu de facteurs

Pourquoi c'est faux: Tu ne peux annuler que des facteurs (choses multipliées), pas des termes (choses additionnées).

Correct: x+3x+5\frac{x+3}{x+5} ne peut pas être simplifié en annulant xx. Mais x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\frac{x(x+3)}{x(x+5)} = \frac{x+3}{x+5} car xx est un facteur.

Oublier les restrictions du domaine

Pourquoi c'est faux: Même après annulation, les valeurs qui rendaient l'expression originale indéfinie restent exclues.

Correct: Énonce toutes les restrictions des dénominateurs ORIGINAUX, pas seulement de la forme simplifiée.

Additionner au lieu de multiplier

Pourquoi c'est faux: La multiplication et l'addition de fractions suivent des règles différentes.

Correct: Pour la multiplication : multiplier en croix. ab×cd=acbd\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Visuel interactif

Arbre de facteurs

Nombre:
Composé
Premier

Entre un nombre pour voir son arbre de facteurs et sa décomposition en facteurs premiers.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Que vaut 23×57\frac{2}{3} \times \frac{5}{7} ?

Pourquoi c'est important

La multiplication des expressions rationnelles est essentielle en algèbre et au-delà :
  • Résolution d'équations : De nombreuses équations algébriques nécessitent la multiplication de fractions pour isoler les variables
  • Formules de physique : La combinaison de taux, comme la vitesse et le temps, implique souvent la multiplication d'expressions
  • Ingénierie : Calcul des effets combinés dans les circuits ou les systèmes mécaniques
  • Économie : Calcul des taux de croissance composés et des probabilités combinées
Maîtriser cette compétence rend l'algèbre avancée, le calcul et la résolution de problèmes réels beaucoup plus gérables !

Applications dans le monde réel

Taux combinés en physique

Lors du calcul d'effets composés comme la résistance ou les changements de vitesse, la multiplication d'expressions rationnelles modélise comment les quantités se combinent.

Exemple:

Si une voiture parcourt dt1\frac{d}{t_1} km/h pour la première étape et que sa vitesse change d'un facteur t1t2\frac{t_1}{t_2}, le taux effectif est dt1×t1t2=dt2\frac{d}{t_1} \times \frac{t_1}{t_2} = \frac{d}{t_2} km/h.

1Essaie par toi-même

Une usine produit 100h\frac{100}{h} unités par heure, où hh est le nombre de travailleurs. Si l'efficacité augmente d'un facteur hh−2\frac{h}{h-2}, quel est le nouveau taux de production ?

Multiplie les expressions et simplifie.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 100h×hh−2\frac{100}{h} \times \frac{h}{h-2}

Calculs de probabilité

Trouver la probabilité d'événements indépendants combinés nécessite la multiplication d'expressions rationnelles.

Exemple:

Si la probabilité de l'événement A est xx+5\frac{x}{x+5} et l'événement B est x+52x\frac{x+5}{2x}, alors P(A et B)=xx+5×x+52x=12P(A \text{ et } B) = \frac{x}{x+5} \times \frac{x+5}{2x} = \frac{1}{2}.

2Essaie par toi-même

Un jeu a deux étapes indépendantes. La probabilité de réussir l'étape 1 est 3n+1\frac{3}{n+1} et l'étape 2 est n+16\frac{n+1}{6}.

Quelle est la probabilité de réussir les deux étapes ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule : 3n+1×n+16\frac{3}{n+1} \times \frac{n+1}{6}

Points clés

  • 1Pour multiplier des expressions rationnelles : multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble
  • 2Toujours factoriser complètement AVANT de multiplier pour identifier les facteurs communs
  • 3Annuler les facteurs communs entre tout numérateur et tout dénominateur
  • 4Énoncer toutes les restrictions du domaine des expressions originales
  • 5Le produit d'expressions rationnelles est aussi une expression rationnelle

Questions fréquentes

Oui ! C'est même recommandé. Tu peux annuler tout facteur dans tout numérateur avec le même facteur dans tout dénominateur avant de multiplier. Cela garde les nombres plus petits et plus faciles à manipuler.
Oui ! C'est même recommandé. Tu peux annuler tout facteur dans tout numérateur avec le même facteur dans tout dénominateur avant de multiplier. Cela garde les nombres plus petits et plus faciles à manipuler.
Multiplie simplement les numérateurs et les dénominateurs tels quels. Toutes les multiplications n'ont pas de facteurs communs à annuler.
Non ! Contrairement à l'addition et la soustraction de fractions, la multiplication ne nécessite pas de dénominateur commun. Multiplie simplement en croix.

Glossaire

Expression rationnelle
Une fraction où le numérateur et/ou le dénominateur sont des polynômes
Facteur
Un nombre ou une expression qui divise uniformément un autre
Restriction du domaine
Valeurs de la variable qui rendent l'expression indéfinie (dénominateur égal à zéro)
Annuler
Diviser les facteurs communs du numérateur et du dénominateur

Carte des formules

Multiplication des expressions rationnelles

AB×CD=A×CB×D\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}

Multiplier les numérateurs ensemble et les dénominateurs ensemble, puis simplifier

Processus simplifié

Factoriser →\rightarrow Annuler →\rightarrow Multiplier

Factoriser toutes les parties, annuler les facteurs communs, puis multiplier les termes restants

Défi du jourUn problème, trois essais

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