Coefficients déjà opposés

Résous le système : $$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$

Identifie les coefficients opposés: Les coefficients de $y$ sont $+2$ et $-2$ - ils sont opposés ! = Prêt à additionner

Additionne les équations: $(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1$ $2x + 0y = 8$ = $2x = 8$

Résous pour $x$: $2x = 8$ $x = 4$ = $x = 4$

Substitue pour trouver $y$: $4 + 2y = 7$ $2y = 3$ $y = 1,5$ = $y = 1,5$

Vérifie la solution: Équation 1 : $4 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7$ ✓ Équation 2 : $4 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1$ ✓ = Les deux équations sont satisfaites

Answer: La solution est $(4 ; 1,5)$

Multiplier pour créer des opposés

Résous le système : $$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ x + y = 6 \end{cases}$$

Choisis une variable à éliminer: Éliminons $y$. Les coefficients de $y$ doivent devenir opposés. = Objectif : éliminer $y$

Multiplie l'équation 2 par $-2$: $-2(x + y) = -2(6)$ $-2x - 2y = -12$ = Nouvelle équation 2 : $-2x - 2y = -12$

Additionne les équations: $(3x + 2y) + (-2x - 2y) = 16 + (-12)$ $x + 0y = 4$ = $x = 4$

Substitue pour trouver $y$: $4 + y = 6$ $y = 2$ = $y = 2$

Vérifie la solution: Équation 1 : $3(4) + 2(2) = 12 + 4 = 16$ ✓ Équation 2 : $4 + 2 = 6$ ✓ = Les deux équations sont satisfaites

Answer: La solution est $(4 ; 2)$

Multiplier les deux équations

Résous le système : $$\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Choisis une variable à éliminer: Éliminons $x$. Coefficients actuels : $2$ et $3$. Le PPCM est $6$. = Besoin de coefficients $6$ et $-6$

Multiplie l'équation 1 par $3$: $3(2x + 3y) = 3(13)$ $6x + 9y = 39$ = $6x + 9y = 39$

Multiplie l'équation 2 par $-2$: $-2(3x + 2y) = -2(12)$ $-6x - 4y = -24$ = $-6x - 4y = -24$

Additionne les équations: $(6x + 9y) + (-6x - 4y) = 39 + (-24)$ $5y = 15$ = $y = 3$

Substitue pour trouver $x$: $2x + 3(3) = 13$ $2x + 9 = 13$ $2x = 4$ $x = 2$ = $x = 2$

Vérifie la solution: Équation 1 : $2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13$ ✓ Équation 2 : $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$ ✓ = Les deux équations sont satisfaites

Answer: La solution est $(2 ; 3)$

Mistake: Oublier de multiplier toute l'équation

Why: Quand on multiplie pour créer des coefficients opposés, chaque terme doit être multiplié, y compris la constante du membre de droite.

Correct: Si tu multiplies $x + 2y = 5$ par $3$, tu obtiens $3x + 6y = 15$, pas $3x + 6y = 5$.

Mistake: Additionner quand il faut soustraire (ou inversement)

Why: Pour que l'élimination fonctionne, les coefficients doivent être vraiment opposés (comme $+3$ et $-3$). S'ils sont identiques, il faut soustraire.

Correct: Mêmes signes : soustraire les équations. Signes opposés : additionner les équations.

Mistake: Ne pas vérifier la solution dans les deux équations

Why: Une solution doit satisfaire les deux équations d'origine. Vérifier une seule équation peut laisser passer des erreurs.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans les DEUX équations d'origine pour vérifier.

Ventes de billets de concert

Les organisateurs d'événements utilisent des systèmes d'équations pour analyser les ventes de billets quand différentes catégories ont des prix différents.

Un concert a vendu 500 billets au total. Les billets VIP coûtent 80 euros et les billets normaux 40 euros. Le revenu total était de 28 000 euros. Combien de chaque type ont été vendus ?

Chimie : équilibrer des mélanges

Les chimistes utilisent l'élimination pour déterminer quelle quantité de chaque solution mélanger pour atteindre une concentration désirée.

Une chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 30%. Elle dispose de solutions acides à 20% et 50%. Quelle quantité de chaque doit-elle mélanger ?

Q: Quand dois-je utiliser la combinaison plutôt que la substitution ?

A: Utilise la combinaison quand : (1) les coefficients sont déjà opposés ou égaux, (2) aucune équation n'est déjà résolue pour une variable, ou (3) la substitution créerait des fractions compliquées. Utilise la substitution quand une équation est déjà résolue pour une variable (comme $y = 3x + 2$).

Q: Que se passe-t-il si les deux variables sont éliminées ?

A: Si tu obtiens une affirmation vraie comme $0 = 0$, le système a une infinité de solutions (les droites sont confondues). Si tu obtiens une affirmation fausse comme $0 = 5$, le système n'a pas de solution (les droites sont parallèles).

Q: Est-ce important quelle variable j'élimine en premier ?

A: Non ! Tu obtiendras la même réponse dans tous les cas. Choisis la variable qui nécessite la multiplication la plus simple pour créer des coefficients opposés.