Méthode par combinaison

Apprends à résoudre des systèmes d'équations en éliminant une variable par addition ou soustraction.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La méthode par combinaison (aussi appelée méthode par addition) résout les systèmes d'équations en additionnant ou soustrayant les équations pour éliminer une variable.
Idée clé : Quand on additionne deux équations, on peut faire disparaître une variable si ses coefficients sont opposés.
{2x+3y=122x−3y=0\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - 3y = 0 \end{cases}
En additionnant ces équations :
4x+0y=124x + 0y = 12
x=3x = 3
Les termes en yy (+3y+3y et −3y-3y) sont opposés, donc ils s'annulent quand on additionne !

Essaie tout de suite

Quel système est prêt pour l'élimination par addition (sans multiplication) ?

Exemples résolus

Résous le système :
{x+2y=7x−2y=1\begin{cases} x + 2y = 7 \\ x - 2y = 1 \end{cases}
1

Identifie les coefficients opposés

Les coefficients de yy sont +2+2 et −2-2 - ils sont opposés ! → Prêt à additionner
2

Additionne les équations

(x+2y)+(x−2y)=7+1(x + 2y) + (x - 2y) = 7 + 1 2x+0y=82x + 0y = 8 → 2x=82x = 8
3

Résous pour xx

2x=82x = 8 x=4x = 4
4

Substitue pour trouver yy

4+2y=74 + 2y = 7 2y=32y = 3 y=1,5y = 1,5
5

Vérifie la solution

Équation 1 : 4+2(1,5)=4+3=74 + 2(1,5) = 4 + 3 = 7 ✓ Équation 2 : 4−2(1,5)=4−3=14 - 2(1,5) = 4 - 3 = 1 ✓ → Les deux équations sont satisfaites

Erreurs courantes

Oublier de multiplier toute l'équation

Pourquoi c'est faux: Quand on multiplie pour créer des coefficients opposés, chaque terme doit être multiplié, y compris la constante du membre de droite.

Correct: Si tu multiplies x+2y=5x + 2y = 5 par 33, tu obtiens 3x+6y=153x + 6y = 15, pas 3x+6y=53x + 6y = 5.

Additionner quand il faut soustraire (ou inversement)

Pourquoi c'est faux: Pour que l'élimination fonctionne, les coefficients doivent être vraiment opposés (comme +3+3 et −3-3). S'ils sont identiques, il faut soustraire.

Correct: Mêmes signes : soustraire les équations. Signes opposés : additionner les équations.

Ne pas vérifier la solution dans les deux équations

Pourquoi c'est faux: Une solution doit satisfaire les deux équations d'origine. Vérifier une seule équation peut laisser passer des erreurs.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans les DEUX équations d'origine pour vérifier.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-2024680510xy(4 ; 2)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

3x + 2y = 16x + y = 6
  • Point d'intersection : (4 ; 2)

Résolveur d'équations

Résoudre pour x,yx, y:

(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
1
(1)x+2y=7(2)x−2y=1\begin{aligned} (1)\quad x + 2y &= 7 \\ (2)\quad x - 2y &= 1 \end{aligned}
Soustraire l'équation (2) de l'équation (1)Les termes en xx s'annulent

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = (16 - 3x)/2

m=-1,5, b=8

y = 6 - x

m=-1, b=6

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Quel système est prêt pour l'élimination par addition (sans multiplication) ?

Pourquoi c'est important

La méthode par combinaison est puissante car :
  • Efficace pour certains systèmes : Quand les coefficients sont déjà opposés ou égaux, la combinaison est plus rapide que la substitution
  • Pas de fractions nécessaires : Évite souvent les fractions compliquées que la substitution crée
  • Base pour les maths avancées : Les opérations matricielles en algèbre linéaire utilisent le même concept
  • Applications réelles : Les ingénieurs utilisent les systèmes d'équations pour analyser des circuits, équilibrer des équations chimiques et optimiser des ressources
Choisir entre substitution et combinaison, c'est comme choisir le bon outil pour un travail - les deux fonctionnent, mais l'un peut être plus simple pour un problème particulier.

Applications dans le monde réel

Ventes de billets de concert

Les organisateurs d'événements utilisent des systèmes d'équations pour analyser les ventes de billets quand différentes catégories ont des prix différents.

Exemple:

Un concert a vendu 500 billets au total. Les billets VIP coûtent 80 euros et les billets normaux 40 euros. Le revenu total était de 28 000 euros. Combien de chaque type ont été vendus ?

1Essaie par toi-même

Soit vv = billets VIP et rr = billets normaux. Système : v+r=500v + r = 500 (total des billets) 80v+40r=2800080v + 40r = 28000 (revenu total)

Combien de billets VIP ont été vendus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la première équation par −40-40 et additionne pour éliminer rr :

Chimie : équilibrer des mélanges

Les chimistes utilisent l'élimination pour déterminer quelle quantité de chaque solution mélanger pour atteindre une concentration désirée.

Exemple:

Une chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 30%. Elle dispose de solutions acides à 20% et 50%. Quelle quantité de chaque doit-elle mélanger ?

2Essaie par toi-même

Soit xx = mL de solution à 20% et yy = mL de solution à 50%. Système : x+y=100x + y = 100 (volume total) 0,20x+0,50y=300,20x + 0,50y = 30 (quantité d'acide : 100×0,30=30100 \times 0,30 = 30 mL)

Combien de mL de solution à 50% sont nécessaires ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la première équation par −0,20-0,20 et additionne :

Points clés

  • 1La méthode par combinaison élimine une variable en additionnant ou soustrayant des équations
  • 2Si les coefficients sont déjà opposés, additionne directement les équations
  • 3Si les coefficients sont identiques, soustrais les équations
  • 4Sinon, multiplie une ou les deux équations pour créer des coefficients opposés
  • 5Vérifie toujours ta solution en la substituant dans les deux équations d'origine

Questions fréquentes

Utilise la combinaison quand : (1) les coefficients sont déjà opposés ou égaux, (2) aucune équation n'est déjà résolue pour une variable, ou (3) la substitution créerait des fractions compliquées. Utilise la substitution quand une équation est déjà résolue pour une variable (comme y=3x+2y = 3x + 2).
Utilise la combinaison quand : (1) les coefficients sont déjà opposés ou égaux, (2) aucune équation n'est déjà résolue pour une variable, ou (3) la substitution créerait des fractions compliquées. Utilise la substitution quand une équation est déjà résolue pour une variable (comme y=3x+2y = 3x + 2).
Si tu obtiens une affirmation vraie comme 0=00 = 0, le système a une infinité de solutions (les droites sont confondues). Si tu obtiens une affirmation fausse comme 0=50 = 5, le système n'a pas de solution (les droites sont parallèles).
Non ! Tu obtiendras la même réponse dans tous les cas. Choisis la variable qui nécessite la multiplication la plus simple pour créer des coefficients opposés.

Glossaire

Méthode par combinaison
Une technique pour résoudre des systèmes d'équations en additionnant ou soustrayant des équations pour éliminer une variable
Coefficients opposés
Coefficients dont la somme est nulle, comme +3+3 et −3-3
PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
Le plus petit nombre qui est multiple des deux coefficients ; utilisé pour trouver les multiplicateurs nécessaires pour créer des coefficients opposés
Vérifier
Contrôler qu'une solution satisfait les deux équations d'origine

Carte des formules

Stratégie d'élimination

Opposeˊs : +a et −a→ADDITIONNER\text{Opposés : } +a \text{ et } -a \rightarrow \text{ADDITIONNER}
Identiques : +a et +a→SOUSTRAIRE\text{Identiques : } +a \text{ et } +a \rightarrow \text{SOUSTRAIRE}

Décide si tu additionnes ou soustrais selon les coefficients

Créer des opposés

Multiplier les eˊquations pour obtenir ±PPCM des coefficients\text{Multiplier les équations pour obtenir } \pm\text{PPCM des coefficients}

Utilise le PPCM pour trouver les multiplicateurs

Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux systèmes d'équations

Intermédiaire25 min

Systèmes d'équations (Substitution)

Avancé25 min

Résoudre des systèmes par la méthode graphique

Intermédiaire25 min

Méthode par substitution

Intermédiaire25 min