Vérifier une solution

Est-ce que $(x, y) = (4, 3)$ est une solution du système : $x + y = 7$ et $2x - y = 5$ ?

Substituer dans la première équation: $x + y = 4 + 3 = 7$ = Première équation : $7 = 7$ est VRAI

Substituer dans la deuxième équation: $2x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5$ = Deuxième équation : $5 = 5$ est VRAI

Vérifier si les DEUX sont satisfaites: Première équation : VRAI, Deuxième équation : VRAI = Les deux équations sont satisfaites

Answer: Oui, $(4, 3)$ est une solution car elle satisfait les deux équations.

Trouver une solution par essais

Trouve la solution de : $x + y = 6$ et $x - y = 2$ en testant des valeurs.

Réfléchis à ce que les équations nous disent: La somme est 6, la différence est 2. Un nombre est plus grand que l'autre. = On a besoin de $x > y$

Essaye $x = 4$, $y = 2$: Somme : $4 + 2 = 6$ (correct !). Différence : $4 - 2 = 2$ (correct !) = Les deux équations sont vérifiées

Confirmer la solution: $x + y = 4 + 2 = 6$, $x - y = 4 - 2 = 2$ = $(4, 2)$ est la solution

Answer: La solution est $x = 4$ et $y = 2$, soit $(4, 2)$.

Comprendre le graphique

Les droites $y = x + 1$ et $y = -x + 5$ se coupent en un point. Quel est ce point ?

Égaliser les équations (toutes deux égales à $y$): $x + 1 = -x + 5$ = Équation à résoudre pour $x$

Résoudre pour $x$: $x + x = 5 - 1$, donc $2x = 4$, d'où $x = 2$ = $x = 2$

Trouver $y$ par substitution: $y = x + 1 = 2 + 1 = 3$ = $y = 3$

Énoncer le point d'intersection: Le point est $(2, 3)$ = C'est là que les deux droites se croisent

Answer: Les droites se coupent au point $(2, 3)$.

Système du monde réel

Dans un café, 2 cafés et 1 thé coûtent 9 euros. 1 café et 2 thés coûtent 6 euros. Quel est le prix de chaque boisson ?

Définir les variables: Soit $c$ = prix d'un café, $t$ = prix d'un thé = $c$ et $t$ sont nos inconnues

Écrire les équations: $2c + t = 9$ et $c + 2t = 6$ = Système d'équations formé

Résoudre par substitution ou combinaison: De l'équation 2 : $c = 6 - 2t$. Substituer : $2(6 - 2t) + t = 9$ = $12 - 4t + t = 9$, donc $-3t = -3$

Trouver les deux valeurs: $t = 1$, puis $c = 6 - 2(1) = 4$ = Café = 4 euros, Thé = 1 euro

Answer: Un café coûte 4 euros et un thé coûte 1 euro.

Mistake: Vérifier une seule équation et déclarer que c'est une solution

Why: Une solution doit satisfaire TOUTES les équations du système, pas une seule.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans chaque équation pour vérifier qu'elle fonctionne pour toutes.

Mistake: Confondre la solution $(3, 2)$ avec $(2, 3)$

Why: Dans les couples ordonnés, le premier nombre est $x$ et le second est $y$. L'ordre est important !

Correct: Écris toujours les solutions dans le bon ordre : $(x, y)$. Étiquette clairement ton travail.

Mistake: Penser que des droites parallèles ont une solution

Why: Les droites parallèles ne se coupent jamais, donc il n'y a pas de point qui appartient aux deux.

Correct: Si deux droites sont parallèles (même pente, ordonnées à l'origine différentes), le système n'a pas de solution.

Problèmes d'achats

Déterminer des prix unitaires quand on ne connaît que les totaux.

Si 3 pommes et 2 oranges coûtent 11 euros, et 2 pommes et 3 oranges coûtent 9 euros, tu peux trouver le prix de chaque fruit avec un système d'équations.

Problèmes de mélanges

Combiner différentes substances pour atteindre une concentration ou quantité cible.

Mélanger une solution d'acide à 10% avec une solution d'acide à 30% pour créer 100 mL d'une solution à 22%.

Q: Et si les droites ne se coupent jamais ?

A: Si les droites sont parallèles (même pente mais ordonnées à l'origine différentes), elles ne se rencontrent jamais et le système n'a pas de solution. On appelle cela un système incompatible.

Q: Un système peut-il avoir plus d'une solution ?

A: Si les deux équations représentent la même droite, alors chaque point de cette droite est une solution. Cela donne une infinité de solutions. On appelle cela un système indéterminé.

Q: Pourquoi avons-nous besoin de deux équations pour deux inconnues ?

A: Une équation avec deux inconnues a une infinité de solutions (toute une droite de points). La deuxième équation la réduit à un point spécifique où les deux conditions sont remplies.