Introduction aux systèmes d'équations

Apprends ce que sont les systèmes d'équations et découvre comment deux équations peuvent fonctionner ensemble pour trouver une solution unique.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un système d'équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations qui partagent les mêmes variables. La solution d'un système est l'ensemble des valeurs qui rendent TOUTES les équations vraies en même temps.
Par exemple, le système :
{x+y=5x−y=1\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}
a pour solution x=3x = 3 et y=2y = 2, car :
  • 3+2=53 + 2 = 5 (première équation vraie)
  • 3−2=13 - 2 = 1 (deuxième équation vraie)
Graphiquement, la solution est le point d'intersection des deux droites.

Essaie tout de suite

Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Exemples résolus

Est-ce que (x,y)=(4,3)(x, y) = (4, 3) est une solution du système : x+y=7x + y = 7 et 2x−y=52x - y = 5 ?
1

Substituer dans la première équation

x+y=4+3=7x + y = 4 + 3 = 7 → Première équation : 7=77 = 7 est VRAI
2

Substituer dans la deuxième équation

2x−y=2(4)−3=8−3=52x - y = 2(4) - 3 = 8 - 3 = 5 → Deuxième équation : 5=55 = 5 est VRAI
3

Vérifier si les DEUX sont satisfaites

Première équation : VRAI, Deuxième équation : VRAI → Les deux équations sont satisfaites

Erreurs courantes

Vérifier une seule équation et déclarer que c'est une solution

Pourquoi c'est faux: Une solution doit satisfaire TOUTES les équations du système, pas une seule.

Correct: Substitue toujours ta réponse dans chaque équation pour vérifier qu'elle fonctionne pour toutes.

Confondre la solution (3,2)(3, 2) avec (2,3)(2, 3)

Pourquoi c'est faux: Dans les couples ordonnés, le premier nombre est xx et le second est yy. L'ordre est important !

Correct: Écris toujours les solutions dans le bon ordre : (x,y)(x, y). Étiquette clairement ton travail.

Penser que des droites parallèles ont une solution

Pourquoi c'est faux: Les droites parallèles ne se coupent jamais, donc il n'y a pas de point qui appartient aux deux.

Correct: Si deux droites sont parallèles (même pente, ordonnées à l'origine différentes), le système n'a pas de solution.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-202468-202468xy(2 ; 3)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = x + 1y = -x + 5
  • Point d'intersection : (2 ; 3)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

16 exercices
Problème 1 sur 16
Facile
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?

Pourquoi c'est important

Les systèmes d'équations nous aident à résoudre des problèmes avec plusieurs inconnues :
  • Commerce : Déterminer le prix de chaque article quand on connaît les totaux de différentes commandes
  • Chimie : Équilibrer des équations chimiques et résoudre des problèmes de mélanges
  • Ingénierie : Calculer les forces dans des structures avec plusieurs points d'appui
  • Vie quotidienne : Trouver combien d'articles de chaque type quelqu'un a achetés quand on connaît le nombre total et le coût total
Chaque fois que tu as deux inconnues et deux informations, les systèmes d'équations sont l'outil à utiliser !

Applications dans le monde réel

Problèmes d'achats

Déterminer des prix unitaires quand on ne connaît que les totaux.

Exemple:

Si 3 pommes et 2 oranges coûtent 11 euros, et 2 pommes et 3 oranges coûtent 9 euros, tu peux trouver le prix de chaque fruit avec un système d'équations.

1Essaie par toi-même

Un magasin vend des cahiers et des stylos. Emma achète 2 cahiers et 3 stylos pour 13 euros. Tom achète 4 cahiers et 1 stylo pour 17 euros.

Quel est le prix d'un cahier ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Pose le système : 2c+3s=132c + 3s = 13 et 4c+s=174c + s = 17

Problèmes de mélanges

Combiner différentes substances pour atteindre une concentration ou quantité cible.

Exemple:

Mélanger une solution d'acide à 10% avec une solution d'acide à 30% pour créer 100 mL d'une solution à 22%.

2Essaie par toi-même

Une chimiste a besoin de 50 litres d'une solution d'alcool à 60%. Elle dispose d'une solution à 40% et d'une solution à 80%.

Combien de litres de la solution à 80% lui faut-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soit xx = litres à 40%, yy = litres à 80%. Pose : x+y=50x + y = 50 et 0,4x+0,8y=0,6(50)0,4x + 0,8y = 0,6(50)

Points clés

  • 1Un système d'équations est constitué de deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables
  • 2La solution est l'ensemble des valeurs qui rendent TOUTES les équations vraies simultanément
  • 3Graphiquement, la solution est le point d'intersection des droites
  • 4Pour vérifier une solution, substitue les valeurs dans chaque équation et vérifie
  • 5Les systèmes peuvent avoir une solution (droites sécantes), aucune solution (droites parallèles), ou une infinité de solutions (même droite)

Questions fréquentes

Si les droites sont parallèles (même pente mais ordonnées à l'origine différentes), elles ne se rencontrent jamais et le système n'a pas de solution. On appelle cela un système incompatible.
Si les droites sont parallèles (même pente mais ordonnées à l'origine différentes), elles ne se rencontrent jamais et le système n'a pas de solution. On appelle cela un système incompatible.
Si les deux équations représentent la même droite, alors chaque point de cette droite est une solution. Cela donne une infinité de solutions. On appelle cela un système indéterminé.
Une équation avec deux inconnues a une infinité de solutions (toute une droite de points). La deuxième équation la réduit à un point spécifique où les deux conditions sont remplies.

Glossaire

Système d'équations
Un ensemble de deux ou plusieurs équations partageant les mêmes variables et résolues ensemble
Solution d'un système
Le couple ordonné (ou les couples) qui satisfait toutes les équations du système simultanément
Système compatible
Un système qui a au moins une solution
Système incompatible
Un système sans solution (droites parallèles)
Système indéterminé
Un système où les équations représentent la même droite, donnant une infinité de solutions
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Systèmes d'équations (Substitution)

Avancé25 min

Résoudre des systèmes par la méthode graphique

Intermédiaire25 min

Méthode par substitution

Intermédiaire25 min

Méthode par combinaison

Intermédiaire25 min