Introduction aux systèmes d'équations

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Qu'est-ce qu'un système d'équations ?
1. a)Un graphique avec plusieurs droites
2. b)Deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables
3. c)Une équation avec une variable
4. d)Une expression avec plusieurs termes
Réponse: Deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables
Un système d'équations est un ensemble de deux ou plusieurs équations qui partagent les mêmes variables et doivent être résolues ensemble.
2.
Que représente graphiquement la solution d'un système d'équations ?
1. a)Le point d'intersection des droites
2. b)L'ordonnée à l'origine des deux droites
3. c)La pente des droites
4. d)La distance entre les droites
Réponse: Le point d'intersection des droites
La solution d'un système de deux équations linéaires est le point où les deux droites se coupent. Ce point satisfait les deux équations simultanément.
3.
Est-ce que est une solution du système : et ?
1. a)Oui, il satisfait les deux équations
2. b)Non, il ne satisfait aucune des deux équations
3. c)Non, il ne satisfait que la deuxième équation
4. d)Non, il ne satisfait que la première équation
Réponse: Oui, il satisfait les deux équations
Vérification : (vrai) et (vrai). Puisque les deux équations sont satisfaites, est la solution.
4.
Si et , quelle est la valeur de ?
Réponse: 7
En additionnant les équations : , donc , ce qui donne .
5.
Si et , quelle est la valeur de ?
Réponse: 3
Du problème précédent, . En substituant dans : , donc .
6.
Que se passe-t-il quand deux droites sont parallèles ?
1. a)Le système n'a pas de solution
2. b)Le système a une infinité de solutions
3. c)Le système a exactement une solution
4. d)Le système ne peut pas être déterminé
Réponse: Le système n'a pas de solution
Les droites parallèles ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes. Puisqu'elles ne se coupent jamais, il n'y a pas de point qui satisfasse les deux équations, donc le système n'a pas de solution.
7.
Vérifie si est une solution de : et
Réponse: Yes
1. Substitue et dans la première équation . Qu'obtiens-tu ? 10
2. La première équation est-elle satisfaite ? (oui/non) oui
3. Substitue et dans la deuxième équation . Qu'obtiens-tu ? -1
4. La deuxième équation est-elle satisfaite ? (oui/non) oui
8.
Les droites et se coupent en un point. Quelle est la coordonnée de ce point ?
Réponse: 2
En égalisant : . En ajoutant des deux côtés : . En soustrayant 1 : . En divisant : .
9.
Les droites et se coupent en un point. Quelle est la coordonnée de ce point ?
Réponse: 5
Du problème précédent, . En substituant dans : .
10.
Trouve la solution de : et
Réponse: (3, 5)
1. Additionne les deux équations. Que vaut ? 3x
2. Que vaut ? 9
3. Donc . Quelle est la valeur de ? 3
4. Substitue dans . Quelle est la valeur de ? 5
11.
Dans un magasin, 3 crayons et 2 gommes coûtent 8 euros. 1 crayon et 4 gommes coûtent 6 euros. Trouve le prix d'un crayon.
Réponse: 2
1. Soit = prix d'un crayon, = prix d'une gomme. Écris la première équation. 3c + 2g = 8
2. Écris la deuxième équation. c + 4g = 6
3. À partir de l'équation 2, exprime en fonction de . c = 6 - 4g
4. Substitue dans l'équation 1 et résous pour . Quelle est la valeur de ? 1
5. Trouve maintenant en utilisant . Quelle est la valeur de ? 2
12.
Quel système a une infinité de solutions ?
1. a) et
2. b) et
3. c) et
4. d) et
Réponse: et
La deuxième équation se simplifie en , qui est identique à la première équation. Puisque les deux équations représentent la même droite, chaque point sur cette droite est une solution.
13.
La somme de deux nombres est 15 et leur différence est 3. Quel est le plus grand nombre ?
Réponse: 9
Soit = le plus grand nombre, = le plus petit nombre. Système : et . En additionnant : , donc .
14.
Un parking contient des voitures et des motos. Il y a 50 véhicules au total et 160 roues. Combien y a-t-il de voitures ?
Réponse: 30
1. Soit = voitures, = motos. Écris l'équation pour le total des véhicules. v + m = 50
2. Les voitures ont 4 roues, les motos en ont 2. Écris l'équation des roues. 4v + 2m = 160
3. À partir de l'équation 1, exprime en fonction de . m = 50 - v
4. Substitue dans l'équation des roues et simplifie. 4v + 2(50 - v) = 160
5. Résous pour . Combien y a-t-il de voitures ? 30
15.
Trouve où les droites et se coupent.
Réponse: (2, 3)
1. À partir de la deuxième équation , exprime en fonction de . x = y - 1
2. Substitue dans . Quelle équation obtiens-tu ? 3(y - 1) + 2y = 12
3. Simplifie et résous pour . Quelle est la valeur de ? 3
4. Trouve maintenant en utilisant . Quelle est la valeur de ? 2
16.
Les billets de cinéma coûtent des montants différents pour les adultes et les enfants. 2 billets adultes et 3 billets enfants coûtent 36 euros. 3 billets adultes et 2 billets enfants coûtent 39 euros. Quel est le prix d'un billet adulte en euros ?
Réponse: 9
Système : et . Multiplier la première équation par 2 : . Multiplier la seconde par 3 : . Soustraire : , donc euros.