Trouver le point d'intersection

Résous le système graphiquement : $$\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$$

Trace la première droite $y = x + 1$: Ordonnée à l'origine : $(0, 1)$. Pente : $1$ (1 vers le haut, 1 vers la droite). Points : $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 3)$ = Droite 1 tracée

Trace la deuxième droite $y = -x + 5$: Ordonnée à l'origine : $(0, 5)$. Pente : $-1$ (1 vers le bas, 1 vers la droite). Points : $(0, 5)$, $(1, 4)$, $(2, 3)$ = Droite 2 tracée

Trouve où les droites s'intersectent: Les deux droites passent par $(2, 3)$ = Intersection : $(2, 3)$

Vérifie la solution: Vérifie $y = x + 1$ : $3 = 2 + 1$ \checkmark Vérifie $y = -x + 5$ : $3 = -2 + 5$ \checkmark = Solution vérifiée

Answer: La solution est $(2, 3)$, c'est-à-dire $x = 2$ et $y = 3$.

Système avec des pentes différentes

Résous le système graphiquement : $$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = \frac{1}{2}x + 2 \end{cases}$$

Trace la première droite $y = 2x - 1$: Ordonnée à l'origine : $(0, -1)$. Pente : $2$ (2 vers le haut, 1 vers la droite). Points : $(0, -1)$, $(1, 1)$, $(2, 3)$ = Droite 1 tracée

Trace la deuxième droite $y = \frac{1}{2}x + 2$: Ordonnée à l'origine : $(0, 2)$. Pente : $\frac{1}{2}$ (1 vers le haut, 2 vers la droite). Points : $(0, 2)$, $(2, 3)$, $(4, 4)$ = Droite 2 tracée

Trouve le point d'intersection: Les deux droites passent par $(2, 3)$ = Intersection : $(2, 3)$

Vérifie la solution: Vérifie $y = 2x - 1$ : $3 = 2(2) - 1 = 3$ \checkmark Vérifie $y = \frac{1}{2}x + 2$ : $3 = \frac{1}{2}(2) + 2 = 3$ \checkmark = Solution vérifiée

Answer: La solution est $(2, 3)$.

Droites parallèles (aucune solution)

Résous le système graphiquement : $$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$$

Trace la première droite $y = 2x + 1$: Ordonnée à l'origine : $(0, 1)$. Pente : $2$ = Droite 1 tracée

Trace la deuxième droite $y = 2x - 3$: Ordonnée à l'origine : $(0, -3)$. Pente : $2$ = Droite 2 tracée

Cherche l'intersection: Les deux droites ont une pente de $2$ mais des ordonnées à l'origine différentes. Elles sont parallèles ! = Les droites ne se coupent jamais

Détermine la solution: Les droites parallèles ne se rencontrent jamais, donc il n'y a pas de point satisfaisant les deux équations = Aucune solution

Answer: **Aucune solution**. Les droites sont parallèles et ne se coupent jamais. C'est un **système incompatible**.

Même droite (infinité de solutions)

Résous le système graphiquement : $$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2y = 6x - 4 \end{cases}$$

Trace la première droite $y = 3x - 2$: Ordonnée à l'origine : $(0, -2)$. Pente : $3$ = Droite 1 tracée

Simplifie et trace la deuxième équation: Divise par 2 : $y = 3x - 2$. Même équation ! = Même droite !

Analyse le résultat: Les deux équations représentent exactement la même droite = Les droites sont confondues

Détermine la solution: Chaque point de la droite satisfait les deux équations = Infinité de solutions

Answer: **Infinité de solutions**. Les équations représentent la même droite. C'est un **système dépendant**.

Mistake: Lire incorrectement le point d'intersection sur le graphique

Why: Les graphiques peuvent être imprécis, surtout quand l'intersection a des coordonnées non entières.

Correct: Vérifie toujours ta réponse en la substituant dans LES DEUX équations originales.

Mistake: Oublier de vérifier la solution dans les deux équations

Why: Un point peut satisfaire une équation mais pas l'autre.

Correct: La solution doit fonctionner dans LES DEUX équations. Vérifie chacune séparément.

Mistake: Supposer que les droites parallèles ont une solution

Why: Des droites avec la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes ne se coupent jamais.

Correct: Si les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes, il n'y a PAS de solution (système incompatible).

Mistake: Erreurs de tracé dues à un mauvais calcul de la pente

Why: La variation doit être appliquée correctement. Une pente de $-2$ signifie 2 vers le bas, 1 vers la droite.

Correct: Pour une pente positive : monte et va à droite. Pour une pente négative : descends et va à droite.

Analyse du seuil de rentabilité

Les entreprises utilisent les systèmes pour trouver quand le chiffre d'affaires égale les coûts.

Les coûts d'une entreprise sont $y = 500 + 2x$ (500€ fixes + 2€ par article) et le chiffre d'affaires est $y = 5x$ (5€ par article vendu). Le seuil de rentabilité est où ces droites se croisent.

Problème de point de rencontre

Détermine quand et où deux objets en mouvement se rencontreront.

La voiture A part avec 10 km d'avance et roule à 60 km/h. La voiture B part de l'origine à 80 km/h. Leurs positions sont $y = 60x + 10$ et $y = 80x$. Où se rencontrent-elles ?

Offre et demande

Les économistes trouvent l'équilibre là où l'offre égale la demande.

Offre : $y = 2x + 10$ (le prix augmente avec la quantité). Demande : $y = -x + 40$ (le prix diminue avec la quantité). L'équilibre est où ces courbes se croisent.

Q: Et si le point d'intersection a des coordonnées décimales ou fractionnaires ?

A: La méthode graphique peut être imprécise pour les solutions non entières. Dans ce cas, les méthodes algébriques (substitution ou élimination) donnent des réponses exactes. Cependant, tu peux estimer à partir du graphique et vérifier algébriquement.

Q: Comment savoir si les droites sont parallèles sans les tracer ?

A: Compare les pentes. Si les deux équations ont la même pente (coefficient de $x$ sous la forme $y = mx + b$) mais des ordonnées à l'origine différentes, les droites sont parallèles.

Q: Un système peut-il avoir exactement deux solutions ?

A: Non. Deux droites peuvent se couper au plus une fois. Un système d'équations linéaires a soit 0, 1, ou une infinité de solutions.