Résoudre des systèmes par la méthode graphique

Apprends à résoudre des systèmes d'équations linéaires en traçant les deux droites et en trouvant leur point d'intersection.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un système d'équations linéaires est un ensemble de deux ou plusieurs équations linéaires avec les mêmes variables. Pour résoudre un système graphiquement :
  1. 1.Trace chaque équation dans le même plan cartésien
  2. 2.Trouve le point où les droites s'intersectent
  3. 3.Le point d'intersection (x,y)(x, y) est la solution
{y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}
La solution satisfait les deux équations simultanément.

Essaie tout de suite

Si deux droites sont parallèles, combien de solutions le système a-t-il ?

Exemples résolus

Résous le système graphiquement :
{y=x+1y=−x+5\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}
1

Trace la première droite y=x+1y = x + 1

Ordonnée à l'origine : (0,1)(0, 1). Pente : 11 (1 vers le haut, 1 vers la droite). Points : (0,1)(0, 1), (1,2)(1, 2), (2,3)(2, 3) → Droite 1 tracée
2

Trace la deuxième droite y=−x+5y = -x + 5

Ordonnée à l'origine : (0,5)(0, 5). Pente : −1-1 (1 vers le bas, 1 vers la droite). Points : (0,5)(0, 5), (1,4)(1, 4), (2,3)(2, 3) → Droite 2 tracée
3

Trouve où les droites s'intersectent

Les deux droites passent par (2,3)(2, 3) → Intersection : (2,3)(2, 3)
4

Vérifie la solution

Vérifie y=x+1y = x + 1 : 3=2+13 = 2 + 1 \checkmark Vérifie y=−x+5y = -x + 5 : 3=−2+53 = -2 + 5 \checkmark → Solution vérifiée

Erreurs courantes

Lire incorrectement le point d'intersection sur le graphique

Pourquoi c'est faux: Les graphiques peuvent être imprécis, surtout quand l'intersection a des coordonnées non entières.

Correct: Vérifie toujours ta réponse en la substituant dans LES DEUX équations originales.

Oublier de vérifier la solution dans les deux équations

Pourquoi c'est faux: Un point peut satisfaire une équation mais pas l'autre.

Correct: La solution doit fonctionner dans LES DEUX équations. Vérifie chacune séparément.

Supposer que les droites parallèles ont une solution

Pourquoi c'est faux: Des droites avec la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes ne se coupent jamais.

Correct: Si les pentes sont égales et les ordonnées à l'origine différentes, il n'y a PAS de solution (système incompatible).

Erreurs de tracé dues à un mauvais calcul de la pente

Pourquoi c'est faux: La variation doit être appliquée correctement. Une pente de −2-2 signifie 2 vers le bas, 1 vers la droite.

Correct: Pour une pente positive : monte et va à droite. Pour une pente négative : descends et va à droite.

Visuel interactif

Courbe de la fonction

-4-202468-4-202468xy(2 ; 3)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

y = x + 1y = mx + b
  • Point d'intersection : (2 ; 3)

Bac à sable interactif

Grapheur interactif

-10-50510-10-50510xy

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

Essaie ces exemples :

y = x + 1

m=1, b=1

y = -x + 5

m=-1, b=5

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Que représente la solution d'un système d'équations sur un graphique ?

Pourquoi c'est important

Résoudre graphiquement des systèmes d'équations t'aide à visualiser les solutions et comprendre les relations entre les équations :
  • Commerce : Où le chiffre d'affaires égale-t-il les coûts ? (seuil de rentabilité)
  • Physique : Quand deux objets en mouvement se rencontrent-ils ?
  • Économie : Où l'offre égale-t-elle la demande ? (prix d'équilibre)
  • Planification : Quand deux emplois du temps ou budgets coïncident-ils ?
Voir l'intersection rend l'algèbre abstraite concrète !

Applications dans le monde réel

Analyse du seuil de rentabilité

Les entreprises utilisent les systèmes pour trouver quand le chiffre d'affaires égale les coûts.

Exemple:

Les coûts d'une entreprise sont y=500+2xy = 500 + 2x (500€ fixes + 2€ par article) et le chiffre d'affaires est y=5xy = 5x (5€ par article vendu). Le seuil de rentabilité est où ces droites se croisent.

1Essaie par toi-même

Équation des coûts : y=200+3xy = 200 + 3x. Équation du chiffre d'affaires : y=8xy = 8x.

À quelle quantité les coûts égalent-ils le chiffre d'affaires ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Égalise les équations : 200+3x=8x200 + 3x = 8x

Problème de point de rencontre

Détermine quand et où deux objets en mouvement se rencontreront.

Exemple:

La voiture A part avec 10 km d'avance et roule à 60 km/h. La voiture B part de l'origine à 80 km/h. Leurs positions sont y=60x+10y = 60x + 10 et y=80xy = 80x. Où se rencontrent-elles ?

2Essaie par toi-même

Train A : y=50x+20y = 50x + 20 (part avec 20 km d'avance, 50 km/h). Train B : y=70xy = 70x (part de l'origine, 70 km/h).

Au bout de combien d'heures le train B rattrapera-t-il le train A ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Égalise les positions : 50x+20=70x50x + 20 = 70x

Offre et demande

Les économistes trouvent l'équilibre là où l'offre égale la demande.

Exemple:

Offre : y=2x+10y = 2x + 10 (le prix augmente avec la quantité). Demande : y=−x+40y = -x + 40 (le prix diminue avec la quantité). L'équilibre est où ces courbes se croisent.

3Essaie par toi-même

Offre : y=3x+5y = 3x + 5. Demande : y=−2x+30y = -2x + 30.

Quels sont le prix et la quantité d'équilibre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Égalise l'offre et la demande : 3x+5=−2x+303x + 5 = -2x + 30

Points clés

  • 1Pour résoudre un système graphiquement, trace les deux droites et trouve leur intersection
  • 2Le point d'intersection (x,y)(x, y) est la solution qui satisfait LES DEUX équations
  • 3Si les droites sont parallèles (même pente, ordonnées différentes) : PAS de solution (incompatible)
  • 4Si les droites sont confondues : INFINITÉ de solutions (dépendant)
  • 5Vérifie toujours en substituant la solution dans les deux équations originales

Questions fréquentes

La méthode graphique peut être imprécise pour les solutions non entières. Dans ce cas, les méthodes algébriques (substitution ou élimination) donnent des réponses exactes. Cependant, tu peux estimer à partir du graphique et vérifier algébriquement.
La méthode graphique peut être imprécise pour les solutions non entières. Dans ce cas, les méthodes algébriques (substitution ou élimination) donnent des réponses exactes. Cependant, tu peux estimer à partir du graphique et vérifier algébriquement.
Compare les pentes. Si les deux équations ont la même pente (coefficient de xx sous la forme y=mx+by = mx + b) mais des ordonnées à l'origine différentes, les droites sont parallèles.
Non. Deux droites peuvent se couper au plus une fois. Un système d'équations linéaires a soit 0, 1, ou une infinité de solutions.

Glossaire

Système d'équations
Deux équations ou plus avec les mêmes variables qui sont résolues ensemble
Solution d'un système
Un couple ordonné (x,y)(x, y) qui rend TOUTES les équations du système vraies
Système compatible
Un système qui a au moins une solution (les droites se coupent ou sont confondues)
Système incompatible
Un système sans solution (droites parallèles qui ne se rencontrent jamais)
Système dépendant
Un système où les deux équations représentent la même droite (infinité de solutions)
Système indépendant
Un système avec exactement une solution (deux droites distinctes qui se coupent)
Défi du jourUn problème, trois essais

Plus sur ce sujet

Introduction aux systèmes d'équations

Intermédiaire25 min

Systèmes d'équations (Substitution)

Avancé25 min

Méthode par substitution

Intermédiaire25 min

Méthode par combinaison

Intermédiaire25 min