Problème de billets de cinéma

Les billets adultes coûtent 12 euros et les billets enfants coûtent 8 euros. Un groupe a acheté 15 billets pour un total de 148 euros. Combien de billets de chaque type ont-ils achetés ?

Définir les variables: Soit $a$ = nombre de billets adultes Soit $e$ = nombre de billets enfants = Deux inconnues : $a$ et $e$

Écrire la première équation (total des billets): Le groupe a acheté 15 billets au total : $a + e = 15$ = $a + e = 15$

Écrire la deuxième équation (coût total): Adultes : $12a$ euros Enfants : $8e$ euros Total : $12a + 8e = 148$ = $12a + 8e = 148$

Résoudre par substitution: De l'équation 1 : $a = 15 - e$ Substituer dans l'équation 2 : $12(15 - e) + 8e = 148$ = $180 - 12e + 8e = 148$

Simplifier et résoudre pour e: $180 - 4e = 148$ $-4e = -32$ $e = 8$ = $e = 8$ billets enfants

Trouver a: $a = 15 - e = 15 - 8 = 7$ = $a = 7$ billets adultes

Vérifier la réponse: Billets : $7 + 8 = 15$ ✓ Coût : $12(7) + 8(8) = 84 + 64 = 148$ ✓ = Les deux équations sont satisfaites !

Answer: Le groupe a acheté 7 billets adultes et 8 billets enfants.

Problème de somme et différence

La somme de deux nombres est 52. Leur différence est 18. Trouve les deux nombres.

Définir les variables: Soit $x$ = le plus grand nombre Soit $y$ = le plus petit nombre = Deux inconnues : $x$ et $y$

Écrire les équations à partir des mots: La somme est 52 : $x + y = 52$ La différence est 18 : $x - y = 18$ = Système : $\begin{cases} x + y = 52 \\ x - y = 18 \end{cases}$

Résoudre par élimination: Additionner les deux équations : $(x + y) + (x - y) = 52 + 18$ $2x = 70$ = $x = 35$

Trouver y: $x + y = 52$ $35 + y = 52$ $y = 17$ = $y = 17$

Vérifier: Somme : $35 + 17 = 52$ ✓ Différence : $35 - 17 = 18$ ✓ = Réponse vérifiée !

Answer: Les deux nombres sont 35 et 17.

Problème de pièces de monnaie

Marie a 23 pièces composées de pièces de 2 euros et de pièces de 50 centimes. La valeur totale est de 28 euros. Combien de pièces de chaque type a-t-elle ?

Définir les variables: Soit $d$ = nombre de pièces de 2 euros (valeur 2€ chacune) Soit $c$ = nombre de pièces de 50 centimes (valeur 0,50€ chacune) = Inconnues : $d$ et $c$

Écrire les équations: Total des pièces : $d + c = 23$ Valeur totale : $2d + 0,5c = 28$ = Deux équations, deux inconnues

Éliminer les décimales: Multiplier la deuxième équation par 2 : $4d + c = 56$ = $4d + c = 56$

Utiliser l'élimination: Soustraire la première équation de la nouvelle : $(4d + c) - (d + c) = 56 - 23$ $3d = 33$ = $d = 11$

Trouver c: $d + c = 23$ $11 + c = 23$ $c = 12$ = $c = 12$ pièces de 50 centimes

Vérifier: Pièces : $11 + 12 = 23$ ✓ Valeur : $11(2) + 12(0,5) = 22 + 6 = 28$ ✓ = Correct !

Answer: Marie a 11 pièces de 2 euros et 12 pièces de 50 centimes.

Problème de vitesse

Un bateau parcourt 60 km en aval en 2 heures et 60 km en amont en 3 heures. Trouve la vitesse du bateau en eau calme et la vitesse du courant.

Définir les variables: Soit $b$ = vitesse du bateau en eau calme (km/h) Soit $c$ = vitesse du courant (km/h) = Deux vitesses à trouver

Comprendre la situation: En aval : bateau et courant travaillent ensemble → vitesse = $b + c$ En amont : bateau contre le courant → vitesse = $b - c$ = Relations clés identifiées

Utiliser distance = vitesse × temps: En aval : $60 = (b + c) \times 2$, donc $b + c = 30$ En amont : $60 = (b - c) \times 3$, donc $b - c = 20$ = $\begin{cases} b + c = 30 \\ b - c = 20 \end{cases}$

Résoudre par élimination: Additionner les équations : $2b = 50$ $b = 25$ = Vitesse du bateau : 25 km/h

Trouver la vitesse du courant: $b + c = 30$ $25 + c = 30$ $c = 5$ = Courant : 5 km/h

Vérifier: En aval : $(25 + 5) \times 2 = 60$ ✓ En amont : $(25 - 5) \times 3 = 60$ ✓ = Les deux vérifient !

Answer: La vitesse du bateau en eau calme est de 25 km/h et la vitesse du courant est de 5 km/h.

Mistake: Utiliser une seule variable quand deux sont nécessaires

Why: Si tu as deux quantités inconnues, tu as besoin de deux variables et deux équations. Utiliser une seule variable mène souvent à des contradictions ou des expressions trop complexes.

Correct: Identifie toujours TOUTES les quantités inconnues d'abord, puis attribue une variable différente à chacune.

Mistake: Confondre quelle équation représente quelle condition

Why: Écrire l'équation de coût quand tu voulais l'équation de quantité donne des réponses fausses même avec une algèbre correcte.

Correct: Étiquette tes équations clairement : 'Équation 1 (quantité totale)' et 'Équation 2 (valeur totale)'

Mistake: Oublier de vérifier la réponse dans le problème original

Why: Des erreurs de calcul arrivent. La réponse pourrait résoudre tes équations mais ne pas correspondre aux conditions du problème.

Correct: Substitue toujours dans LES DEUX conditions originales et vérifie dans le contexte (pas seulement dans tes équations).

Mistake: Mal configurer les problèmes de vitesse

Why: En aval, les vitesses du bateau et du courant S'ADDITIONNENT. En amont, tu SOUSTRAIS la vitesse du courant de celle du bateau.

Correct: Réfléchis-y : aller avec le courant te rend plus rapide (additionner), aller contre te ralentit (soustraire).

Gérer une entreprise

Les propriétaires d'entreprises utilisent des systèmes d'équations pour prendre des décisions de prix et gérer les stocks.

Un café vend des petits cafés à 3 euros et des grands cafés à 5 euros. Hier, ils ont vendu 120 cafés pour un total de 480 euros. Combien de chaque taille ont-ils vendus ?

Planification de voyages

Planifier des voyages implique des calculs de distances, vitesses et temps qui nécessitent souvent des systèmes d'équations.

Un cycliste a parcouru 50 km. La montée a pris 3 heures et la descente 2 heures. Quelles étaient les vitesses en montée et en descente ?

Chimie et mélanges

Les chimistes et pharmaciens utilisent des systèmes pour calculer combien de chaque substance mélanger.

Un chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 25%. Il dispose de solutions à 10% et 40%. Combien de chaque doit-il mélanger ?

Q: Comment savoir quoi prendre comme variables ?

A: Cherche des expressions comme 'combien', 'trouve', ou 'quel est' - elles indiquent les inconnues. Chaque quantité inconnue a sa propre variable. Tu auras généralement deux inconnues à trouver.

Q: Dois-je utiliser la substitution ou l'élimination ?

A: Utilise la substitution quand une équation est déjà résolue pour une variable (comme $y = 2x + 3$) ou peut facilement l'être. Utilise l'élimination quand les coefficients s'alignent bien ou quand la substitution créerait des fractions compliquées.

Q: Et si ma réponse est négative ou une fraction ?

A: Vérifie si ça a du sens dans le contexte. Tu ne peux pas avoir -3 billets ou 2,7 personnes. Mais tu PEUX avoir des températures négatives, des heures fractionnaires, ou des montants décimaux d'argent. Si la réponse ne correspond pas au contexte, revérifie ta mise en équation.

Q: Comment configurer les problèmes de vitesse ?

A: Souviens-toi : distance = vitesse × temps. Pour des objets en mouvement, réfléchis s'ils vont dans la même direction (soustraire les vitesses pour la vitesse relative) ou dans des directions opposées (additionner les vitesses). Pour les problèmes de courant/vent, aller AVEC ajoute de la vitesse, aller CONTRE en retire.