Problèmes de systèmes d'équations

Apprends à traduire des situations réelles en systèmes d'équations et à les résoudre étape par étape.

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Définition

Un problème de système d'équations te demande de trouver des quantités inconnues en :
  1. 1.Définissant des variables pour les inconnues
  2. 2.Écrivant deux équations qui relient les variables
  3. 3.Résolvant le système par substitution ou élimination
  4. 4.Vérifiant ta réponse dans le problème original
La clé est de traduire les mots en relations mathématiques :
Mot/ExpressionOpération mathématique
somme, total, ensemble++ (addition)
différence, de moins que−- (soustraction)
fois, produit, chaque×\times (multiplication)
par, pour chaque, tauxgénéralement multiplication
est, égale, était== (signe égal)

Essaie tout de suite

La somme de deux nombres est 20 et leur différence est 6. Quel système d'équations représente cette situation ?

Exemples résolus

Les billets adultes coûtent 12 euros et les billets enfants coûtent 8 euros. Un groupe a acheté 15 billets pour un total de 148 euros. Combien de billets de chaque type ont-ils achetés ?
1

Définir les variables

Soit aa = nombre de billets adultes Soit ee = nombre de billets enfants → Deux inconnues : aa et ee
2

Écrire la première équation (total des billets)

Le groupe a acheté 15 billets au total : a+e=15a + e = 15
3

Écrire la deuxième équation (coût total)

Adultes : 12a12a euros Enfants : 8e8e euros Total : 12a+8e=14812a + 8e = 148
4

Résoudre par substitution

De l'équation 1 : a=15−ea = 15 - e Substituer dans l'équation 2 : 12(15−e)+8e=14812(15 - e) + 8e = 148 → 180−12e+8e=148180 - 12e + 8e = 148
5

Simplifier et résoudre pour e

180−4e=148180 - 4e = 148 −4e=−32-4e = -32 e=8e = 8 → e=8e = 8 billets enfants
6

Trouver a

a=15−e=15−8=7a = 15 - e = 15 - 8 = 7 → a=7a = 7 billets adultes
7

Vérifier la réponse

Billets : 7+8=157 + 8 = 15 ✓ Coût : 12(7)+8(8)=84+64=14812(7) + 8(8) = 84 + 64 = 148 ✓ → Les deux équations sont satisfaites !

Erreurs courantes

Utiliser une seule variable quand deux sont nécessaires

Pourquoi c'est faux: Si tu as deux quantités inconnues, tu as besoin de deux variables et deux équations. Utiliser une seule variable mène souvent à des contradictions ou des expressions trop complexes.

Correct: Identifie toujours TOUTES les quantités inconnues d'abord, puis attribue une variable différente à chacune.

Confondre quelle équation représente quelle condition

Pourquoi c'est faux: Écrire l'équation de coût quand tu voulais l'équation de quantité donne des réponses fausses même avec une algèbre correcte.

Correct: Étiquette tes équations clairement : 'Équation 1 (quantité totale)' et 'Équation 2 (valeur totale)'

Oublier de vérifier la réponse dans le problème original

Pourquoi c'est faux: Des erreurs de calcul arrivent. La réponse pourrait résoudre tes équations mais ne pas correspondre aux conditions du problème.

Correct: Substitue toujours dans LES DEUX conditions originales et vérifie dans le contexte (pas seulement dans tes équations).

Mal configurer les problèmes de vitesse

Pourquoi c'est faux: En aval, les vitesses du bateau et du courant S'ADDITIONNENT. En amont, tu SOUSTRAIS la vitesse du courant de celle du bateau.

Correct: Réfléchis-y : aller avec le courant te rend plus rapide (additionner), aller contre te ralentit (soustraire).

Visuel interactif

Courbe de la fonction

024681012141605101520xy(7 ; 8)

Touche le graphique ou survole-le pour lire les valeurs.

x + y = 1512x + 8y = 148
  • Point d'intersection : (7 ; 8)

Résolveur d'équations

Résoudre pour x,yx, y:

(1)x+y=15(2)12x+8y=148\begin{aligned} (1)\quad x + y &= 15 \\ (2)\quad 12x + 8y &= 148 \end{aligned}
1
(1)x+y=15(2)12x+8y=148\begin{aligned} (1)\quad x + y &= 15 \\ (2)\quad 12x + 8y &= 148 \end{aligned}
Multiplier l'équation (1) par 88 et l'équation (2) par −1-1Les termes en yy s'annulent

Conseils:

  • • Ce que tu fais d'un côté, fais-le de l'autre
  • • Annule les opérations dans l'ordre inverse
  • • Vérifie ta réponse en substituant

Suis pendant que nous résolvons l'équation étape par étape.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
La somme de deux nombres est 20 et leur différence est 6. Quel système d'équations représente cette situation ?

Pourquoi c'est important

Les problèmes de systèmes d'équations apparaissent partout dans la vie quotidienne :
  • Commerce : Trouver le bon mélange de produits pour maximiser le profit
  • Chimie : Mélanger des solutions pour obtenir une concentration désirée
  • Finance : Calculer combien investir dans différents comptes
  • Voyages : Déterminer les vitesses quand deux objets se déplacent
  • Achats : Trouver les prix individuels quand on connaît les totaux
La capacité de traduire des situations réelles en équations est fondamentale pour utiliser les maths dans toute carrière !

Applications dans le monde réel

Gérer une entreprise

Les propriétaires d'entreprises utilisent des systèmes d'équations pour prendre des décisions de prix et gérer les stocks.

Exemple:

Un café vend des petits cafés à 3 euros et des grands cafés à 5 euros. Hier, ils ont vendu 120 cafés pour un total de 480 euros. Combien de chaque taille ont-ils vendus ?

1Essaie par toi-même

Une boulangerie vend des cookies à 2 euros et des brownies à 3 euros. Un jour, ils ont vendu 85 articles pour un total de 195 euros.

Combien de cookies et de brownies ont-ils vendus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Construis le système : Soit cc = cookies, bb = brownies

Planification de voyages

Planifier des voyages implique des calculs de distances, vitesses et temps qui nécessitent souvent des systèmes d'équations.

Exemple:

Un cycliste a parcouru 50 km. La montée a pris 3 heures et la descente 2 heures. Quelles étaient les vitesses en montée et en descente ?

2Essaie par toi-même

Un train voyage de la ville A à la ville B (300 km). La première moitié du trajet prend 2 heures, et la seconde moitié prend 3 heures à cause des conditions de voie.

Quelles sont les vitesses pour chaque moitié du trajet ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise distance = vitesse × temps pour chaque section

Chimie et mélanges

Les chimistes et pharmaciens utilisent des systèmes pour calculer combien de chaque substance mélanger.

Exemple:

Un chimiste a besoin de 100 mL d'une solution acide à 25%. Il dispose de solutions à 10% et 40%. Combien de chaque doit-il mélanger ?

3Essaie par toi-même

Une entreprise de jus veut créer 500 mL d'un mélange de jus de fruits à 30% en utilisant des concentrations de 20% et 50%.

Combien de mL de chaque concentration faut-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Soit xx = mL de jus à 20%, yy = mL de jus à 50%

Points clés

  • 1Définis une variable pour CHAQUE quantité inconnue dans le problème
  • 2Identifie DEUX conditions qui relient les variables et écris une équation pour chacune
  • 3Résous par substitution ou élimination (choisis la méthode qui semble plus facile)
  • 4Vérifie toujours ta réponse dans le problème ORIGINAL, pas seulement dans les équations
  • 5Types de problèmes courants : somme/différence, coût/quantité, problèmes de vitesse, problèmes de mélange

Questions fréquentes

Cherche des expressions comme 'combien', 'trouve', ou 'quel est' - elles indiquent les inconnues. Chaque quantité inconnue a sa propre variable. Tu auras généralement deux inconnues à trouver.
Cherche des expressions comme 'combien', 'trouve', ou 'quel est' - elles indiquent les inconnues. Chaque quantité inconnue a sa propre variable. Tu auras généralement deux inconnues à trouver.
Utilise la substitution quand une équation est déjà résolue pour une variable (comme y=2x+3y = 2x + 3) ou peut facilement l'être. Utilise l'élimination quand les coefficients s'alignent bien ou quand la substitution créerait des fractions compliquées.
Vérifie si ça a du sens dans le contexte. Tu ne peux pas avoir -3 billets ou 2,7 personnes. Mais tu PEUX avoir des températures négatives, des heures fractionnaires, ou des montants décimaux d'argent. Si la réponse ne correspond pas au contexte, revérifie ta mise en équation.
Souviens-toi : distance = vitesse × temps. Pour des objets en mouvement, réfléchis s'ils vont dans la même direction (soustraire les vitesses pour la vitesse relative) ou dans des directions opposées (additionner les vitesses). Pour les problèmes de courant/vent, aller AVEC ajoute de la vitesse, aller CONTRE en retire.

Glossaire

Système d'équations
Deux ou plusieurs équations avec les mêmes variables qui doivent toutes être vraies simultanément
Variable
Une lettre (comme xx ou yy) qui représente une quantité inconnue
Substitution
Résoudre une équation pour une variable et remplacer cette expression dans l'autre équation
Élimination
Additionner ou soustraire des équations pour annuler une variable
Taux
Une quantité mesurée par unité d'autre chose (vitesse = distance par temps, prix = coût par article)

Carte des formules

Configuration des variables

Soit xx = première inconnue, yy = deuxième inconnue

Attribuer une variable à chaque inconnue

Formule de distance

d=v×td = v \times t

Distance égale vitesse fois temps

Formule de valeur totale

p1⋅q1+p2⋅q2=totalp_1 \cdot q_1 + p_2 \cdot q_2 = \text{total}

Somme de prix fois quantité pour chaque article

Formule de mélange

c1⋅a1+c2⋅a2=cf⋅atc_1 \cdot a_1 + c_2 \cdot a_2 = c_f \cdot a_t

Concentration fois quantité égale mélange final

Défi du jourUn problème, trois essais

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