Calculer une puissance à exposant négatif

Calcule $2^{-3}$.

Applique la règle de l'exposant négatif: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ = $2^{-3} = \frac{1}{2^3}$

Calcule la puissance au dénominateur: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ = $\frac{1}{8}$

Vérifie le signe: La base $2$ est positive, donc le résultat est positif = $\frac{1}{8} = 0{,}125$

Answer: $2^{-3} = \frac{1}{8}$, un petit nombre positif, et non $-8$.

Petites puissances de 10

Écris $10^{-3}$ sous forme de fraction et sous forme décimale.

Applique la règle de l'exposant négatif: $10^{-3} = \frac{1}{10^3}$ = $\frac{1}{10^3}$

Calcule $10^3$: $10^3 = 1000$ = $\frac{1}{1000}$

Écris sous forme décimale: Un millième : le 1 est au troisième rang après la virgule = $0{,}001$

Answer: $10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001$. L'exposant $-3$ t'indique que le 1 est au troisième rang après la virgule.

Une fraction à une puissance négative

Calcule $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2}$.

Retourne la fraction et rends l'exposant positif: $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$ = $\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$

Élève au carré le numérateur et le dénominateur: $\frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4}$ = $\frac{9}{4}$

Vérifie avec la définition: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}$ = Même résultat

Answer: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{4} = 2{,}25$

Faire passer des facteurs de l'autre côté de la barre

Réécris $\frac{x^{-3}}{y^{-2}}$ avec des exposants positifs.

Fais passer $x^{-3}$ du numérateur au dénominateur: $x^{-3} = \frac{1}{x^3}$, il devient donc $x^3$ sous la barre = $\frac{1}{x^3 \, y^{-2}}$

Fais passer $y^{-2}$ du dénominateur au numérateur: $\frac{1}{y^{-2}} = y^2$, il devient donc $y^2$ au-dessus de la barre = $\frac{y^2}{x^3}$

Vérifie que tous les exposants sont positifs: $y^2$ et $x^3$ = Terminé

Answer: $\frac{x^{-3}}{y^{-2}} = \frac{y^2}{x^3}$. Un facteur change le signe de son exposant quand il traverse la barre de fraction.

Combiner toutes les règles des puissances

Simplifie $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}}$ et écris le résultat avec des exposants positifs.

Divise les coefficients: $6 \div 3 = 2$ = $2$

Quotient de puissances pour $a$: $a^{-2-4} = a^{-6}$ = $a^{-6}$

Quotient de puissances pour $b$ (soustraire un nombre négatif): $b^{3-(-1)} = b^{3+1} = b^{4}$ = $b^{4}$

Écris avec des exposants positifs: $2a^{-6}b^{4} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$ = $\frac{2b^{4}}{a^{6}}$

Answer: $\frac{6a^{-2}b^{3}}{3a^{4}b^{-1}} = \frac{2b^{4}}{a^{6}}$. Seul $a^{-6}$ descend ; le coefficient $2$ reste en haut.

Mistake: Penser qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : $2^{-3} = -8$

Why: Le signe moins est dans l'exposant, pas devant le nombre. Il signifie "inverse", pas "négatif".

Correct: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$, un nombre positif.

Mistake: Déplacer aussi le coefficient : $2x^{-3} = \frac{1}{2x^3}$

Why: L'exposant $-3$ appartient seulement à $x$. Le $2$ a l'exposant $1$ et reste à sa place.

Correct: $2x^{-3} = \frac{2}{x^3}$. N'écris $\frac{1}{(2x)^3}$ que si l'énoncé donne $(2x)^{-3}$ avec des parenthèses.

Mistake: Retourner la fraction mais oublier la puissance, ou la rendre négative : $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2}$ ou $-\frac{4}{9}$

Why: Le signe moins retourne la fraction, et le $2$ l'élève quand même au carré. Les deux parties de l'exposant ont un rôle.

Correct: $\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}$

Mistake: Mal soustraire un exposant négatif : $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}$

Why: Le quotient de puissances soustrait tout l'exposant, signe compris : $5 - (-2)$, et non $5 - 2$.

Correct: $\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}$

Mesures minuscules en sciences

Les scientifiques écrivent les très petites longueurs avec des puissances de 10 négatives. Les préfixes milli, micro et nano valent $10^{-3}$, $10^{-6}$ et $10^{-9}$.

Un millimètre vaut $10^{-3}$ m $= 0{,}001$ m, et une bactérie typique mesure environ $2 \times 10^{-6}$ m.

Les crans d'exposition en photo

Les photographes mesurent la lumière en crans (stops). Chaque cran plus sombre divise la lumière par deux, donc $n$ crans laissent passer $2^{-n}$ de la lumière d'origine.

Un filtre de 3 crans laisse passer $2^{-3} = \frac{1}{8}$ de la lumière.

Diluer des échantillons au laboratoire

Au laboratoire, on dilue souvent un échantillon au dixième plusieurs fois de suite. Après $n$ dilutions, la concentration vaut $10^{-n}$ fois la concentration d'origine.

Après 3 dilutions, un échantillon n'a plus que $10^{-3} = 0{,}001$ de sa concentration d'origine.

Q: Pourquoi $a^{-1}$ est-il l'inverse de $a$ ?

A: Avec le produit de puissances, $a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1$. Le nombre par lequel on multiplie $a$ pour obtenir $1$ est $\frac{1}{a}$, donc $a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Q: Une puissance à exposant négatif peut-elle être négative ?

A: Seulement si la base elle-même est négative. Par exemple, $(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}$. L'exposant négatif n'ajoute jamais un signe moins à lui seul.

Q: Pourquoi la base ne doit-elle pas être nulle ?

A: $0^{-2}$ voudrait dire $\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}$, et la division par zéro n'est pas définie. C'est pourquoi la règle précise $a \neq 0$.

Q: Est-ce faux de laisser des exposants négatifs dans une réponse ?

A: $x^{-3}$ et $\frac{1}{x^3}$ sont égaux, donc aucun des deux n'est faux. Beaucoup de professeurs et de manuels demandent des exposants positifs dans le résultat final : réécris à la fin, sauf si l'énoncé dit autre chose.