Exposants négatifs

Apprends ce que signifie un exposant négatif, pourquoi il donne un inverse et non un nombre négatif, et comment écrire toute expression avec des exposants positifs.

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Définition

Un exposant négatif te dit de prendre l'inverse de la puissance ayant le même exposant positif :
a−n=1an(a≠0)a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0)
Par exemple, 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}.
D'où cela vient-il ? Observe les puissances de 2. Chaque fois que l'exposant diminue de 1, tu divises par 2 :
23=8,  22=4,  21=2,  20=1,  2−1=12,  2−2=14,  2−3=182^3 = 8,\; 2^2 = 4,\; 2^1 = 2,\; 2^0 = 1,\; 2^{-1} = \frac{1}{2},\; 2^{-2} = \frac{1}{4},\; 2^{-3} = \frac{1}{8}
Le motif continue tout simplement en dessous de l'exposant zéro.
À retenir :
  • Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} est positif.
  • Cela marche dans les deux sens : 1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n, donc un facteur peut traverser la barre de fraction si son exposant change de signe.
  • Une fraction à une puissance négative se retourne : (ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.
  • Les puissances de 10 à exposant négatif sont de petits nombres décimaux : 10−3=11000=0,00110^{-3} = \frac{1}{1000} = 0{,}001.

Essaie tout de suite

Quelle est la valeur de 2−32^{-3} ?

Exemples résolus

Calcule 2−32^{-3}.

1

Applique la règle de l'exposant négatif

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} → 2−3=1232^{-3} = \frac{1}{2^3}

2

Calcule la puissance au dénominateur

23=2×2×2=82^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 → 18\frac{1}{8}

3

Vérifie le signe

La base 22 est positive, donc le résultat est positif → 18=0,125\frac{1}{8} = 0{,}125

Erreurs courantes

Penser qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 2−3=−82^{-3} = -8

Pourquoi c'est faux: Le signe moins est dans l'exposant, pas devant le nombre. Il signifie "inverse", pas "négatif".

Correct: 2−3=123=182^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}, un nombre positif.

Déplacer aussi le coefficient : 2x−3=12x32x^{-3} = \frac{1}{2x^3}

Pourquoi c'est faux: L'exposant −3-3 appartient seulement à xx. Le 22 a l'exposant 11 et reste à sa place.

Correct: 2x−3=2x32x^{-3} = \frac{2}{x^3}. N'écris 1(2x)3\frac{1}{(2x)^3} que si l'énoncé donne (2x)−3(2x)^{-3} avec des parenthèses.

Retourner la fraction mais oublier la puissance, ou la rendre négative : (23)−2=32\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \frac{3}{2} ou −49-\frac{4}{9}

Pourquoi c'est faux: Le signe moins retourne la fraction, et le 22 l'élève quand même au carré. Les deux parties de l'exposant ont un rôle.

Correct: (23)−2=(32)2=94\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}

Mal soustraire un exposant négatif : x5x−2=x3\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{3}

Pourquoi c'est faux: Le quotient de puissances soustrait tout l'exposant, signe compris : 5−(−2)5 - (-2), et non 5−25 - 2.

Correct: x5x−2=x5−(−2)=x7\frac{x^5}{x^{-2}} = x^{5-(-2)} = x^{7}

Visuel interactif

Les puissances comme produits de facteurs

Quotient de puissances

Même base, on divise : on soustrait les exposants.

x2x5\frac{x^{2}}{x^{5}}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

xx·xx
xx·xx·xx·xx·xx

2 facteurs communs se simplifient en haut et en bas

Il reste 3 facteurs au dénominateur : exposant négatif

1x3=x−3\displaystyle \frac{1}{x^{3}} = x^{-3}

Résultat

x2x5\displaystyle \frac{x^{2}}{x^{5}}==x2−5\displaystyle x^{2 - 5}==x−3\displaystyle x^{-3}==1x3\displaystyle \frac{1}{x^{3}}

Valable pour toute base sauf 0

10³ = 1000
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

2³ = 8
3

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile

Quelle est la valeur de 2−32^{-3} ?

Pourquoi c'est important

Les exposants négatifs permettent d'écrire les très petits nombres aussi facilement que les très grands, et ils font fonctionner les règles des puissances dans tous les cas :
  • Sciences : un globule rouge mesure environ 8×10−68 \times 10^{-6} mètre de large, et une nanoseconde dure 10−910^{-9} seconde
  • Préfixes du système métrique : milli signifie 10−310^{-3} et micro signifie 10−610^{-6}, donc 1 mm =10−3= 10^{-3} m
  • Photographie : chaque cran (stop) divise la lumière par deux, donc 3 crans laissent passer 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} de la lumière
  • Algèbre : avec le quotient de puissances, x2x5=x2−5=x−3\frac{x^2}{x^5} = x^{2-5} = x^{-3}. Sans exposants négatifs, ce résultat n'aurait aucun sens
Quand tu passes de x−3x^{-3} à 1x3\frac{1}{x^3} sans réfléchir, simplifier de longues expressions devient une routine.

Applications dans le monde réel

Mesures minuscules en sciences

Les scientifiques écrivent les très petites longueurs avec des puissances de 10 négatives. Les préfixes milli, micro et nano valent $10^{-3}$, $10^{-6}$ et $10^{-9}$.

Exemple:

Un millimètre vaut 10−310^{-3} m =0,001= 0{,}001 m, et une bactérie typique mesure environ 2×10−62 \times 10^{-6} m.

1Essaie par toi-même

Un cheveu humain a une épaisseur d'environ 10−410^{-4} mètre.

Écris l'épaisseur du cheveu sous forme décimale, en mètres.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Réécris 10−410^{-4} comme 1104\frac{1}{10^4} et divise :

Les crans d'exposition en photo

Les photographes mesurent la lumière en crans (stops). Chaque cran plus sombre divise la lumière par deux, donc $n$ crans laissent passer $2^{-n}$ de la lumière d'origine.

Exemple:

Un filtre de 3 crans laisse passer 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8} de la lumière.

2Essaie par toi-même

Une photographe place un filtre de 5 crans devant l'objectif.

Quelle fraction de la lumière atteint l'appareil ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Chaque cran divise la lumière par deux, la fraction est donc 2−52^{-5} :

Diluer des échantillons au laboratoire

Au laboratoire, on dilue souvent un échantillon au dixième plusieurs fois de suite. Après $n$ dilutions, la concentration vaut $10^{-n}$ fois la concentration d'origine.

Exemple:

Après 3 dilutions, un échantillon n'a plus que 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001 de sa concentration d'origine.

3Essaie par toi-même

Un échantillon contient 20000 bactéries par millilitre. On le dilue au dixième quatre fois de suite.

Combien de bactéries par millilitre reste-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la quantité de départ par 10−410^{-4} :

Points clés

  • 1Un exposant négatif signifie inverse : a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n} pour a≠0a \neq 0
  • 2Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : 2−3=182^{-3} = \frac{1}{8}
  • 3La règle marche dans les deux sens : 1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n, donc un facteur traverse la barre de fraction en changeant le signe de son exposant
  • 4Une fraction à une puissance négative se retourne : (ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
  • 5Les puissances de 10 négatives sont de petits décimaux : 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001
  • 6Le produit, le quotient et la puissance d'une puissance fonctionnent aussi avec des exposants négatifs ; termine en écrivant tout avec des exposants positifs

Questions fréquentes

Avec le produit de puissances, a1×a−1=a0=1a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1. Le nombre par lequel on multiplie aa pour obtenir 11 est 1a\frac{1}{a}, donc a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}.
Avec le produit de puissances, a1×a−1=a0=1a^{1} \times a^{-1} = a^{0} = 1. Le nombre par lequel on multiplie aa pour obtenir 11 est 1a\frac{1}{a}, donc a−1=1aa^{-1} = \frac{1}{a}.
Seulement si la base elle-même est négative. Par exemple, (−2)−3=1(−2)3=−18(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = -\frac{1}{8}. L'exposant négatif n'ajoute jamais un signe moins à lui seul.
0−20^{-2} voudrait dire 102=10\frac{1}{0^2} = \frac{1}{0}, et la division par zéro n'est pas définie. C'est pourquoi la règle précise a≠0a \neq 0.
x−3x^{-3} et 1x3\frac{1}{x^3} sont égaux, donc aucun des deux n'est faux. Beaucoup de professeurs et de manuels demandent des exposants positifs dans le résultat final : réécris à la fin, sauf si l'énoncé dit autre chose.

Glossaire

Exposant négatif
Un exposant inférieur à zéro. a−na^{-n} signifie 1an\frac{1}{a^n}.
Inverse
Le nombre par lequel on multiplie pour obtenir 1. L'inverse de 55 est 15\frac{1}{5}, et l'inverse de 23\frac{2}{3} est 32\frac{3}{2}.
Base
Le nombre multiplié par lui-même. Dans 10−310^{-3}, la base est 1010.
Écriture avec exposants positifs
Une expression réécrite de sorte que tous les exposants soient positifs, par exemple y2x3\frac{y^2}{x^3} au lieu de x−3y2x^{-3}y^{2}.
Coefficient
Le nombre devant une variable. Dans 2x−32x^{-3}, le coefficient est 22 et l'exposant ne s'applique pas à lui.

Carte des formules

Exposant négatif

a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}

Un exposant négatif signifie inverse ($a \neq 0$)

Exposant négatif au dénominateur

1a−n=an\frac{1}{a^{-n}} = a^n

Un facteur traverse la barre de fraction et son exposant change de signe

Fraction à une puissance négative

(ab)−n=(ba)n\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n

Retourne la fraction, puis utilise l'exposant positif

Petites puissances de 10

10−n=0,0…0⏟n−1110^{-n} = 0{,}\underbrace{0\ldots0}_{n-1}1

Par exemple $10^{-3} = 0{,}001$

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