Une puissance d'une puissance

Simplifie $(5^2)^4$.

Repère la base et les deux exposants: Base $5$, exposant intérieur $2$, exposant extérieur $4$ = Une puissance élevée à une puissance

Écris-la sous forme de produit: $(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ = $5^8$

Utilise le raccourci : multiplie les exposants: $2 \cdot 4 = 8$ = $(5^2)^4 = 5^8$

Answer: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Puissance d'un produit

Simplifie $(2x)^4$.

Donne l'exposant à chaque facteur entre les parenthèses: $(2x)^4 = 2^4 \cdot x^4$ = $2$ et $x$ reçoivent tous les deux l'exposant $4$

Calcule le nombre: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ = $16$

Écris le résultat: $16 \cdot x^4$ = $16x^4$

Answer: $(2x)^4 = 16x^4$

N'oublie pas le coefficient

Simplifie $(3x^2)^3$.

Donne l'exposant à chaque facteur: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3$ = Deux facteurs : $3$ et $x^2$

Élève le coefficient à la puissance: $3^3 = 27$ = $27$

Puissance d'une puissance pour la variable: $(x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6$ = $x^6$

Rassemble les morceaux: $27 \cdot x^6$ = $27x^6$

Answer: $(3x^2)^3 = 27x^6$

Puissance d'un quotient

Simplifie $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$.

Élève le numérateur et le dénominateur à la puissance: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{(x^3)^4}{2^4}$ = Deux puissances séparées

Numérateur : multiplie les exposants: $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$ = $x^{12}$

Dénominateur : calcule la puissance: $2^4 = 16$ = $16$

Écris la fraction: $\frac{x^{12}}{16}$ = $\frac{x^{12}}{16}$

Answer: $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4 = \frac{x^{12}}{16}$

Les trois règles ensemble

Simplifie $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3}$.

Puissance d'un produit au numérateur: $(2a^3)^2 = 2^2 \cdot a^{3 \cdot 2} = 4a^6$ = $4a^6$

Produit de puissances de même base : additionne les exposants: $4a^6 \cdot a^4 = 4a^{6+4}$ = $4a^{10}$

Puissance d'une puissance au dénominateur: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3}$ = $a^6$

Quotient de puissances de même base : soustrais les exposants: $\frac{4a^{10}}{a^6} = 4a^{10-6}$ = $4a^4$

Answer: $\frac{(2a^3)^2 \cdot a^4}{(a^2)^3} = 4a^4$

Mistake: Additionner les exposants : $(x^3)^4 = x^7$

Why: On additionne pour un produit de puissances, comme $x^3 \cdot x^4$. Ici, le $4$ extérieur signifie quatre copies de $x^3$, donc l'exposant vaut $3 + 3 + 3 + 3 = 12$.

Correct: Multiplie les exposants : $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Mistake: Croire que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Why: La règle $(ab)^n = a^n b^n$ concerne un produit, pas une somme. Teste avec des nombres : $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$, mais $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.

Correct: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$, donc $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Mistake: Confondre $(2^3)^2$ et $2^{3^2}$

Why: Les parenthèses changent l'ordre. $(2^3)^2$ élève $2^3$ au carré, tandis que pour $2^{3^2}$ on calcule d'abord l'exposant du haut, $3^2 = 9$.

Correct: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$, mais $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Mistake: Oublier le coefficient : $(3x^2)^3 = 3x^6$

Why: L'exposant s'applique à chaque facteur entre les parenthèses, et le nombre $3$ est aussi un facteur.

Correct: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Stockage informatique

Les ordinateurs comptent la mémoire en puissances de 2. Chaque unité plus grande vaut $2^{10} = 1024$ fois la précédente.

Un kilooctet vaut $2^{10}$ octets, un mégaoctet vaut $2^{10}$ kilooctets, donc un mégaoctet vaut $(2^{10})^2 = 2^{20}$ octets.

Agrandir une photo

Quand on agrandit une image, sa largeur et sa hauteur sont multipliées par le même facteur, donc son aire (le nombre de pixels) est multipliée par le carré de ce facteur.

Doubler la largeur et la hauteur d'une photo multiplie le nombre de pixels par $2^2 = 4$.

L'énergie et la vitesse de la lumière

La formule d'Einstein $E = mc^2$ élève au carré la vitesse de la lumière $c$, qui vaut environ $3 \cdot 10^8$ mètres par seconde.

Pour élever $3 \cdot 10^8$ au carré, élève séparément le $3$ et la puissance de dix au carré, car ce sont deux facteurs.

Q: Pourquoi multiplie-t-on les exposants au lieu de les additionner ?

A: Parce que $(a^m)^n$ signifie $n$ copies de $a^m$ multipliées entre elles. D'après le produit de puissances de même base, leurs exposants s'additionnent : $m + m + \dots + m$ ($n$ fois), ce qui fait $m \cdot n$.

Q: Est-ce que $(a^2)^3$ est égal à $(a^3)^2$ ?

A: Oui. Les deux valent $a^6$, car $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Vérifie avec des nombres : $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ et $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Q: Que signifie $2^{3^2}$ sans parenthèses ?

A: Une tour d'exposants se calcule du haut vers le bas : d'abord $3^2 = 9$, puis $2^9 = 512$. Si tu veux dire $(2^3)^2 = 64$, tu dois écrire les parenthèses.

Q: La règle marche-t-elle aussi pour une somme, comme $(x + 2)^2$ ?

A: Non. On ne peut distribuer l'exposant que sur des facteurs. Une somme, il faut la développer : $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.