Est-ce que $(a^2)^3$ est égal à $(a^3)^2$ ?

Oui. Les deux valent $a^6$, car $2 \cdot 3 = 3 \cdot 2$. Vérifie avec des nombres : $(2^2)^3 = 4^3 = 64$ et $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

Que signifie $2^{3^2}$ sans parenthèses ?

Une tour d'exposants se calcule du haut vers le bas : d'abord $3^2 = 9$, puis $2^9 = 512$. Si tu veux dire $(2^3)^2 = 64$, tu dois écrire les parenthèses.

La règle marche-t-elle aussi pour une somme, comme $(x + 2)^2$ ?

Non. On ne peut distribuer l'exposant que sur des facteurs. Une somme, il faut la développer : $(x + 2)^2 = (x + 2)(x + 2) = x^2 + 4x + 4$.

Ressources enseignants

Puissance d'une puissance

Q: Pourquoi multiplie-t-on les exposants au lieu de les additionner ?

Parce que $(a^m)^n$ signifie $n$ copies de $a^m$ multipliées entre elles. D'après le produit de puissances de même base, leurs exposants s'additionnent : $m + m + \dots + m$ ($n$ fois), ce qui fait $m \cdot n$.

Découvre pourquoi élever une puissance à une puissance revient à multiplier les exposants, et comment élever un produit, un quotient et un coefficient à une puissance.

Intermédiaire25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Quand une puissance est elle-même élevée à une puissance, tu gardes la base et tu multiplies les exposants :

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Pourquoi ça marche : l'exposant extérieur

n

dit « utilise

a^m

comme facteur

n

fois ». Le produit de puissances de même base (on additionne les exposants) fait le reste :

(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6 = 64

Additionner l'exposant

m

en tout

n

fois, c'est la même chose que

m \cdot n

Deux règles voisines découlent de la même idée :

Puissance d'un produit : $(ab)^n = a^n b^n$ . Chaque facteur entre les parenthèses reçoit l'exposant, y compris le nombre devant : $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot (x^2)^3 = 27x^6$
Puissance d'un quotient : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$ )

Attention aux parenthèses :

(2^3)^2 = 2^6 = 64

, mais

2^{3^2} = 2^9 = 512

. Sans parenthèses, on calcule d'abord l'exposant du haut.

Dans cette leçon, tous les exposants sont des nombres entiers positifs.

Essaie tout de suite

Simplifie

(x^3)^4

Exemples résolus

Simplifie $(5^2)^4$ .

Repère la base et les deux exposants

Base $5$ , exposant intérieur $2$ , exposant extérieur $4$ → Une puissance élevée à une puissance

Écris-la sous forme de produit

$(5^2)^4 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2+2}$ → $5^8$

Utilise le raccourci : multiplie les exposants

$2 \cdot 4 = 8$ → $(5^2)^4 = 5^8$

Réponse: $(5^2)^4 = 5^8 = 390\,625$

Erreurs courantes

Additionner les exposants : $(x^3)^4 = x^7$

Pourquoi c'est faux: On additionne pour un produit de puissances, comme $x^3 \cdot x^4$ . Ici, le $4$ extérieur signifie quatre copies de $x^3$ , donc l'exposant vaut $3 + 3 + 3 + 3 = 12$ .

Correct: Multiplie les exposants : $(x^3)^4 = x^{3 \cdot 4} = x^{12}$

Croire que $(a + b)^2 = a^2 + b^2$

Pourquoi c'est faux: La règle $(ab)^n = a^n b^n$ concerne un produit, pas une somme. Teste avec des nombres : $(3 + 4)^2 = 7^2 = 49$ , mais $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Correct: $(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + 2ab + b^2$ , donc $(3 + 4)^2 = 9 + 24 + 16 = 49$

Confondre $(2^3)^2$ et $2^{3^2}$

Pourquoi c'est faux: Les parenthèses changent l'ordre. $(2^3)^2$ élève $2^3$ au carré, tandis que pour $2^{3^2}$ on calcule d'abord l'exposant du haut, $3^2 = 9$ .

Correct: $(2^3)^2 = 2^6 = 64$ , mais $2^{3^2} = 2^9 = 512$

Oublier le coefficient : $(3x^2)^3 = 3x^6$

Pourquoi c'est faux: L'exposant s'applique à chaque facteur entre les parenthèses, et le nombre $3$ est aussi un facteur.

Correct: $(3x^2)^3 = 3^3 \cdot x^6 = 27x^6$

Visuel interactif

Les puissances comme produits de facteurs

Puissance d'une puissance

Puissance d'une puissance : on multiplie les exposants.

\left(2^{3}\right)^{2}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

2

2

2

2^{3}

3 facteurs

2

2

2

2^{3}

3 facteurs

2 groupes de 3 : 2 · 3 = 6 facteurs

Résultat

\displaystyle \left(2^{3}\right)^{2}

=

\displaystyle 2^{3 \cdot 2}

=

\displaystyle 2^{6}

Valeur: $2^{6} = 64$

Exposant m3Exposant n2

Priorités opératoires

1. Parenthèses
2. Puissances
3. × et ÷
4. + et −

2^{\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}3^{2}$}}

Ensuite les puissances: $3^{2} = 9$

Étape 1 sur 2

Modèle d'aire : carré d'un binôme

Un carré de côté x + a : deux bandes a·x égales et un coin a², donc le terme du milieu vaut 2ax.

Longueur × largeur = aire

$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Simplifie $(x^3)^4$ .

Pourquoi c'est important

La règle de la puissance d'une puissance transforme de longues chaînes de multiplications en une seule étape rapide :

Aires et volumes : un carré de côté $10^3$ m a une aire de $(10^3)^2 = 10^6$ m², et un cube d'arête $2^2$ cm a un volume de $(2^2)^3 = 2^6 = 64$ cm³
Stockage informatique : un kilooctet vaut $2^{10}$ octets, et $(2^{10})^3 = 2^{30}$ octets, c'est un peu plus d'un milliard d'octets
Sciences : dans $E = mc^2$ , la vitesse de la lumière $3 \cdot 10^8$ m/s est élevée au carré : $(3 \cdot 10^8)^2 = 9 \cdot 10^{16}$
Algèbre : un carré de côté $3x^2$ a une aire de $(3x^2)^2 = 9x^4$

Avec le produit et le quotient de puissances de même base, elle te permet de simplifier presque toutes les expressions avec des puissances d'une même base.

Applications dans le monde réel

Stockage informatique

Les ordinateurs comptent la mémoire en puissances de 2. Chaque unité plus grande vaut $2^{10} = 1024$ fois la précédente.

Exemple:

Un kilooctet vaut $2^{10}$ octets, un mégaoctet vaut $2^{10}$ kilooctets, donc un mégaoctet vaut $(2^{10})^2 = 2^{20}$ octets.

1Essaie par toi-même

Un gigaoctet vaut $2^{10}$ mégaoctets, donc $2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10}$ octets, c'est-à-dire $(2^{10})^3$ octets.

Écris le nombre d'octets d'un gigaoctet sous la forme d'une seule puissance de 2.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Simplifie $(2^{10})^3$ :

Agrandir une photo

Quand on agrandit une image, sa largeur et sa hauteur sont multipliées par le même facteur, donc son aire (le nombre de pixels) est multipliée par le carré de ce facteur.

Exemple:

Doubler la largeur et la hauteur d'une photo multiplie le nombre de pixels par $2^2 = 4$ .

2Essaie par toi-même

Une photo est agrandie de sorte que sa largeur et sa hauteur sont chacune multipliées par $2^3$ .

Par quel facteur le nombre de pixels est-il multiplié ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Le facteur pour l'aire est $(2^3)^2$ :

L'énergie et la vitesse de la lumière

La formule d'Einstein $E = mc^2$ élève au carré la vitesse de la lumière $c$, qui vaut environ $3 \cdot 10^8$ mètres par seconde.

Exemple:

Pour élever $3 \cdot 10^8$ au carré, élève séparément le $3$ et la puissance de dix au carré, car ce sont deux facteurs.

3Essaie par toi-même

La vitesse de la lumière vaut environ $c = 3 \cdot 10^8$ m/s.

Combien vaut $c^2 = (3 \cdot 10^8)^2$ en notation scientifique ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise la puissance d'un produit et la puissance d'une puissance :

Points clés

1Puissance d'une puissance : $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ , on garde la base et on multiplie les exposants
2La règle vient du produit de puissances de même base : $(2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3} = 2^6$
3Puissance d'un produit : $(ab)^n = a^n b^n$ , chaque facteur reçoit l'exposant, y compris le coefficient : $(3x^2)^3 = 27x^6$
4Puissance d'un quotient : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , on élève le numérateur et le dénominateur
5Les parenthèses comptent : $(2^3)^2 = 64$ , mais $2^{3^2} = 512$
6Ces règles valent seulement pour les produits et les quotients : $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

Questions fréquentes

Parce que

(a^m)^n

signifie

n

copies de

a^m

multipliées entre elles. D'après le produit de puissances de même base, leurs exposants s'additionnent :

m + m + \dots + m

(

n

fois), ce qui fait

m \cdot n

Glossaire

Puissance d'une puissance: Une puissance élevée à une autre puissance, comme $(a^m)^n$ . Elle est égale à $a^{m \cdot n}$ .
Puissance d'un produit: Un produit élevé à une puissance : $(ab)^n = a^n b^n$ . Chaque facteur reçoit l'exposant.
Puissance d'un quotient: Une fraction élevée à une puissance : $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ , avec $b \neq 0$ .
Coefficient: Le nombre placé devant une variable. Dans $3x^2$ , le coefficient est $3$ .
Base: Le nombre ou la variable que l'on multiplie. Dans $(x^2)^3$ , la base est $x$ .
Exposant: Le petit nombre placé en haut qui indique combien de fois la base est utilisée comme facteur.

Carte des formules

Puissance d'une puissance

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

On garde la base, on multiplie les exposants

Puissance d'un produit

(ab)^n = a^n b^n

Chaque facteur entre les parenthèses reçoit l'exposant

Puissance d'un quotient

\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

On élève le numérateur et le dénominateur ($b \neq 0$)

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