Même base, on additionne les exposants

Simplifie $3^2 \cdot 3^5$ et vérifie le résultat.

Vérifie les bases: Les deux puissances ont la base $3$ = Même base, la règle s'applique

Additionne les exposants: $3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ = $3^7$

Vérifie en comptant les facteurs: $(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ contient $2 + 5 = 7$ facteurs $3$ = $3^7$ ✓

Vérifie avec des nombres: $3^2 = 9$, $3^5 = 243$, $9 \cdot 243 = 2187$ = $3^7 = 2187$ ✓

Answer: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Puissances d'une lettre

Simplifie $x^2 \cdot x^5$.

Écris tous les facteurs: $x^2 = x \cdot x$ et $x^5 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$ = 2 facteurs et 5 facteurs

Compte tous les facteurs $x$: $2 + 5 = 7$ = 7 facteurs $x$

Écris le résultat comme une seule puissance: $x^2 \cdot x^5 = x^{2+5}$ = $x^7$

Answer: $x^2 \cdot x^5 = x^7$

L'exposant 1 caché

Simplifie $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2$.

Donne un exposant à chaque facteur: $5 = 5^1$ = $5^1 \cdot 5^3 \cdot 5^2$

Additionne les trois exposants: $1 + 3 + 2 = 6$ = $5^6$

Calcule la valeur: $5^6 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $15\,625$

Answer: $5 \cdot 5^3 \cdot 5^2 = 5^6 = 15\,625$

Coefficients et puissances

Simplifie $3x^2 \cdot 4x^3$.

Regroupe les facteurs (on peut multiplier dans n'importe quel ordre): $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4) \cdot (x^2 \cdot x^3)$ = Les nombres ensemble, les puissances ensemble

Multiplie les coefficients: $3 \cdot 4 = 12$ = $12$

Additionne les exposants de $x$: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3}$ = $x^5$

Rassemble les morceaux: $12 \cdot x^5$ = $12x^5$

Answer: $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$

Deux lettres différentes

Simplifie $2a^3b \cdot 5a^4b^2$.

Regroupe les nombres et chaque lettre: $(2 \cdot 5) \cdot (a^3 \cdot a^4) \cdot (b \cdot b^2)$ = Trois groupes

Multiplie les coefficients: $2 \cdot 5 = 10$ = $10$

Base $a$ : additionne les exposants: $a^3 \cdot a^4 = a^{3+4}$ = $a^7$

Base $b$ : n'oublie pas que $b = b^1$: $b^1 \cdot b^2 = b^{1+2}$ = $b^3$

Écris le résultat: $a$ et $b$ sont des bases différentes, elles restent séparées = $10a^7b^3$

Answer: $2a^3b \cdot 5a^4b^2 = 10a^7b^3$

Mistake: Multiplier les exposants : $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Why: Les exposants comptent des facteurs. Trois facteurs et quatre facteurs font $3 + 4 = 7$ facteurs, pas $3 \cdot 4 = 12$. Vérification : $8 \cdot 16 = 128$, mais $2^{12} = 4096$. On multiplie les exposants pour une puissance d'une puissance, comme $(2^3)^4$.

Correct: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Mistake: Multiplier les bases : $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Why: Chaque facteur de la ligne est toujours un $2$. Rien ne devient un $4$. Et $4^7 = 16\,384$, c'est beaucoup plus que le vrai produit $128$.

Correct: Garde la base : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Mistake: Additionner les exposants de bases différentes : $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ ou $5^5$

Why: La règle exige la même base, car c'est seulement alors que tous les facteurs sont identiques. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$, alors que $6^5 = 7776$.

Correct: Laisse $2^3 \cdot 3^2$ tel quel ou calcule : $8 \cdot 9 = 72$

Mistake: Additionner les coefficients : $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Why: Les coefficients $3$ et $4$ sont des facteurs ordinaires, donc on les multiplie. On additionne seulement les exposants d'une même base.

Correct: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Mémoire informatique

Les ordinateurs comptent la mémoire en puissances de 2, donc on multiplie les tailles de mémoire avec cette règle.

Un kilo-octet vaut $2^{10}$ octets et un méga-octet vaut $2^{10}$ kilo-octets, donc un méga-octet vaut $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ octets.

Compter en puissances de dix

Les grandes quantités dans les magasins et les entrepôts se manipulent facilement en puissances de 10.

$10^2$ caisses de $10^3$ vis chacune contiennent $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ vis.

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double le nombre d'épaisseurs d'une feuille, donc ce nombre augmente en puissances de 2.

Après 2 pliages, il y a $2^2 = 4$ épaisseurs, après 3 pliages, il y en a $2^3 = 8$.

Q: Pourquoi additionne-t-on les exposants au lieu de les multiplier ?

A: Chaque exposant compte des facteurs. $2^3$, ce sont 3 facteurs 2, et $2^4$, ce sont 4 facteurs 2 de plus, donc en tout $3 + 4 = 7$ facteurs : $2^7$. On multiplie les exposants dans une autre situation, la puissance d'une puissance comme $(2^3)^4$, qui a sa propre leçon.

Q: La règle marche-t-elle avec plus de deux puissances ?

A: Oui. Additionne tous les exposants : $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Q: Puis-je utiliser la règle pour $2^3 \cdot 3^3$ ?

A: Non, les bases sont différentes, donc tu ne peux pas additionner les exposants. Ici, les exposants sont égaux, et une autre règle aide : $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Vérification : $8 \cdot 27 = 216$. Avec des bases et des exposants différents, comme $2^3 \cdot 3^2$, calcule simplement : $8 \cdot 9 = 72$.

Q: Est-ce que $2^3 + 2^4$ est égal à $2^7$ ?

A: Non. Cette règle ne sert que pour la multiplication. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, alors que $2^7 = 128$.