La règle marche-t-elle avec plus de deux puissances ?

Oui. Additionne tous les exposants : $2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{1+2+3} = 2^6 = 64$.

Puis-je utiliser la règle pour $2^3 \cdot 3^3$ ?

Non, les bases sont différentes, donc tu ne peux pas additionner les exposants. Ici, les exposants sont égaux, et une autre règle aide : $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216$. Vérification : $8 \cdot 27 = 216$. Avec des bases et des exposants différents, comme $2^3 \cdot 3^2$, calcule simplement : $8 \cdot 9 = 72$.

Est-ce que $2^3 + 2^4$ est égal à $2^7$ ?

Non. Cette règle ne sert que pour la multiplication. $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$, alors que $2^7 = 128$.

Ressources enseignants

Produit de puissances de même base

Q: Pourquoi additionne-t-on les exposants au lieu de les multiplier ?

Chaque exposant compte des facteurs. $2^3$, ce sont 3 facteurs 2, et $2^4$, ce sont 4 facteurs 2 de plus, donc en tout $3 + 4 = 7$ facteurs : $2^7$. On multiplie les exposants dans une autre situation, la puissance d'une puissance comme $(2^3)^4$, qui a sa propre leçon.

Comprends pourquoi multiplier des puissances de même base revient à additionner les exposants, avec des nombres, des lettres et des coefficients.

Intermédiaire20 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La règle du produit de puissances de même base dit : quand tu multiplies deux puissances qui ont la même base, tu gardes la base et tu additionnes les exposants.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Pourquoi ça marche : compte les facteurs.

2^3

signifie trois facteurs

2

, et

2^4

signifie quatre facteurs

2

. En multipliant les deux puissances, tous les facteurs se retrouvent sur une seule ligne :

2^3 \cdot 2^4 = \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2)}_{3 \text{ facteurs}} \cdot \underbrace{(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2)}_{4 \text{ facteurs}} = 2^{7}

Trois facteurs plus quatre facteurs font sept facteurs, donc les exposants s'additionnent :

3 + 4 = 7

. Vérification avec des nombres :

8 \cdot 16 = 128 = 2^7

À retenir :

La base ne change pas : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , jamais $4^7$ .
Les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient pas : $2^7$ , pas $2^{12}$ .
Les bases doivent être égales : $2^3 \cdot 5^2$ ne peut pas s'écrire comme une seule puissance.
Une base sans exposant écrit a l'exposant $1$ : $x = x^1$ .

Essaie tout de suite

Quelle expression est égale à

5^2 \cdot 5^6

Exemples résolus

Simplifie $3^2 \cdot 3^5$ et vérifie le résultat.

Vérifie les bases

Les deux puissances ont la base $3$ → Même base, la règle s'applique

Additionne les exposants

$3^2 \cdot 3^5 = 3^{2+5}$ → $3^7$

Vérifie en comptant les facteurs

$(3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3)$ contient $2 + 5 = 7$ facteurs $3$ → $3^7$ ✓

Vérifie avec des nombres

$3^2 = 9$ , $3^5 = 243$ , $9 \cdot 243 = 2187$ → $3^7 = 2187$ ✓

Réponse: $3^2 \cdot 3^5 = 3^7 = 2187$

Erreurs courantes

Multiplier les exposants : $2^3 \cdot 2^4 = 2^{12}$

Pourquoi c'est faux: Les exposants comptent des facteurs. Trois facteurs et quatre facteurs font $3 + 4 = 7$ facteurs, pas $3 \cdot 4 = 12$ . Vérification : $8 \cdot 16 = 128$ , mais $2^{12} = 4096$ . On multiplie les exposants pour une puissance d'une puissance, comme $(2^3)^4$ .

Correct: $2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128$

Multiplier les bases : $2^3 \cdot 2^4 = 4^7$

Pourquoi c'est faux: Chaque facteur de la ligne est toujours un $2$ . Rien ne devient un $4$ . Et $4^7 = 16\,384$ , c'est beaucoup plus que le vrai produit $128$ .

Correct: Garde la base : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$

Additionner les exposants de bases différentes : $2^3 \cdot 3^2 = 6^5$ ou $5^5$

Pourquoi c'est faux: La règle exige la même base, car c'est seulement alors que tous les facteurs sont identiques. $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ , alors que $6^5 = 7776$ .

Correct: Laisse $2^3 \cdot 3^2$ tel quel ou calcule : $8 \cdot 9 = 72$

Additionner les coefficients : $3x^2 \cdot 4x^3 = 7x^5$

Pourquoi c'est faux: Les coefficients $3$ et $4$ sont des facteurs ordinaires, donc on les multiplie. On additionne seulement les exposants d'une même base.

Correct: $3x^2 \cdot 4x^3 = (3 \cdot 4)\,x^{2+3} = 12x^5$

Visuel interactif

Les puissances comme produits de facteurs

Produit de puissances

Même base, on multiplie : on additionne les exposants.

2^{3} \cdot 2^{4}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

2

2

2

2^{3}

3 facteurs

2

2

2

2

2^{4}

4 facteurs

3 + 4 = 7 facteurs en tout

Résultat

\displaystyle 2^{3} \cdot 2^{4}

=

\displaystyle 2^{3 + 4}

=

\displaystyle 2^{7}

Valeur: $2^{7} = 128$

Exposant m3Exposant n4

Priorités opératoires

1. Parenthèses
2. Puissances
3. × et ÷
4. + et −

\colorbox{#fde68a}{$\color{#1f2937}2^{3}$} \times 2^{4}

Ensuite les puissances: $2^{3} = 8$

Étape 1 sur 3

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle expression est égale à $5^2 \cdot 5^6$ ?

Pourquoi c'est important

Cette règle t'évite d'écrire de longues lignes de facteurs, et on la retrouve partout en maths et en sciences :

Écriture scientifique : $10^3 \cdot 10^4 = 10^7$ , donc mille fois dix mille font dix millions.
Mémoire informatique : $2^{10}$ octets font un kilo-octet et $2^{10}$ kilo-octets font un méga-octet, donc un méga-octet vaut $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ octets.
Doublements successifs : une quantité qui double 3 fois puis encore 4 fois a été multipliée par $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ .
Algèbre : des aires et des volumes comme $x^2 \cdot x$ ou $3x^2 \cdot 4x^3$ doivent être simplifiés avant de résoudre des équations ou de travailler avec des polynômes.

C'est aussi la règle sur laquelle reposent les autres : le quotient de puissances de même base et la puissance d'une puissance se déduisent exactement de la même façon, en comptant les facteurs.

Applications dans le monde réel

Mémoire informatique

Les ordinateurs comptent la mémoire en puissances de 2, donc on multiplie les tailles de mémoire avec cette règle.

Exemple:

Un kilo-octet vaut $2^{10}$ octets et un méga-octet vaut $2^{10}$ kilo-octets, donc un méga-octet vaut $2^{10} \cdot 2^{10} = 2^{20}$ octets.

1Essaie par toi-même

Un fichier est enregistré dans $2^6$ blocs, et chaque bloc contient $2^{10}$ octets.

Combien d'octets le fichier occupe-t-il ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie le nombre de blocs par le nombre d'octets par bloc, $2^6 \cdot 2^{10}$ , et donne le résultat :

Compter en puissances de dix

Les grandes quantités dans les magasins et les entrepôts se manipulent facilement en puissances de 10.

Exemple:

$10^2$ caisses de $10^3$ vis chacune contiennent $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100\,000$ vis.

2Essaie par toi-même

Un entrepôt a $10^2$ étagères. Chaque étagère porte $10^3$ boîtes, et chaque boîte contient $10$ stylos.

Combien de stylos y a-t-il dans l'entrepôt ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie les trois nombres, $10^2 \cdot 10^3 \cdot 10$ , et donne le résultat :

Plier une feuille de papier

Chaque pliage double le nombre d'épaisseurs d'une feuille, donc ce nombre augmente en puissances de 2.

Exemple:

Après 2 pliages, il y a $2^2 = 4$ épaisseurs, après 3 pliages, il y en a $2^3 = 8$ .

3Essaie par toi-même

Tu plies une feuille de papier en deux 3 fois. Puis tu plies la pile en deux encore 4 fois.

Combien d'épaisseurs de papier y a-t-il à la fin ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les premiers pliages donnent $2^3$ épaisseurs, et les suivants multiplient ce nombre par $2^4$ :

Points clés

1Produit de puissances de même base : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Même base, on additionne les exposants.
2Ça marche parce qu'on compte les facteurs : $2^3 \cdot 2^4$ contient $3 + 4 = 7$ facteurs $2$ .
3La base ne change pas : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , pas $4^7$ .
4Les exposants s'additionnent, ils ne se multiplient pas : $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ , pas $2^{12}$ .
5Une base sans exposant écrit a l'exposant 1 : $x \cdot x^4 = x^5$ .
6Avec des coefficients, multiplie les nombres et additionne les exposants de chaque base : $3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5$ . Les bases différentes restent séparées.

Questions fréquentes

Chaque exposant compte des facteurs.

2^3

, ce sont 3 facteurs 2, et

2^4

, ce sont 4 facteurs 2 de plus, donc en tout

3 + 4 = 7

facteurs :

2^7

. On multiplie les exposants dans une autre situation, la puissance d'une puissance comme

(2^3)^4

, qui a sa propre leçon.

Glossaire

Base: Le nombre ou la lettre que l'on multiplie par lui-même. Dans $x^5$ , la base est $x$ .
Exposant: Le petit nombre en haut qui indique combien de facteurs de la base il y a. Dans $x^5$ , l'exposant est $5$ .
Puissance: Une base avec un exposant, comme $2^7$ , ou sa valeur, $128$ .
Facteur: Chaque nombre ou lettre que l'on multiplie dans un produit. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ contient trois facteurs $2$ .
Coefficient: Le nombre devant une lettre. Dans $12x^5$ , le coefficient est $12$ .
Produit de puissances de même base: Pour multiplier des puissances de même base, on garde la base et on additionne les exposants : $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ .

Carte des formules

Produit de puissances

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Même base : on garde la base, on additionne les exposants.

Trois puissances ou plus

a^m \cdot a^n \cdot a^p = a^{m+n+p}

Additionne tous les exposants de la même base.

Exposant caché

a = a^1

Une base sans exposant écrit a l'exposant 1.

Avec des coefficients

c\,a^m \cdot d\,a^n = (c \cdot d)\,a^{m+n}

On multiplie les coefficients, on additionne les exposants.

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