Diviser des puissances d'un même nombre

Simplifie $\frac{5^6}{5^2}$ et calcule sa valeur.

Vérifie les bases: Les deux puissances ont la base $5$ = Même base, la règle s'applique

Soustrais les exposants (haut moins bas): $6 - 2 = 4$ = $5^4$

Calcule la puissance: $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ = $625$

Vérifie en calculant les deux puissances: $5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ = $625$, le même résultat

Answer: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Diviser des puissances d'une variable

Simplifie $\frac{x^9}{x^4}$ (avec $x \neq 0$).

Pense aux facteurs: $9$ facteurs $x$ au numérateur, $4$ facteurs $x$ au dénominateur = $4$ facteurs communs

Simplifie les facteurs communs: Chaque $x$ du bas simplifie un $x$ du haut = Il reste $9 - 4 = 5$ facteurs en haut

Écris le résultat sous forme de puissance: $x^{9-4}$ = $x^5$

Answer: $\frac{x^9}{x^4} = x^5$

Diviser avec des coefficients

Simplifie $\frac{12x^7}{4x^3}$.

Sépare la partie numérique et la partie puissance: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot \frac{x^7}{x^3}$ = Deux divisions séparées

Divise les coefficients: $12 \div 4$ = $3$

Soustrais les exposants: $7 - 3 = 4$ = $x^4$

Rassemble les deux parties: $3 \cdot x^4$ = $3x^4$

Answer: $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$

Deux variables différentes

Simplifie $\frac{18a^6b^5}{6a^2b}$.

Divise les coefficients: $18 \div 6$ = $3$

Applique la règle à la base $a$: $a^{6-2}$ = $a^4$

Applique la règle à la base $b$ (rappel : $b = b^1$): $b^{5-1}$ = $b^4$

Rassemble toutes les parties: $3 \cdot a^4 \cdot b^4$ = $3a^4b^4$

Answer: $\frac{18a^6b^5}{6a^2b} = 3a^4b^4$

D'abord le produit, puis le quotient

Simplifie $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6}$.

Multiplie les coefficients du numérateur: $6 \cdot 2$ = $12$

Applique la règle du produit au numérateur (additionne les exposants): $x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}$ = Numérateur : $12x^8$

Divise les coefficients: $12 \div 4$ = $3$

Applique la règle du quotient (soustrais les exposants): $x^{8-6}$ = $x^2$

Answer: $\frac{6x^5 \cdot 2x^3}{4x^6} = 3x^2$

Mistake: Diviser les exposants : $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Why: Diviser les puissances ne veut pas dire diviser les exposants. Les $2$ facteurs du bas simplifient $2$ des $8$ facteurs du haut, il en reste donc $8 - 2$, et non $8 \div 2$.

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Mistake: Soustraire dans le mauvais ordre : $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Why: L'exposant du numérateur vient toujours en premier. Ici le haut a plus de facteurs, donc après simplification les facteurs restent en haut et l'exposant est positif.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Mistake: Diviser les bases : $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Why: La base indique quel nombre est multiplié, et elle ne change pas. Seul le nombre de facteurs change.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Mistake: Soustraire aussi les coefficients : $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Why: Les coefficients sont des nombres ordinaires, et une barre de fraction signifie une division : $12 \div 4$. Seuls les exposants d'une même base se soustraient.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Des photos sur une carte mémoire

La mémoire informatique se compte en puissances de 2 : diviser des tailles de stockage est donc un travail pour la règle du quotient.

1 Mo vaut $2^{20}$ octets et 1 Ko vaut $2^{10}$ octets, donc 1 Mo contient $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ Ko.

Le temps que met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre

Les astronomes divisent d'énormes distances par des vitesses écrites en notation scientifique : on divise les nombres devant et on soustrait les exposants de 10.

Une distance de $6 \times 10^8$ km parcourue à $3 \times 10^5$ km par seconde prend $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ secondes.

Le budget par habitant

Les économistes divisent de grandes sommes d'argent par le nombre d'habitants pour comparer des pays de tailles différentes.

Si $8 \times 10^9$ € sont partagés entre $4 \times 10^6$ personnes, chaque part vaut $2 \times 10^3 = 2000$ €.

Q: Pourquoi la règle précise-t-elle $a \neq 0$ ?

A: Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Avec $a = 0$, le dénominateur $0^n$ vaudrait $0$ et la fraction n'aurait aucune valeur.

Q: Que se passe-t-il quand les deux exposants sont égaux ?

A: Alors tous les facteurs se simplifient, par exemple $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La règle donne $4^{3-3} = 4^0$, et la leçon Exposant zéro explique pourquoi $4^0$ vaut $1$.

Q: Et si l'exposant du bas est plus grand, comme dans $\frac{2^3}{2^5}$ ?

A: Simplifie comme d'habitude : $3$ facteurs se simplifient et $2$ facteurs $2$ restent en bas, donc $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. La leçon Exposants négatifs montre comment l'écrire avec un seul exposant.

Q: Puis-je utiliser la règle avec des bases différentes, comme $\frac{6^4}{2^3}$ ?

A: Non. La règle ne compte que les facteurs d'une seule et même base. Calcule plutôt les puissances : $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.