Que se passe-t-il quand les deux exposants sont égaux ?

Alors tous les facteurs se simplifient, par exemple $\frac{4^3}{4^3} = 1$. La règle donne $4^{3-3} = 4^0$, et la leçon Exposant zéro explique pourquoi $4^0$ vaut $1$.

Et si l'exposant du bas est plus grand, comme dans $\frac{2^3}{2^5}$ ?

Simplifie comme d'habitude : $3$ facteurs se simplifient et $2$ facteurs $2$ restent en bas, donc $\frac{2^3}{2^5} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. La leçon Exposants négatifs montre comment l'écrire avec un seul exposant.

Puis-je utiliser la règle avec des bases différentes, comme $\frac{6^4}{2^3}$ ?

Non. La règle ne compte que les facteurs d'une seule et même base. Calcule plutôt les puissances : $\frac{6^4}{2^3} = \frac{1296}{8} = 162$.

Ressources enseignants

Quotient de puissances de même base

Q: Pourquoi la règle précise-t-elle $a \neq 0$ ?

Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Avec $a = 0$, le dénominateur $0^n$ vaudrait $0$ et la fraction n'aurait aucune valeur.

Comprends pourquoi diviser des puissances de même base revient à soustraire les exposants, et applique la règle aux nombres, aux variables et aux coefficients.

Intermédiaire20 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La règle du quotient de puissances dit : quand tu divises deux puissances de même base, tu gardes la base et tu soustrais les exposants (exposant du haut moins exposant du bas) :

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

Pourquoi ça marche : écris les deux puissances comme des produits de facteurs et simplifie les facteurs communs, car tout nombre divisé par lui-même vaut

1

\frac{5^6}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{5}} = 5^4

Les

2

facteurs du dénominateur simplifient

2

des

6

facteurs du numérateur, donc il reste

6 - 2 = 4

facteurs.

Vérification avec des nombres :

5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25 = 625 = 5^4

Dans cette leçon, l'exposant du haut est toujours le plus grand (

m > n

). Quand les deux exposants sont égaux, tout se simplifie (leçon Exposant zéro) ; quand l'exposant du bas est plus grand, des facteurs restent au dénominateur (leçon Exposants négatifs).

Essaie tout de suite

Simplifie

\frac{7^9}{7^3}

Exemples résolus

Simplifie $\frac{5^6}{5^2}$ et calcule sa valeur.

Vérifie les bases

Les deux puissances ont la base $5$ → Même base, la règle s'applique

Soustrais les exposants (haut moins bas)

$6 - 2 = 4$ → $5^4$

Calcule la puissance

$5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ → $625$

Vérifie en calculant les deux puissances

$5^6 \div 5^2 = 15625 \div 25$ → $625$ , le même résultat

Réponse: $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$

Erreurs courantes

Diviser les exposants : $\frac{x^8}{x^2} = x^4$

Pourquoi c'est faux: Diviser les puissances ne veut pas dire diviser les exposants. Les $2$ facteurs du bas simplifient $2$ des $8$ facteurs du haut, il en reste donc $8 - 2$ , et non $8 \div 2$ .

Correct: $\frac{x^8}{x^2} = x^{8-2} = x^6$

Soustraire dans le mauvais ordre : $\frac{3^7}{3^2} = 3^{2-7}$

Pourquoi c'est faux: L'exposant du numérateur vient toujours en premier. Ici le haut a plus de facteurs, donc après simplification les facteurs restent en haut et l'exposant est positif.

Correct: $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5 = 243$

Diviser les bases : $\frac{6^5}{6^2} = 1^3$

Pourquoi c'est faux: La base indique quel nombre est multiplié, et elle ne change pas. Seul le nombre de facteurs change.

Correct: $\frac{6^5}{6^2} = 6^{5-2} = 6^3 = 216$

Soustraire aussi les coefficients : $\frac{12x^7}{4x^3} = 8x^4$

Pourquoi c'est faux: Les coefficients sont des nombres ordinaires, et une barre de fraction signifie une division : $12 \div 4$ . Seuls les exposants d'une même base se soustraient.

Correct: $\frac{12x^7}{4x^3} = \frac{12}{4} \cdot x^{7-3} = 3x^4$

Visuel interactif

Les puissances comme produits de facteurs

Quotient de puissances

Même base, on divise : on soustrait les exposants.

\frac{5^{6}}{5^{2}}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

5

5

5

5

5

5

5

5

2 facteurs communs se simplifient en haut et en bas

Il reste 4 facteurs au numérateur

\displaystyle 5^{4}

Résultat

\displaystyle \frac{5^{6}}{5^{2}}

=

\displaystyle 5^{6 - 2}

=

\displaystyle 5^{4}

Valeur: $5^{4} = 625$

Valable pour toute base sauf 0

Exposant m6Exposant n2

Les puissances comme produits de facteurs

Quotient de puissances

Même base, on divise : on soustrait les exposants.

\frac{x^{9}}{x^{4}}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4 facteurs communs se simplifient en haut et en bas

Il reste 5 facteurs au numérateur

\displaystyle x^{5}

Résultat

\displaystyle \frac{x^{9}}{x^{4}}

=

\displaystyle x^{9 - 4}

=

\displaystyle x^{5}

Valable pour toute base sauf 0

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Simplifie $\frac{7^9}{7^3}$ .

Pourquoi c'est important

On divise des puissances dès que les nombres sont très grands ou très petits :

Informatique : les tailles de mémoire sont des puissances de 2. Combien de fichiers de 1 Mo ( $2^{20}$ octets) tiennent dans 1 Go ( $2^{30}$ octets) ? $\frac{2^{30}}{2^{20}} = 2^{10} = 1024$
Sciences : on divise des distances et des vitesses en notation scientifique en soustrayant les exposants de 10 : $\frac{10^8}{10^5} = 10^3$
Calcul mental : $\frac{2^{20}}{2^{17}} = 2^3 = 8$ sans jamais calculer $2^{20} = 1048576$
Algèbre : simplifier des fractions comme $\frac{12x^7}{4x^3}$ est le premier pas vers les fractions rationnelles et la résolution d'équations

La règle du quotient transforme une longue division de nombres énormes en une petite soustraction.

Applications dans le monde réel

Des photos sur une carte mémoire

La mémoire informatique se compte en puissances de 2 : diviser des tailles de stockage est donc un travail pour la règle du quotient.

Exemple:

1 Mo vaut $2^{20}$ octets et 1 Ko vaut $2^{10}$ octets, donc 1 Mo contient $\frac{2^{20}}{2^{10}} = 2^{10} = 1024$ Ko.

1Essaie par toi-même

Une carte mémoire contient $2^{30}$ octets. Chaque photo occupe $2^{22}$ octets.

Combien de photos tiennent sur la carte ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise la taille de la carte par la taille d'une photo :

Le temps que met la lumière du Soleil pour atteindre la Terre

Les astronomes divisent d'énormes distances par des vitesses écrites en notation scientifique : on divise les nombres devant et on soustrait les exposants de 10.

Exemple:

Une distance de $6 \times 10^8$ km parcourue à $3 \times 10^5$ km par seconde prend $\frac{6}{3} \times 10^{8-5} = 2 \times 10^3 = 2000$ secondes.

2Essaie par toi-même

Le Soleil est à environ $1{,}5 \times 10^8$ km de la Terre. La lumière parcourt environ $3 \times 10^5$ km par seconde.

Combien de secondes environ la lumière du Soleil met-elle pour atteindre la Terre ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Temps = distance divisée par vitesse :

Le budget par habitant

Les économistes divisent de grandes sommes d'argent par le nombre d'habitants pour comparer des pays de tailles différentes.

Exemple:

Si $8 \times 10^9$ € sont partagés entre $4 \times 10^6$ personnes, chaque part vaut $2 \times 10^3 = 2000$ €.

3Essaie par toi-même

Un pays dépense $6 \times 10^{10}$ € par an pour ses écoles et compte $2 \times 10^7$ habitants.

Combien d'euros cela représente-t-il par habitant ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Divise le budget par le nombre d'habitants :

Points clés

1Règle du quotient : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ pour $a \neq 0$ : on garde la base, on soustrait les exposants
2La règle marche parce que les facteurs communs se simplifient : chaque facteur du bas simplifie un facteur du haut
3Soustrais toujours haut moins bas : $\frac{3^7}{3^2} = 3^{7-2} = 3^5$
4La base ne change jamais et on ne divise jamais les exposants : $\frac{x^8}{x^2} = x^6$ , et non $x^4$
5Avec des coefficients, divise les nombres et soustrais les exposants : $\frac{12x^7}{4x^3} = 3x^4$
6Dans une expression mixte, simplifie d'abord le numérateur avec la règle du produit, puis applique la règle du quotient

Questions fréquentes

Parce qu'on ne peut pas diviser par zéro. Avec

a = 0

, le dénominateur

0^n

vaudrait

0

et la fraction n'aurait aucune valeur.

Glossaire

Quotient: Le résultat d'une division. Dans $\frac{a^m}{a^n}$ , les puissances forment un quotient.
Base: Le nombre ou la variable que l'on multiplie. Dans $5^6$ , la base est $5$ .
Exposant: Le nombre de facteurs égaux à la base. Dans $5^6$ , l'exposant est $6$ .
Facteur commun: Un facteur présent à la fois au numérateur et au dénominateur d'une fraction, qui se simplifie donc en $1$ .
Coefficient: Le nombre devant une variable. Dans $12x^7$ , le coefficient est $12$ .

Carte des formules

Quotient de puissances

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Même base $a \neq 0$ : on garde la base, on soustrait les exposants (haut moins bas)

Avec des coefficients

\frac{c\,a^m}{d\,a^n} = \frac{c}{d}\,a^{m-n}

On divise les coefficients, on soustrait les exposants

Produit puis quotient

\frac{a^m \cdot a^p}{a^n} = a^{m+p-n}

On additionne les exposants du haut, puis on soustrait l'exposant du bas

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