Suivre la régularité jusqu'à $3^0$

Utilise la régularité des puissances de $3$ pour trouver $3^0$.

Pars d'une puissance que tu connais: $3^3 = 3 \times 3 \times 3$ = $3^3 = 27$

Diminue l'exposant de 1 : divise par 3: $27 \div 3 = 9$ = $3^2 = 9$

Diminue-le encore : divise par 3: $9 \div 3 = 3$ = $3^1 = 3$

Une dernière étape jusqu'à l'exposant 0: $3 \div 3 = 1$ = $3^0 = 1$

Answer: $3^0 = 1$

Avec le quotient de puissances

Calcule $\frac{7^4}{7^4}$ de deux façons.

Un nombre non nul divisé par lui-même: $\frac{7^4}{7^4} = \frac{2401}{2401}$ = $1$

Applique la règle du quotient de puissances de même base: $\frac{7^4}{7^4} = 7^{4-4}$ = $7^0$

Les deux résultats doivent être égaux: $7^0 = \frac{7^4}{7^4} = 1$ = $7^0 = 1$

Answer: $\frac{7^4}{7^4} = 7^0 = 1$

$5x^0$ ou $(5x)^0$

Calcule $5x^0$ et $(5x)^0$ pour $x = 2$.

Dans $5x^0$, l'exposant ne concerne que $x$: $5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 2^0$ = $5 \times 1$

Multiplie: $5 \times 1 = 5$ = $5x^0 = 5$

Dans $(5x)^0$, l'exposant concerne toute la parenthèse: $(5 \times 2)^0 = 10^0$ = $(5x)^0 = 1$

Answer: $5x^0 = 5$ et $(5x)^0 = 1$

$-3^0$ ou $(-3)^0$

Calcule $-3^0$ et $(-3)^0$.

Sans parenthèses, l'exposant ne concerne que $3$: $-3^0 = -(3^0)$ = $-(1)$

Applique le signe moins: $-(1) = -1$ = $-3^0 = -1$

Avec parenthèses, la base est $-3$: $(-3)^0$ a une base non nulle = $(-3)^0 = 1$

Answer: $-3^0 = -1$ et $(-3)^0 = 1$

Une expression avec plusieurs exposants zéro

Calcule $4^0 + 2^3 \times 6^0 - \left(\frac{1}{2}\right)^0$.

Remplace chaque puissance d'exposant zéro par 1: $4^0 = 1$, $6^0 = 1$, $\left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$ = $1 + 2^3 \times 1 - 1$

Calcule la puissance restante: $2^3 = 8$ = $1 + 8 \times 1 - 1$

Multiplie d'abord: $8 \times 1 = 8$ = $1 + 8 - 1$

Additionne et soustrais de gauche à droite: $1 + 8 - 1$ = $8$

Answer: $8$

Mistake: Écrire $a^0 = 0$, par exemple $9^0 = 0$

Why: L'exposant $0$ ne veut pas dire multiplier par zéro. En descendant dans la régularité, on divise par la base, et $9 \div 9 = 1$.

Correct: $9^0 = 1$, car $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ et $\frac{9}{9} = 1$

Mistake: Écrire $a^0 = a$, par exemple $9^0 = 9$

Why: C'est la règle de l'exposant $1$ : $9^1 = 9$. L'exposant $0$ est une étape plus bas, donc on divise encore une fois par $9$.

Correct: $9^1 = 9$ mais $9^0 = 1$

Mistake: Écrire $5x^0 = 1$

Why: L'exposant ne concerne que $x$, pas le coefficient $5$. Seul $x^0$ devient $1$.

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$, alors que $(5x)^0 = 1$

Mistake: Écrire $-3^0 = 1$

Why: Sans parenthèses, la base est $3$, pas $-3$. Le signe moins reste devant le résultat.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$, alors que $(-3)^0 = 1$

Numération et puissances de dix

Chaque rang de notre système de numération est une puissance de dix. Le rang des unités correspond à $10^0 = 1$.

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$, et le dernier terme vaut $2 \times 1 = 2$.

Les nombres binaires en informatique

Les ordinateurs enregistrent les nombres en binaire. Chaque rang binaire est une puissance de deux, et le rang le plus à droite vaut $2^0 = 1$.

Le nombre binaire $1011$ signifie $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$.

Valeur de départ d'un modèle de croissance

Les biologistes modélisent une population qui double chaque heure par $P = P_0 \times 2^t$, où $t$ est le temps en heures.

Pour $P = 200 \times 2^t$, après 3 heures $P = 200 \times 2^3 = 1600$, et au départ $P = 200 \times 2^0 = 200$.

Q: Pourquoi $a^0$ vaut-il 1 et pas 0 ?

A: Parce que chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par la base. À partir de $5^1 = 5$, une étape de plus donne $5 \div 5 = 1$. La règle du quotient dit la même chose : $\frac{5^3}{5^3} = 5^0$, et tout nombre non nul divisé par lui-même vaut $1$.

Q: Que vaut $0^0$ ?

A: À ce niveau, $0^0$ n'est pas défini. L'argument de la régularité demande de diviser par la base, et on ne peut pas diviser par $0$. C'est pourquoi la règle s'écrit $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$.

Q: La règle marche-t-elle pour les nombres négatifs et les fractions ?

A: Oui, tant que la base n'est pas nulle et que toute la base est entre parenthèses : $(-8)^0 = 1$ et $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Q: Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle $-1$ pour $-3^0$ ?

A: La calculatrice respecte les priorités opératoires : la puissance passe avant le signe moins, donc elle calcule $-(3^0) = -1$. Tape $(-3)^0$ avec des parenthèses pour obtenir $1$.