À ce niveau, $0^0$ n'est pas défini. L'argument de la régularité demande de diviser par la base, et on ne peut pas diviser par $0$. C'est pourquoi la règle s'écrit $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$.

La règle marche-t-elle pour les nombres négatifs et les fractions ?

Oui, tant que la base n'est pas nulle et que toute la base est entre parenthèses : $(-8)^0 = 1$ et $\left(\frac{3}{4}\right)^0 = 1$.

Pourquoi ma calculatrice affiche-t-elle $-1$ pour $-3^0$ ?

La calculatrice respecte les priorités opératoires : la puissance passe avant le signe moins, donc elle calcule $-(3^0) = -1$. Tape $(-3)^0$ avec des parenthèses pour obtenir $1$.

Ressources enseignants

Exposant zéro

Découvre pourquoi tout nombre non nul élevé à la puissance zéro vaut 1, et comment traiter des expressions comme $5x^0$ et $(-3)^0$.

Intermédiaire20 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

La règle de l'exposant zéro dit que tout nombre non nul élevé à la puissance

0

vaut

1

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Ainsi

7^0 = 1

100^0 = 1

(-5)^0 = 1

\left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1

Pourquoi ? Observe la régularité. Chaque fois que l'exposant diminue de

1

, on divise par la base :

Puissance	Valeur
$2^4$	$16$
$2^3$	$8$
$2^2$	$4$
$2^1$	$2$
$2^0$	$2 \div 2 = 1$

Le quotient de puissances de même base le confirme. Une puissance divisée par elle-même donne

1

, et la règle du quotient donne l'exposant

0

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 \quad \text{et} \quad \frac{a^n}{a^n} = 1

Fais attention à ce que l'exposant concerne. Un exposant ne s'applique qu'à la base placée juste devant lui :

$5x^0 = 5 \times x^0 = 5 \times 1 = 5$ , mais $(5x)^0 = 1$
$-3^0 = -(3^0) = -1$ , mais $(-3)^0 = 1$

Cas particulier : à ce niveau,

0^0

n'est pas défini. La règle

a^0 = 1

ne vaut que pour

a \neq 0

Essaie tout de suite

Combien vaut

9^0

Exemples résolus

Utilise la régularité des puissances de $3$ pour trouver $3^0$ .

Pars d'une puissance que tu connais

$3^3 = 3 \times 3 \times 3$ → $3^3 = 27$

Diminue l'exposant de 1 : divise par 3

$27 \div 3 = 9$ → $3^2 = 9$

Diminue-le encore : divise par 3

$9 \div 3 = 3$ → $3^1 = 3$

Une dernière étape jusqu'à l'exposant 0

$3 \div 3 = 1$ → $3^0 = 1$

Réponse: $3^0 = 1$

Erreurs courantes

Écrire $a^0 = 0$ , par exemple $9^0 = 0$

Pourquoi c'est faux: L'exposant $0$ ne veut pas dire multiplier par zéro. En descendant dans la régularité, on divise par la base, et $9 \div 9 = 1$ .

Correct: $9^0 = 1$ , car $\frac{9^1}{9^1} = 9^0$ et $\frac{9}{9} = 1$

Écrire $a^0 = a$ , par exemple $9^0 = 9$

Pourquoi c'est faux: C'est la règle de l'exposant $1$ : $9^1 = 9$ . L'exposant $0$ est une étape plus bas, donc on divise encore une fois par $9$ .

Correct: $9^1 = 9$ mais $9^0 = 1$

Écrire $5x^0 = 1$

Pourquoi c'est faux: L'exposant ne concerne que $x$ , pas le coefficient $5$ . Seul $x^0$ devient $1$ .

Correct: $5x^0 = 5 \times 1 = 5$ , alors que $(5x)^0 = 1$

Écrire $-3^0 = 1$

Pourquoi c'est faux: Sans parenthèses, la base est $3$ , pas $-3$ . Le signe moins reste devant le résultat.

Correct: $-3^0 = -(3^0) = -1$ , alors que $(-3)^0 = 1$

Visuel interactif

Les puissances comme produits de facteurs

Quotient de puissances

Même base, on divise : on soustrait les exposants.

\frac{5^{3}}{5^{3}}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

5

5

5

5

5

5

3 facteurs communs se simplifient en haut et en bas

Tous les facteurs se simplifient : le résultat est 1, donc l'exposant est 0

\displaystyle 1 = 5^{0}

Résultat

\displaystyle \frac{5^{3}}{5^{3}}

=

\displaystyle 5^{3 - 3}

=

\displaystyle 5^{0}

=

\displaystyle 1

Valeur: $5^{0} = 1$

Valable pour toute base sauf 0

Base:

Calculer:2³ = 8

Vois comment les puissances d'un nombre grandissent sur la droite numérique. Change la base et l'exposant.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Combien vaut $9^0$ ?

Pourquoi c'est important

L'exposant zéro apparaît partout où l'on utilise des puissances :

Numération : le rang des unités correspond à $10^0 = 1$ , donc $345 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 5 \times 10^0$
Informatique : le chiffre le plus à droite d'un nombre binaire vaut $2^0 = 1$
Modèles de croissance : dans $P = 500 \times 2^t$ , la valeur de départ en $t = 0$ est $500 \times 2^0 = 500$
Algèbre : pour simplifier $\frac{x^4}{x^4}$ ou $3x^0$ , tu as besoin de la règle à chaque fois

a^0

valait

0

, le rang des unités ne vaudrait rien et chaque modèle de croissance démarrerait à zéro. Seule la valeur

1

permet à toutes les règles sur les puissances de rester vraies.

Applications dans le monde réel

Numération et puissances de dix

Chaque rang de notre système de numération est une puissance de dix. Le rang des unités correspond à $10^0 = 1$.

Exemple:

$6072 = 6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ , et le dernier terme vaut $2 \times 1 = 2$ .

1Essaie par toi-même

Une professeure écrit $6072$ sous forme décomposée : $6 \times 10^3 + 0 \times 10^2 + 7 \times 10^1 + 2 \times 10^0$ .

Quelle est la valeur du dernier terme, $2 \times 10^0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le dernier terme sous forme de calcul :

Les nombres binaires en informatique

Les ordinateurs enregistrent les nombres en binaire. Chaque rang binaire est une puissance de deux, et le rang le plus à droite vaut $2^0 = 1$.

Exemple:

Le nombre binaire $1011$ signifie $1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11$ .

2Essaie par toi-même

Un capteur envoie le nombre binaire $101$ , c'est-à-dire $1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0$ .

Quel est ce nombre dans notre système décimal habituel ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris la somme des valeurs des rangs :

Valeur de départ d'un modèle de croissance

Les biologistes modélisent une population qui double chaque heure par $P = P_0 \times 2^t$, où $t$ est le temps en heures.

Exemple:

Pour $P = 200 \times 2^t$ , après 3 heures $P = 200 \times 2^3 = 1600$ , et au départ $P = 200 \times 2^0 = 200$ .

3Essaie par toi-même

Une culture de bactéries évolue selon $P = 500 \times 2^t$ , où $t$ est le nombre d'heures depuis le début.

Combien y a-t-il de bactéries au départ, quand $t = 0$ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Remplace $t$ par $0$ dans la formule :

Points clés

1Pour tout nombre $a$ non nul : $a^0 = 1$
2Régularité : chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par la base, donc $2^1 = 2$ devient $2^0 = 2 \div 2 = 1$
3Quotient de puissances : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ , et un nombre divisé par lui-même vaut $1$
4L'exposant ne concerne que la base placée juste devant : $5x^0 = 5$ mais $(5x)^0 = 1$
5Les parenthèses comptent avec les nombres négatifs : $-3^0 = -1$ mais $(-3)^0 = 1$
6 $a^0$ ne vaut jamais $0$ ni $a$ ; à ce niveau, $0^0$ n'est pas défini

Questions fréquentes

Parce que chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par la base. À partir de

5^1 = 5

, une étape de plus donne

5 \div 5 = 1

. La règle du quotient dit la même chose :

\frac{5^3}{5^3} = 5^0

, et tout nombre non nul divisé par lui-même vaut

1

Glossaire

Exposant zéro: Un exposant égal à $0$ . Pour toute base non nulle, $a^0 = 1$ .
Base: Le nombre que l'on élève à une puissance. Dans $(-3)^0$ la base est $-3$ , dans $-3^0$ c'est $3$ .
Quotient de puissances de même base: Pour diviser des puissances de même base, on soustrait les exposants : $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ .
Coefficient: Le nombre placé devant une variable. Dans $5x^0$ le coefficient est $5$ , et l'exposant ne le concerne pas.
Non défini: Une expression à laquelle on n'attribue aucune valeur. À ce niveau, $0^0$ n'est pas défini.

Carte des formules

Règle de l'exposant zéro

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Tout nombre non nul à la puissance zéro vaut 1

Pourquoi ça marche

\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0 = 1

La règle du quotient et la division d'un nombre par lui-même donnent le même résultat

Coefficient devant

c \cdot x^0 = c \quad (x \neq 0)

Seule la variable devient 1, le coefficient reste

Parenthèses et nombres négatifs

(-a)^0 = 1, \quad -a^0 = -1

Avec parenthèses la base est négative, sans parenthèses le signe moins reste à l'extérieur

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