Exposants différents

Lequel est le plus grand : $3{,}1 \times 10^6$ ou $9{,}8 \times 10^5$ ?

Vérifie que les deux sont normalisés: Les deux coefficients, $3{,}1$ et $9{,}8$, sont entre $1$ et $10$ = Prêt à comparer

Compare les exposants: $6 > 5$ = $10^6$ vaut dix fois $10^5$

Conclus (les coefficients ne comptent pas ici): $3{,}1 \times 10^6 = 3\,100\,000$ et $9{,}8 \times 10^5 = 980\,000$ = $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$

Answer: $3{,}1 \times 10^6$ est le plus grand, même si son coefficient est plus petit.

Exposants égaux

Compare $4{,}7 \times 10^8$ et $4{,}2 \times 10^8$.

Compare les exposants: Les deux valent $8$ = Exposants égaux

Compare les coefficients: $4{,}7 > 4{,}2$ = Le premier coefficient est plus grand

Écris la réponse: Même puissance de dix, plus grand coefficient = $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$

Answer: $4{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8$

Normaliser d'abord

Compare $45 \times 10^3$ et $4{,}6 \times 10^4$.

Repère le nombre qui n'est pas normalisé: $45$ n'est pas entre $1$ et $10$ = Il faut réécrire $45 \times 10^3$

Normalise-le: $45 = 4{,}5 \times 10^1$, donc $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^{1+3}$ = $4{,}5 \times 10^4$

Compare les exposants: $4$ et $4$ = Égaux, donc on compare les coefficients

Compare les coefficients: $4{,}5 < 4{,}6$ = $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$

Answer: $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$ ($45\,000 < 46\,000$). Comparer directement $45$ et $4{,}6$ donnerait la mauvaise réponse.

Exposants négatifs

Lequel est le plus grand : $2 \times 10^{-3}$ ou $9 \times 10^{-5}$ ?

Vérifie que les deux sont normalisés: $2$ et $9$ sont entre $1$ et $10$ = Prêt à comparer

Compare les exposants comme des nombres négatifs: Sur la droite graduée, $-3$ est à droite de $-5$ = $-3 > -5$

Conclus: $2 \times 10^{-3} = 0{,}002$ et $9 \times 10^{-5} = 0{,}00009$ = $2 \times 10^{-3} > 9 \times 10^{-5}$

Answer: $2 \times 10^{-3}$ est le plus grand. Avec des exposants négatifs, l'exposant le plus proche de zéro donne le plus grand nombre.

Ranger des tailles de l'univers

Range du plus petit au plus grand (en mètres) : le diamètre de la Terre $1{,}27 \times 10^7$, un atome d'hydrogène $1 \times 10^{-10}$, la distance Terre-Soleil $1{,}5 \times 10^{11}$, un globule rouge $70 \times 10^{-7}$. Trouve ensuite combien de fois le globule rouge est plus large que l'atome.

Normalise le globule rouge: $70 \times 10^{-7} = 7 \times 10^{1} \times 10^{-7}$ = $7 \times 10^{-6}$

Liste les exposants: Terre $7$, atome $-10$, distance au Soleil $11$, globule $-6$ = $-10 < -6 < 7 < 11$

Range les nombres selon leurs exposants: Aucun exposant n'est répété, donc les coefficients ne sont pas nécessaires = atome, globule, Terre, distance Terre-Soleil

Compare les puissances de dix du globule et de l'atome: $10^{-6} \div 10^{-10} = 10^{-6-(-10)} = 10^4$ = $10^4 = 10\,000$

Tiens compte des coefficients: $\frac{7}{1} \times 10^4 = 7 \times 10^4$ = $70\,000$ fois

Answer: $1 \times 10^{-10} < 7 \times 10^{-6} < 1{,}27 \times 10^7 < 1{,}5 \times 10^{11}$. Le globule rouge est $70\,000$ fois plus large que l'atome d'hydrogène.

Mistake: Comparer d'abord les coefficients : croire que $9{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6$ car $9{,}8 > 3{,}1$

Why: C'est la puissance de dix qui fixe la taille. $10^6$ vaut dix fois $10^5$, et aucun coefficient inférieur à $10$ ne peut compenser cela.

Correct: Compare d'abord les exposants : $6 > 5$, donc $3{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5$. Ne regarde les coefficients que si les exposants sont égaux.

Mistake: Comparer sans normaliser : croire que $45 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4$ car $45 > 4{,}6$

Why: $45 \times 10^3$ n'est pas en notation scientifique, donc son exposant ne dit pas sa vraie taille.

Correct: Normalise d'abord : $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$. Ensuite $4{,}5 < 4{,}6$, donc $45 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4$.

Mistake: Croire que $10^{-5} > 10^{-3}$ car $5 > 3$

Why: Les exposants négatifs se comparent comme des nombres négatifs : $-5$ est inférieur à $-3$.

Correct: $10^{-5} = 0{,}00001$ et $10^{-3} = 0{,}001$, donc $10^{-3} > 10^{-5}$. L'exposant le plus proche de zéro l'emporte.

Mistake: Croire que $10^6$ est le double de $10^3$, ou $3$ de plus que $10^3$

Why: Les exposants diffèrent de $3$, mais chaque cran dans l'exposant multiplie par $10$, il n'ajoute rien.

Correct: $\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3$, donc $10^6$ vaut $1000$ fois $10^3$.

Biologie : bactéries et virus

Les microbiologistes comparent de minuscules longueurs écrites avec des exposants négatifs pour choisir le bon microscope.

Un microscope optique montre des objets jusqu'à environ $2 \times 10^{-7}$ m. Une bactérie de $2 \times 10^{-6}$ m est plus grande ($-6 > -7$), on peut donc la voir. La plupart des virus sont plus petits et demandent un microscope électronique.

Informatique : tailles de stockage

Le stockage se mesure en octets : un gigaoctet vaut $10^9$ octets et un téraoctet $10^{12}$ octets. Comparer les exposants te dit combien de fichiers tiennent.

Une photo de $3 \times 10^6$ octets est bien plus petite qu'une vidéo de $3 \times 10^9$ octets : même coefficient, et les exposants diffèrent de $3$, donc la vidéo est $1000$ fois plus grande.

Physique : longueurs d'onde des lasers

Les longueurs d'onde de la lumière sont minuscules et souvent écrites sous des formes différentes, par exemple en nanomètres ($10^{-9}$ m). Pour les comparer, normalise d'abord.

La lumière bleue a une longueur d'onde d'environ $4{,}5 \times 10^{-7}$ m et la lumière rouge d'environ $7 \times 10^{-7}$ m. Même exposant, donc $7 > 4{,}5$ montre que la lumière rouge a la plus grande longueur d'onde.

Q: Pourquoi l'exposant compte-t-il plus que le coefficient ?

A: Un coefficient normalisé est toujours inférieur à $10$, alors qu'un cran de plus dans l'exposant multiplie par $10$. Ainsi $9{,}99 \times 10^5 = 999\,000$ reste inférieur à $1 \times 10^6 = 1\,000\,000$.

Q: Et si un nombre n'est pas correctement écrit en notation scientifique ?

A: Normalise-le avant de comparer. Déplace la virgule jusqu'à ce que le coefficient soit entre $1$ et $10$ et ajuste l'exposant : $0{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4$, $45 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4$.

Q: Un nombre avec un exposant négatif est-il toujours plus petit qu'un nombre avec un exposant positif ?

A: Oui, pour des nombres positifs. Un nombre normalisé avec un exposant négatif est inférieur à $1$ (par exemple $9{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99$), et un nombre avec un exposant $0$ ou plus vaut au moins $1$.

Q: Que veut dire "deux ordres de grandeur plus grand" ?

A: Cela veut dire environ $10^2 = 100$ fois plus grand. L'ordre de grandeur correspond à peu près à l'exposant, donc une différence de $2$ entre les exposants signifie un facteur d'environ $100$.