Comparer des nombres en notation scientifique

Apprends à comparer et ranger des nombres en notation scientifique : d'abord les exposants, puis les coefficients, et combien de fois un nombre est plus grand.

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Définition

Pour comparer des nombres en notation scientifique a×10na \times 10^n (avec 1≤a<101 \le a < 10), tu n'as presque jamais besoin d'écrire tous les zéros. Suis trois étapes :
  1. 1.Normalise les deux nombres, pour que chaque coefficient soit entre 11 et 1010. Par exemple, 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
  2. 2.Compare les exposants. Le nombre qui a le plus grand exposant est le plus grand : 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5, car 6>56 > 5.
  3. 3.Si les exposants sont égaux, compare les coefficients : 4,7×108>4,2×1084{,}7 \times 10^8 > 4{,}2 \times 10^8, car 4,7>4,24{,}7 > 4{,}2.
L'exposant décide en premier, car chaque cran de plus dans l'exposant multiplie le nombre par 1010, et un coefficient ne peut jamais compenser cela : même 9,99×1059{,}99 \times 10^5 est inférieur à 1×1061 \times 10^6.
Les exposants négatifs suivent la même règle, tu les compares simplement comme des nombres négatifs : −3>−5-3 > -5, donc 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5} (0,001>0,000010{,}001 > 0{,}00001).
Combien de fois plus grand ? Quand les coefficients sont égaux, divise les puissances de dix en soustrayant les exposants :
108105=108−5=103=1000\frac{10^8}{10^5} = 10^{8-5} = 10^3 = 1000
Chaque différence de 11 dans l'exposant correspond à un ordre de grandeur (un facteur 1010).

Essaie tout de suite

Quel nombre est le plus grand : 8,9×1068{,}9 \times 10^6 ou 5,2×1075{,}2 \times 10^7 ?

Exemples résolus

Lequel est le plus grand : 3,1×1063{,}1 \times 10^6 ou 9,8×1059{,}8 \times 10^5 ?
1

Vérifie que les deux sont normalisés

Les deux coefficients, 3,13{,}1 et 9,89{,}8, sont entre 11 et 1010 → Prêt à comparer
2

Compare les exposants

6>56 > 5 → 10610^6 vaut dix fois 10510^5
3

Conclus (les coefficients ne comptent pas ici)

3,1×106=3 100 0003{,}1 \times 10^6 = 3\,100\,000 et 9,8×105=980 0009{,}8 \times 10^5 = 980\,000 → 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5

Erreurs courantes

Comparer d'abord les coefficients : croire que 9,8×105>3,1×1069{,}8 \times 10^5 > 3{,}1 \times 10^6 car 9,8>3,19{,}8 > 3{,}1

Pourquoi c'est faux: C'est la puissance de dix qui fixe la taille. 10610^6 vaut dix fois 10510^5, et aucun coefficient inférieur à 1010 ne peut compenser cela.

Correct: Compare d'abord les exposants : 6>56 > 5, donc 3,1×106>9,8×1053{,}1 \times 10^6 > 9{,}8 \times 10^5. Ne regarde les coefficients que si les exposants sont égaux.

Comparer sans normaliser : croire que 45×103>4,6×10445 \times 10^3 > 4{,}6 \times 10^4 car 45>4,645 > 4{,}6

Pourquoi c'est faux: 45×10345 \times 10^3 n'est pas en notation scientifique, donc son exposant ne dit pas sa vraie taille.

Correct: Normalise d'abord : 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4. Ensuite 4,5<4,64{,}5 < 4{,}6, donc 45×103<4,6×10445 \times 10^3 < 4{,}6 \times 10^4.

Croire que 10−5>10−310^{-5} > 10^{-3} car 5>35 > 3

Pourquoi c'est faux: Les exposants négatifs se comparent comme des nombres négatifs : −5-5 est inférieur à −3-3.

Correct: 10−5=0,0000110^{-5} = 0{,}00001 et 10−3=0,00110^{-3} = 0{,}001, donc 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5}. L'exposant le plus proche de zéro l'emporte.

Croire que 10610^6 est le double de 10310^3, ou 33 de plus que 10310^3

Pourquoi c'est faux: Les exposants diffèrent de 33, mais chaque cran dans l'exposant multiplie par 1010, il n'ajoute rien.

Correct: 106103=106−3=103\frac{10^6}{10^3} = 10^{6-3} = 10^3, donc 10610^6 vaut 10001000 fois 10310^3.

Visuel interactif

Lequel est le plus grand ? Normalise d'abord, puis compare les exposants, puis les coefficients

Comparer
45×10345 \times 10^{3}?4,6×1044{,}6 \times 10^{4}

Quel signe va dans la case ?

10⁴10⁵10⁶AB
Puissances de 10 : chaque pas vers la droite est 10 fois plus grand.

Tailles dans l'univers : touche de la plus petite à la plus grande (mètres)

Comparer

Touche les nombres du plus petit au plus grand.

Certains ne sont pas encore en notation scientifique : normalise-les d'abord.

10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²BDAC
Puissances de 10 : chaque pas vers la droite est 10 fois plus grand.

Pour se faire une idée

10⁻⁵10⁻³10⁻¹10¹10³10⁵10⁷10⁹1234
Puissances de 10 : chaque pas vers la droite est 10 fois plus grand.
1virus (m):1×10−71 \times 10^{-7}= 0,0000001
2cheveu, épaisseur (m):8×10−58 \times 10^{-5}= 0,00008
3mont Everest, altitude (m):8,85×1038{,}85 \times 10^{3}= 8850
4Terre-Lune (m):3,84×1083{,}84 \times 10^{8}= 384000000

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quel nombre est le plus grand : 8,9×1068{,}9 \times 10^6 ou 5,2×1075{,}2 \times 10^7 ?

Pourquoi c'est important

Les sciences sont pleines de nombres trop grands ou trop petits pour être comparés à l'œil :
  • Espace : la Terre mesure environ 1,27×1071{,}27 \times 10^7 m de diamètre, alors que la distance Terre-Soleil est d'environ 1,5×10111{,}5 \times 10^{11} m. Les exposants te disent tout de suite que la distance est environ 10410^4 (dix mille) fois plus grande.
  • Biologie : un globule rouge (7×10−67 \times 10^{-6} m) est bien plus grand qu'un atome d'hydrogène (1×10−101 \times 10^{-10} m), car −6>−10-6 > -10.
  • Informatique : un téraoctet (101210^{12} octets) contient 10001000 fois plus qu'un gigaoctet (10910^9 octets).
  • Médecine : des doses et des concentrations comme 5×10−45 \times 10^{-4} g ou 8×10−68 \times 10^{-6} g ne doivent jamais être confondues.
Comparer d'abord les exposants est rapide et sûr. Compter les zéros de 0,00000700{,}0000070 et de 0,000000010{,}00000001 est lent et source d'erreurs.

Applications dans le monde réel

Biologie : bactéries et virus

Les microbiologistes comparent de minuscules longueurs écrites avec des exposants négatifs pour choisir le bon microscope.

Exemple:

Un microscope optique montre des objets jusqu'à environ 2×10−72 \times 10^{-7} m. Une bactérie de 2×10−62 \times 10^{-6} m est plus grande (−6>−7-6 > -7), on peut donc la voir. La plupart des virus sont plus petits et demandent un microscope électronique.

1Essaie par toi-même

Une bactérie mesure 2×10−62 \times 10^{-6} m de long. Un virus mesure 1×10−71 \times 10^{-7} m de diamètre.

Combien de fois la bactérie est-elle plus longue que le virus ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compare les puissances de dix, puis tiens compte des coefficients :

Informatique : tailles de stockage

Le stockage se mesure en octets : un gigaoctet vaut $10^9$ octets et un téraoctet $10^{12}$ octets. Comparer les exposants te dit combien de fichiers tiennent.

Exemple:

Une photo de 3×1063 \times 10^6 octets est bien plus petite qu'une vidéo de 3×1093 \times 10^9 octets : même coefficient, et les exposants diffèrent de 33, donc la vidéo est 10001000 fois plus grande.

2Essaie par toi-même

Un disque dur contient 2×10122 \times 10^{12} octets. Un fichier de film fait 2×1092 \times 10^9 octets.

Combien de films tiennent sur le disque ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Les coefficients sont égaux, compare donc seulement les puissances de dix :

Physique : longueurs d'onde des lasers

Les longueurs d'onde de la lumière sont minuscules et souvent écrites sous des formes différentes, par exemple en nanomètres ($10^{-9}$ m). Pour les comparer, normalise d'abord.

Exemple:

La lumière bleue a une longueur d'onde d'environ 4,5×10−74{,}5 \times 10^{-7} m et la lumière rouge d'environ 7×10−77 \times 10^{-7} m. Même exposant, donc 7>4,57 > 4{,}5 montre que la lumière rouge a la plus grande longueur d'onde.

3Essaie par toi-même

Une fiche de laboratoire indique un laser rouge à 650×10−9650 \times 10^{-9} m et un laser vert à 5,3×10−75{,}3 \times 10^{-7} m.

Quel laser a la plus grande longueur d'onde ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Normalise 650×10−9650 \times 10^{-9}, puis compare :

Points clés

  • 1Normalise d'abord : chaque coefficient doit vérifier 1≤a<101 \le a < 10 (par exemple 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4)
  • 2Compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre
  • 3Seulement si les exposants sont égaux, compare les coefficients
  • 4Les exposants négatifs se comparent comme des nombres négatifs : 10−3>10−510^{-3} > 10^{-5} car −3>−5-3 > -5
  • 5Pour ranger une liste, trie selon l'exposant, puis selon le coefficient à exposant égal
  • 6À coefficients égaux, 10m10^m vaut 10m−n10^{m-n} fois 10n10^n : chaque cran de l'exposant est un ordre de grandeur

Questions fréquentes

Un coefficient normalisé est toujours inférieur à 1010, alors qu'un cran de plus dans l'exposant multiplie par 1010. Ainsi 9,99×105=999 0009{,}99 \times 10^5 = 999\,000 reste inférieur à 1×106=1 000 0001 \times 10^6 = 1\,000\,000.
Un coefficient normalisé est toujours inférieur à 1010, alors qu'un cran de plus dans l'exposant multiplie par 1010. Ainsi 9,99×105=999 0009{,}99 \times 10^5 = 999\,000 reste inférieur à 1×106=1 000 0001 \times 10^6 = 1\,000\,000.
Normalise-le avant de comparer. Déplace la virgule jusqu'à ce que le coefficient soit entre 11 et 1010 et ajuste l'exposant : 0,8×105=8×1040{,}8 \times 10^5 = 8 \times 10^4, 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4.
Oui, pour des nombres positifs. Un nombre normalisé avec un exposant négatif est inférieur à 11 (par exemple 9,9×10−1=0,999{,}9 \times 10^{-1} = 0{,}99), et un nombre avec un exposant 00 ou plus vaut au moins 11.
Cela veut dire environ 102=10010^2 = 100 fois plus grand. L'ordre de grandeur correspond à peu près à l'exposant, donc une différence de 22 entre les exposants signifie un facteur d'environ 100100.

Glossaire

Notation scientifique
Un nombre écrit sous la forme a×10na \times 10^n avec 1≤a<101 \le a < 10 et nn un entier relatif
Coefficient
Le nombre aa devant la puissance de dix (aussi appelé mantisse), par exemple 4,64{,}6 dans 4,6×1044{,}6 \times 10^4
Exposant
La puissance nn dans 10n10^n ; c'est elle qu'on compare en premier
Normaliser
Réécrire un nombre pour que son coefficient soit entre 11 et 1010 : 45×103=4,5×10445 \times 10^3 = 4{,}5 \times 10^4
Ordre de grandeur
Un facteur 1010 ; des nombres dont les exposants diffèrent de 33 diffèrent d'environ trois ordres de grandeur (10310^3)

Carte des formules

Ordre de comparaison

normaliser→exposants→coefficients\text{normaliser} \rightarrow \text{exposants} \rightarrow \text{coefficients}

Vérifie que $1 \le a < 10$, compare les exposants, et ne compare les coefficients que si les exposants sont égaux.

Combien de fois plus grand

10m10n=10m−n\frac{10^m}{10^n} = 10^{m-n}

À coefficients égaux, le plus grand nombre vaut $10^{m-n}$ fois le plus petit.

Défi du jourUn problème, trois essais

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