Un exposant positif

Écris $4{,}5 \times 10^6$ sous forme décimale.

Lis l'exposant: $n = 6$ est positif, donc la virgule se déplace de $6$ rangs vers la droite = 6 rangs vers la droite

Utilise les chiffres que tu as: $4{,}5$ a un chiffre après la virgule, le premier saut utilise le $5$ : $45$ = 1 rang utilisé, il en reste 5

Ajoute les zéros de remplissage: Les $5$ autres rangs deviennent des zéros : $45\,\underline{00000}$ = $4\,500\,000$

Vérifie l'ordre de grandeur: $10^6$ vaut un million, et $4{,}5$ millions font $4\,500\,000$ = C'est cohérent

Answer: $4{,}5 \times 10^6 = 4\,500\,000$

Un exposant négatif

Écris $3{,}2 \times 10^{-4}$ sous forme décimale.

Lis l'exposant: $n = -4$ est négatif, donc la virgule se déplace de $4$ rangs vers la gauche = 4 rangs vers la gauche

Déplace la virgule rang par rang: $3{,}2 \to 0{,}32 \to 0{,}032 \to 0{,}0032 \to 0{,}00032$ = $0{,}00032$

Compte les zéros de remplissage: Entre la virgule et le $3$, il y a $4 - 1 = 3$ zéros = 3 zéros

Vérifie l'ordre de grandeur: Un exposant négatif donne un nombre positif plus petit que $1$ = $0{,}00032$ est entre $0$ et $1$

Answer: $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032$

L'exposant zéro

Écris $7{,}25 \times 10^0$ sous forme décimale.

Lis l'exposant: $n = 0$, et $10^0 = 1$ = On multiplie par 1

Déplace la virgule de zéro rang: $7{,}25 \times 1 = 7{,}25$ = $7{,}25$

Answer: $7{,}25 \times 10^0 = 7{,}25$ : le nombre ne change pas

La distance de la Terre au Soleil

La distance moyenne de la Terre au Soleil est de $1{,}496 \times 10^8$ km. Écris-la sous forme décimale.

Lis l'exposant: $n = 8$, donc la virgule se déplace de $8$ rangs vers la droite = 8 rangs vers la droite

Utilise les chiffres après la virgule: $1{,}496$ a $3$ chiffres après la virgule : $1496$ = 3 rangs utilisés

Ajoute les zéros manquants: $8 - 3 = 5$ zéros : $1496\,\underline{00000}$ = $149\,600\,000$

Lis le nombre à voix haute: Cent quarante-neuf millions six cent mille = $149\,600\,000$ km

Answer: $1{,}496 \times 10^8$ km $= 149\,600\,000$ km

Lire l'écran d'une calculatrice

Une calculatrice affiche 6.02E23. Quel est ce nombre ?

Traduis le E: E23 signifie $\times 10^{23}$ = $6{,}02 \times 10^{23}$

Lis l'exposant: $n = 23$, la virgule se déplace de $23$ rangs vers la droite = 23 rangs vers la droite

Compte les zéros: $6{,}02$ a $2$ chiffres après la virgule, donc $23 - 2 = 21$ zéros suivent $602$ = 21 zéros

Écris le nombre en entier: $602$ suivi de $21$ zéros, soit $24$ chiffres au total = $602\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$

Answer: $6{,}02 \times 10^{23} = 602\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ (le nombre d'Avogadro)

Mistake: Déplacer la virgule vers la droite avec un exposant négatif : $3{,}2 \times 10^{-4} = 32\,000$

Why: Un exposant négatif signifie qu'on divise par $10$ plusieurs fois : le nombre devient plus petit, pas plus grand.

Correct: Exposant négatif, virgule vers la gauche : $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032$

Mistake: Ajouter $n$ zéros à la fin : $4{,}5 \times 10^6 = 45\,000\,000$

Why: L'exposant compte les rangs dont la virgule se déplace, pas les zéros à écrire. Le chiffre $5$ occupe déjà un des $6$ rangs.

Correct: Il ne faut que $6 - 1 = 5$ zéros : $4{,}5 \times 10^6 = 4\,500\,000$

Mistake: Écrire $n$ zéros après la virgule : $3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}000032$

Why: Le premier saut vers la gauche place la virgule devant le $3$ sans ajouter de zéro. Il y a donc un zéro de trop.

Correct: Avec un seul chiffre avant la virgule, il y a $|n| - 1$ zéros après la virgule : $0{,}00032$ (3 zéros)

Mistake: Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : $5 \times 10^{-3} = -5000$

Why: Le signe de l'exposant agit sur la taille du nombre. Seul un signe moins devant le coefficient rend le nombre négatif.

Correct: $5 \times 10^{-3} = 0{,}005$ (positif), alors que $-5 \times 10^{3} = -5000$

Astronomie

Les astronomes écrivent les distances en notation scientifique, mais les cartes, les livres et les journaux les donnent souvent en entier.

La lumière parcourt environ $3 \times 10^5$ km chaque seconde, soit $300\,000$ km par seconde.

Biologie et médecine

Les cellules, les bactéries et les virus se mesurent en minuscules fractions de mètre, donc les résultats de laboratoire utilisent souvent des exposants négatifs.

Une bactérie d'environ $2 \times 10^{-6}$ m de long mesure $0{,}000002$ m, soit deux millionièmes de mètre.

Calculatrices et tableurs

Quand un résultat a trop de chiffres pour l'écran, les calculatrices et les tableurs passent à l'affichage E : 4.54E9 signifie $4{,}54 \times 10^9$.

Une cellule de tableur qui affiche 2,5E-4 contient le nombre $0{,}00025$.

Q: Combien de zéros dois-je écrire avec un exposant positif ?

A: Soustrais de l'exposant le nombre de chiffres après la virgule du coefficient. Pour $1{,}496 \times 10^8$ : $8 - 3 = 5$ zéros, donc $149\,600\,000$.

Q: Combien de zéros y a-t-il après la virgule avec un exposant négatif ?

A: Si le coefficient est entre $1$ et $10$, il y a $|n| - 1$ zéros entre la virgule et le premier chiffre. Pour $7 \times 10^{-6}$ : $5$ zéros, donc $0{,}000007$.

Q: Un exposant négatif peut-il donner un nombre négatif ?

A: Non. $10^{-n}$ est toujours positif. Un nombre n'est négatif que si le coefficient porte un signe moins, comme $-2{,}5 \times 10^{-3} = -0{,}0025$.

Q: Que signifie le E sur ma calculatrice ?

A: E veut dire "exposant" et signifie $\times 10^{\square}$. Ainsi 3.1E-5 vaut $3{,}1 \times 10^{-5} = 0{,}000031$. Cela n'a rien à voir avec le nombre $e \approx 2{,}718$.