Passer de la notation scientifique à l'écriture décimale

Apprends à réécrire un nombre comme 3,2 × 10⁻⁴ sous forme décimale ordinaire en déplaçant la virgule et en ajoutant des zéros.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Dans la leçon précédente, tu as écrit des nombres en notation scientifique. Maintenant, on fait le chemin inverse : de a×10na \times 10^n vers le nombre ordinaire, c'est-à-dire son écriture décimale.
L'exposant nn indique de combien de rangs déplacer la virgule du coefficient aa (parfois appelé mantisse) :
  • n>0n > 0 : on déplace la virgule de nn rangs vers la droite (le nombre devient plus grand)
  • n<0n < 0 : on la déplace de ∣n∣|n| rangs vers la gauche (le nombre devient plus petit, mais reste positif)
  • n=0n = 0 : on ne la déplace pas, car 100=110^0 = 1
Quand il n'y a plus de chiffres, on remplit les rangs vides avec des zéros de remplissage :
4,5×106=4 500 0003,2×10−4=0,000324{,}5 \times 10^6 = 4\,500\,000 \qquad 3{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032

Essaie tout de suite

Combien vaut 5×1035 \times 10^3 en écriture décimale ?

Exemples résolus

Écris 4,5×1064{,}5 \times 10^6 sous forme décimale.
1

Lis l'exposant

n=6n = 6 est positif, donc la virgule se déplace de 66 rangs vers la droite
2

Utilise les chiffres que tu as

4,54{,}5 a un chiffre après la virgule, le premier saut utilise le 55 : 4545 → 1 rang utilisé, il en reste 5
3

Ajoute les zéros de remplissage

Les 55 autres rangs deviennent des zéros : 45 00000‾45\,\underline{00000} → 4 500 0004\,500\,000
4

Vérifie l'ordre de grandeur

10610^6 vaut un million, et 4,54{,}5 millions font 4 500 0004\,500\,000 → C'est cohérent

Erreurs courantes

Déplacer la virgule vers la droite avec un exposant négatif : 3,2×10−4=32 0003{,}2 \times 10^{-4} = 32\,000

Pourquoi c'est faux: Un exposant négatif signifie qu'on divise par 1010 plusieurs fois : le nombre devient plus petit, pas plus grand.

Correct: Exposant négatif, virgule vers la gauche : 3,2×10−4=0,000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032

Ajouter nn zéros à la fin : 4,5×106=45 000 0004{,}5 \times 10^6 = 45\,000\,000

Pourquoi c'est faux: L'exposant compte les rangs dont la virgule se déplace, pas les zéros à écrire. Le chiffre 55 occupe déjà un des 66 rangs.

Correct: Il ne faut que 6−1=56 - 1 = 5 zéros : 4,5×106=4 500 0004{,}5 \times 10^6 = 4\,500\,000

Écrire nn zéros après la virgule : 3,2×10−4=0,0000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}000032

Pourquoi c'est faux: Le premier saut vers la gauche place la virgule devant le 33 sans ajouter de zéro. Il y a donc un zéro de trop.

Correct: Avec un seul chiffre avant la virgule, il y a ∣n∣−1|n| - 1 zéros après la virgule : 0,000320{,}00032 (3 zéros)

Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 5×10−3=−50005 \times 10^{-3} = -5000

Pourquoi c'est faux: Le signe de l'exposant agit sur la taille du nombre. Seul un signe moins devant le coefficient rend le nombre négatif.

Correct: 5×10−3=0,0055 \times 10^{-3} = 0{,}005 (positif), alors que −5×103=−5000-5 \times 10^{3} = -5000

Visuel interactif

Déplace la virgule : de la notation scientifique à l'écriture décimale

De la notation scientifique à l'écriture décimale

Déplace la virgule avec les boutons ou fais-la glisser. Les chiffres restent à leur place.

45,
4,5×1064{,}5 \times 10^{6}

Chaque saut de la virgule change l'exposant de 1. La valeur ne change pas.

L'exposant est supérieur à 0 : déplace la virgule vers la droite jusqu'à 0.

Les zéros orange sont des zéros de position : ils gardent les chiffres à leur rang.

Pour se faire une idée

10⁻²10⁰10²10⁴10⁶10⁸10¹⁰10¹²45321
Puissances de 10 : chaque pas vers la droite est 10 fois plus grand.
1Terre-Soleil (m):1,496×10111{,}496 \times 10^{11}= 149600000000
2habitants de la Terre (environ):8×1098 \times 10^{9}= 8000000000
3mont Everest (m):8,849×1038{,}849 \times 10^{3}= 8849
4globule rouge (m):7×10−67 \times 10^{-6}= 0,000007
5atome d'hydrogène (m):1,06×10−101{,}06 \times 10^{-10}= 0,000000000106

Tableau de valeur de position

Entrer un nombre:

0,00032

Notation scientifique: 3,2 × 10⁻⁴

Unités
1
Dixièmes
0,1
Centièmes
0,01
Millièmes
0,001
Dix-millièmes
0,0001
Cent-millièmes
0,00001
000032

Forme développée:

3 × 0,0001 + 2 × 0,00001

Clique sur une valeur de position pour la mettre en évidence et voir sa valeur.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Combien vaut 5×1035 \times 10^3 en écriture décimale ?

Pourquoi c'est important

La notation scientifique est compacte, mais pour se représenter une grandeur ou l'utiliser, on a souvent besoin du nombre écrit en entier :
  • Espace : le Soleil est à 1,496×1081{,}496 \times 10^8 km, soit 149 600 000149\,600\,000 km
  • Biologie : un globule rouge mesure 7×10−67 \times 10^{-6} m de large, soit 0,0000070{,}000007 m
  • Calculatrices et tableurs affichent les résultats très grands ou très petits sous la forme 6.02E23 ou 2.5E-7. Le E signifie "fois dix puissance", et tu dois savoir le retraduire
  • Articles scientifiques et actualités mélangent les deux écritures, et il faut souvent comparer une valeur en notation scientifique avec une valeur écrite en entier
Quand tu sais convertir dans les deux sens, aucun nombre n'est trop grand ni trop petit pour être compris.

Applications dans le monde réel

Astronomie

Les astronomes écrivent les distances en notation scientifique, mais les cartes, les livres et les journaux les donnent souvent en entier.

Exemple:

La lumière parcourt environ 3×1053 \times 10^5 km chaque seconde, soit 300 000300\,000 km par seconde.

1Essaie par toi-même

La distance moyenne de la Terre à la Lune est de 3,844×1053{,}844 \times 10^5 km.

Écris cette distance en kilomètres sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Tape la distance en km sous forme décimale :

Biologie et médecine

Les cellules, les bactéries et les virus se mesurent en minuscules fractions de mètre, donc les résultats de laboratoire utilisent souvent des exposants négatifs.

Exemple:

Une bactérie d'environ 2×10−62 \times 10^{-6} m de long mesure 0,0000020{,}000002 m, soit deux millionièmes de mètre.

2Essaie par toi-même

Un virus de la grippe a un diamètre d'environ 1,2×10−71{,}2 \times 10^{-7} m.

Écris ce diamètre en mètres sous forme décimale.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Tape le diamètre en mètres :

Calculatrices et tableurs

Quand un résultat a trop de chiffres pour l'écran, les calculatrices et les tableurs passent à l'affichage E : 4.54E9 signifie $4{,}54 \times 10^9$.

Exemple:

Une cellule de tableur qui affiche 2,5E-4 contient le nombre 0,000250{,}00025.

3Essaie par toi-même

Une calculatrice affiche 4.54E9 pour l'âge de la Terre en années.

Combien d'années cela fait-il, sous forme décimale ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Tape le nombre d'années :

Points clés

  • 1Pour écrire a×10na \times 10^n sous forme décimale, on déplace la virgule de aa de ∣n∣|n| rangs
  • 2Exposant positif : virgule vers la droite, le nombre vaut 1010 ou plus
  • 3Exposant négatif : virgule vers la gauche, le nombre est entre 00 et 11 (et reste positif)
  • 4Exposant 00 : le nombre ne change pas, car 100=110^0 = 1
  • 5Chaque rang vide reçoit un zéro de remplissage : 3,2×10−4=0,000323{,}2 \times 10^{-4} = 0{,}00032
  • 6L'affichage E de la calculatrice est une notation scientifique : 6.02E23 =6,02×1023= 6{,}02 \times 10^{23}

Questions fréquentes

Soustrais de l'exposant le nombre de chiffres après la virgule du coefficient. Pour 1,496×1081{,}496 \times 10^8 : 8−3=58 - 3 = 5 zéros, donc 149 600 000149\,600\,000.
Soustrais de l'exposant le nombre de chiffres après la virgule du coefficient. Pour 1,496×1081{,}496 \times 10^8 : 8−3=58 - 3 = 5 zéros, donc 149 600 000149\,600\,000.
Si le coefficient est entre 11 et 1010, il y a ∣n∣−1|n| - 1 zéros entre la virgule et le premier chiffre. Pour 7×10−67 \times 10^{-6} : 55 zéros, donc 0,0000070{,}000007.
Non. 10−n10^{-n} est toujours positif. Un nombre n'est négatif que si le coefficient porte un signe moins, comme −2,5×10−3=−0,0025-2{,}5 \times 10^{-3} = -0{,}0025.
E veut dire "exposant" et signifie ×10□\times 10^{\square}. Ainsi 3.1E-5 vaut 3,1×10−5=0,0000313{,}1 \times 10^{-5} = 0{,}000031. Cela n'a rien à voir avec le nombre e≈2,718e \approx 2{,}718.

Glossaire

Notation scientifique
Un nombre écrit sous la forme a×10na \times 10^n avec 1≤a<101 \le a < 10 et nn entier relatif
Écriture décimale
La façon ordinaire d'écrire un nombre avec tous ses chiffres, comme 4 500 0004\,500\,000 ou 0,000320{,}00032
Coefficient (mantisse)
Le nombre aa dans a×10na \times 10^n, compris entre 11 et 1010
Exposant
La puissance nn dans 10n10^n : de combien de rangs et dans quel sens la virgule se déplace
Zéro de remplissage
Un zéro écrit seulement pour remplir un rang vide, comme les zéros de 0,000320{,}00032 ou de 4 500 0004\,500\,000
Affichage E
La façon dont les calculatrices et les tableurs montrent la notation scientifique : 2.5E-7 signifie 2,5×10−72{,}5 \times 10^{-7}

Carte des formules

Exposant positif

a×10n, n>0a \times 10^{n},\ n > 0 : virgule de nn rangs vers la droite

Exemple : $2{,}75 \times 10^5 = 275\,000$

Exposant négatif

a×10−na \times 10^{-n} : virgule de nn rangs vers la gauche

Exemple : $8{,}4 \times 10^{-5} = 0{,}000084$ ($n - 1 = 4$ zéros après la virgule)

Exposant zéro

a×100=aa \times 10^{0} = a

Comme $10^0 = 1$, la virgule ne bouge pas

Défi du jourUn problème, trois essais

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