Un produit déjà normalisé

Calcule $(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)$.

Regroupe les coefficients et les puissances de dix: $(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)$ = Deux produits séparés

Multiplie les coefficients: $2 \times 4 = 8$ = $8$

Additionne les exposants: $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ = $10^8$

Vérifie le coefficient: $1 \le 8 < 10$, rien à corriger = $8 \times 10^8$

Answer: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Un produit à normaliser

Calcule $(4 \times 10^3) \times (3 \times 10^5)$.

Multiplie les coefficients: $4 \times 3 = 12$ = $12$

Additionne les exposants: $3 + 5 = 8$ = $12 \times 10^8$

Le coefficient est-il entre 1 et 10 ?: $12 \ge 10$, ce n'est donc pas encore une notation scientifique = Normaliser

Écris $12$ sous la forme $1{,}2 \times 10^1$: $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^1 \times 10^8$ = $1{,}2 \times 10^9$

Answer: $(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 1{,}2 \times 10^9$

Deux exposants négatifs

Calcule $(2 \times 10^{-5}) \times (7 \times 10^{-3})$.

Multiplie les coefficients: $2 \times 7 = 14$ = $14$

Additionne les exposants (avec leurs signes): $-5 + (-3) = -8$ = $14 \times 10^{-8}$

Normalise le coefficient: $14 = 1{,}4 \times 10^1$ = Ajoute $1$ à l'exposant

Rassemble: $-8 + 1 = -7$ = $1{,}4 \times 10^{-7}$

Answer: $(2 \times 10^{-5})(7 \times 10^{-3}) = 1{,}4 \times 10^{-7}$

Un exposant négatif et un exposant positif

Calcule $(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^7)$.

Multiplie les coefficients: $2{,}5 \times 6 = 15$ = $15$

Additionne les exposants: $-4 + 7 = 3$ = $15 \times 10^3$

Normalise: $15 = 1{,}5 \times 10^1$, donc l'exposant devient $3 + 1 = 4$ = $1{,}5 \times 10^4$

Vérifie en écriture décimale: $0{,}00025 \times 60\,000\,000 = 15\,000$ = $1{,}5 \times 10^4 = 15\,000$

Answer: $(2{,}5 \times 10^{-4})(6 \times 10^7) = 1{,}5 \times 10^4$

Élever à une puissance

Calcule $(5 \times 10^3)^3$.

Élève chaque facteur à la puissance: $(5 \times 10^3)^3 = 5^3 \times (10^3)^3$ = Puissance d'un produit

Élève le coefficient au cube: $5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ = $125$

Multiplie les exposants (puissance d'une puissance): $(10^3)^3 = 10^{3 \times 3} = 10^9$ = $125 \times 10^9$

Normalise: $125 = 1{,}25 \times 10^2$, donc l'exposant devient $9 + 2 = 11$ = $1{,}25 \times 10^{11}$

Answer: $(5 \times 10^3)^3 = 1{,}25 \times 10^{11}$. Avec une puissance, le coefficient peut atteindre $100$ ou plus : il faut alors parfois déplacer la virgule de deux rangs.

Mistake: Multiplier les exposants : $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Why: Quand tu multiplies des puissances de même base, tu comptes les facteurs $10$ : trois dix et cinq dix font huit dix, pas quinze.

Correct: Additionne les exposants : $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$. On multiplie les exposants seulement pour une puissance d'une puissance, comme $(10^3)^2 = 10^6$.

Mistake: S'arrêter à $12 \times 10^8$

Why: La valeur est juste, mais $12$ n'est pas compris entre $1$ et $10$, donc le résultat n'est pas encore en notation scientifique.

Correct: Normalise : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Normaliser dans le mauvais sens : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Why: Si le coefficient devient $10$ fois plus petit, la puissance de dix doit devenir $10$ fois plus grande, sinon la valeur change.

Correct: Coefficient plus petit, exposant plus grand : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$.

Mistake: Perdre le signe moins : $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ ou $10^{11}$

Why: Les exposants sont des nombres relatifs, et leur addition suit les règles des entiers relatifs.

Correct: $-4 + 7 = 3$, donc $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$. Quand les signes sont mélangés, écris l'addition avec des parenthèses : $(-4) + 7$.

Astronomie : quelle est la longueur d'une année-lumière ?

Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en un an. Les astronomes l'obtiennent en multipliant la vitesse de la lumière par la durée, toutes deux écrites en notation scientifique.

En $500 = 5 \times 10^2$ secondes, la lumière parcourt $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km, à peu près la distance du Soleil à la Terre.

Biologie : compter des bactéries

Les microbiologistes comptent les bactéries dans un petit échantillon puis multiplient par le volume pour estimer le total. Les nombres grandissent si vite qu'on ne peut pratiquement les écrire qu'en notation scientifique.

Une goutte de $5 \times 10^{-2}$ mL prise dans une culture à $2 \times 10^6$ bactéries par mL contient $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ bactéries.

Informatique : remplir une carte mémoire

La taille des fichiers et la capacité de stockage se mesurent en octets, et les nombres atteignent vite les milliards. Les ingénieurs multiplient la taille d'un fichier par le nombre de fichiers pour prévoir la mémoire d'un appareil.

$2 \times 10^3$ chansons de $4 \times 10^6$ octets chacune occupent $8 \times 10^9$ octets, soit 8 gigaoctets.

Q: Pourquoi additionne-t-on les exposants au lieu de les multiplier ?

A: Un exposant compte combien de facteurs $10$ sont multipliés. $10^3 \times 10^5$, c'est trois dix fois cinq dix, donc $3 + 5 = 8$ dix à la suite : $10^8$.

Q: Je ne peux pas simplement écrire les nombres en entier et les multiplier ?

A: Si, la valeur est la même. Mais avec $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$, tu devrais multiplier $300\,000$ par $31\,500\,000$ et compter beaucoup de zéros. En notation scientifique, tu calcules seulement $3 \times 3{,}15$ et $5 + 7$.

Q: Le produit des coefficients peut-il valoir 100 ou plus ?

A: Pas quand tu multiplies deux nombres en notation scientifique : les deux coefficients sont inférieurs à $10$, donc le produit est inférieur à $10 \times 10 = 100$. Tu déplaces la virgule d'un rang au plus. Avec des puissances ou trois facteurs ou plus, il peut être plus grand, alors vérifie toujours.

Q: Ma calculatrice affiche 1.2E9. Qu'est-ce que cela veut dire ?

A: Les calculatrices écrivent la notation scientifique avec un E : $1{,}2\text{E}9$ signifie $1{,}2 \times 10^9$. Le nombre après le E est l'exposant.