Je ne peux pas simplement écrire les nombres en entier et les multiplier ?

Si, la valeur est la même. Mais avec $3 \times 10^5 \times 3{,}15 \times 10^7$, tu devrais multiplier $300\,000$ par $31\,500\,000$ et compter beaucoup de zéros. En notation scientifique, tu calcules seulement $3 \times 3{,}15$ et $5 + 7$.

Le produit des coefficients peut-il valoir 100 ou plus ?

Pas quand tu multiplies deux nombres en notation scientifique : les deux coefficients sont inférieurs à $10$, donc le produit est inférieur à $10 \times 10 = 100$. Tu déplaces la virgule d'un rang au plus. Avec des puissances ou trois facteurs ou plus, il peut être plus grand, alors vérifie toujours.

Ma calculatrice affiche 1.2E9. Qu'est-ce que cela veut dire ?

Les calculatrices écrivent la notation scientifique avec un E : $1{,}2\text{E}9$ signifie $1{,}2 \times 10^9$. Le nombre après le E est l'exposant.

Ressources enseignants

Multiplier en notation scientifique

Q: Pourquoi additionne-t-on les exposants au lieu de les multiplier ?

Un exposant compte combien de facteurs $10$ sont multipliés. $10^3 \times 10^5$, c'est trois dix fois cinq dix, donc $3 + 5 = 8$ dix à la suite : $10^8$.

Apprends à multiplier des nombres en notation scientifique : multiplie les coefficients, additionne les exposants et normalise le résultat.

Avancé25 minLeçon

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, tu traites séparément les deux parties : les coefficients et les puissances de dix.

(a \times 10^m) \times (b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

La règle se fait en trois étapes :

1.Multiplier les coefficients : $a \times b$
2.Additionner les exposants (règle $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$ )
3.Normaliser : si $a \times b$ vaut $10$ ou plus, déplace la virgule d'un rang vers la gauche et ajoute $1$ à l'exposant

Exemple :

(4 \times 10^3)(3 \times 10^5) = 12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Comme les deux coefficients sont compris entre

1

10

, leur produit est toujours compris entre

1

100

. Tu ne dois donc jamais déplacer la virgule de plus d'un rang.

Essaie tout de suite

Quel est le produit

(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)

Exemples résolus

Calcule

(2 \times 10^3) \times (4 \times 10^5)

Regroupe les coefficients et les puissances de dix

(2 \times 4) \times (10^3 \times 10^5)

→ Deux produits séparés

Multiplie les coefficients

2 \times 4 = 8

Additionne les exposants

10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8

Vérifie le coefficient

1 \le 8 < 10

, rien à corriger →

8 \times 10^8

Réponse: $(2 \times 10^3)(4 \times 10^5) = 8 \times 10^8$

Erreurs courantes

Multiplier les exposants : $10^3 \times 10^5 = 10^{15}$

Pourquoi c'est faux: Quand tu multiplies des puissances de même base, tu comptes les facteurs $10$ : trois dix et cinq dix font huit dix, pas quinze.

Correct: Additionne les exposants : $10^3 \times 10^5 = 10^{3+5} = 10^8$ . On multiplie les exposants seulement pour une puissance d'une puissance, comme $(10^3)^2 = 10^6$ .

S'arrêter à $12 \times 10^8$

Pourquoi c'est faux: La valeur est juste, mais $12$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ , donc le résultat n'est pas encore en notation scientifique.

Correct: Normalise : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$ .

Normaliser dans le mauvais sens : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^7$

Pourquoi c'est faux: Si le coefficient devient $10$ fois plus petit, la puissance de dix doit devenir $10$ fois plus grande, sinon la valeur change.

Correct: Coefficient plus petit, exposant plus grand : $12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9$ .

Perdre le signe moins : $10^{-4} \times 10^7 = 10^{-11}$ ou $10^{11}$

Pourquoi c'est faux: Les exposants sont des nombres relatifs, et leur addition suit les règles des entiers relatifs.

Correct: $-4 + 7 = 3$ , donc $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$ . Quand les signes sont mélangés, écris l'addition avec des parenthèses : $(-4) + 7$ .

Visuel interactif

Multiplie étape par étape : 12 × 10^8 doit encore être normalisé

Multiplier

(4 \times 10^{3}) \times (3 \times 10^{5})

1Regroupe les mantisses et les puissances de 10.
$(4 \times 3) \times (10^{3} \times 10^{5})$

Multiplie les mantisses. Que trouves-tu ?

Les puissances comme produits de facteurs

Produit de puissances

Même base, on multiplie : on additionne les exposants.

10^{3} \cdot 10^{5}

Écrire chaque puissance comme un produit de facteurs égaux

10

10

10

10^{3}

3 facteurs

10

10

10

10

10

10^{5}

5 facteurs

3 + 5 = 8 facteurs en tout

Résultat

\displaystyle 10^{3} \cdot 10^{5}

=

\displaystyle 10^{3 + 5}

=

\displaystyle 10^{8}

Valeur: $10^{8} = 100000000$

À toi : change les nombres avec les curseurs ou essaie de nouveaux nombres

Multiplier

(2{,}5 \times 10^{-4}) \times (6 \times 10^{7})

1Regroupe les mantisses et les puissances de 10.
$(2{,}5 \times 6) \times (10^{-4} \times 10^{7})$

Multiplie les mantisses. Que trouves-tu ?

Mantisse a2,5Exposant m−4Mantisse b6Exposant n7

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel est le produit

(2 \times 10^3)(3 \times 10^4)

Pourquoi c'est important

Les sciences sont pleines de multiplications avec des nombres énormes ou minuscules, et la notation scientifique les transforme en calcul mental rapide :

Astronomie : la lumière parcourt $3 \times 10^5$ km chaque seconde. Multiplié par le nombre de secondes dans une année, cela donne la longueur d'une année-lumière
Biologie : un échantillon contient $4 \times 10^6$ bactéries par millilitre. Combien y en a-t-il dans tout un flacon ?
Informatique : $4 \times 10^4$ photos de $3 \times 10^6$ octets chacune occupent $1{,}2 \times 10^{11}$ octets de mémoire
Chimie : le nombre de molécules multiplié par la masse d'une molécule donne la masse d'un échantillon

Écrire ces nombres en entier oblige à compter des dizaines de zéros, et un seul zéro oublié rend le résultat dix fois trop petit. En notation scientifique, tu multiplies deux petits nombres et tu additionnes deux exposants.

Applications dans le monde réel

Astronomie : quelle est la longueur d'une année-lumière ?

Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en un an. Les astronomes l'obtiennent en multipliant la vitesse de la lumière par la durée, toutes deux écrites en notation scientifique.

Exemple:

En $500 = 5 \times 10^2$ secondes, la lumière parcourt $(3 \times 10^5)(5 \times 10^2) = 15 \times 10^7 = 1{,}5 \times 10^8$ km, à peu près la distance du Soleil à la Terre.

1Essaie par toi-même

La lumière parcourt $3 \times 10^5$ km par seconde. Une année compte environ $3{,}15 \times 10^7$ secondes.

Combien de kilomètres la lumière parcourt-elle en un an ? (distance = vitesse × durée)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la vitesse par la durée :

Biologie : compter des bactéries

Les microbiologistes comptent les bactéries dans un petit échantillon puis multiplient par le volume pour estimer le total. Les nombres grandissent si vite qu'on ne peut pratiquement les écrire qu'en notation scientifique.

Exemple:

Une goutte de $5 \times 10^{-2}$ mL prise dans une culture à $2 \times 10^6$ bactéries par mL contient $(2 \times 10^6)(5 \times 10^{-2}) = 10 \times 10^4 = 1 \times 10^5$ bactéries.

2Essaie par toi-même

Une culture contient $4 \times 10^6$ bactéries par millilitre. Le flacon contient $5 \times 10^2$ mL.

Combien de bactéries y a-t-il dans tout le flacon ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie le nombre de bactéries par mL par le nombre de mL :

Informatique : remplir une carte mémoire

La taille des fichiers et la capacité de stockage se mesurent en octets, et les nombres atteignent vite les milliards. Les ingénieurs multiplient la taille d'un fichier par le nombre de fichiers pour prévoir la mémoire d'un appareil.

Exemple:

$2 \times 10^3$ chansons de $4 \times 10^6$ octets chacune occupent $8 \times 10^9$ octets, soit 8 gigaoctets.

3Essaie par toi-même

Une photo occupe environ $3 \times 10^6$ octets. Un téléphone stocke $4 \times 10^4$ photos.

Combien d'octets les photos occupent-elles au total ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la taille d'une photo par le nombre de photos :

Points clés

1Pour multiplier en notation scientifique, multiplie séparément les coefficients et les puissances de dix
2On multiplie des puissances de dix en additionnant les exposants : $10^m \times 10^n = 10^{m+n}$
3Si le nouveau coefficient vaut $10$ ou plus, normalise : virgule d'un rang vers la gauche, exposant plus $1$
4Avec des exposants négatifs, additionne soigneusement les nombres relatifs : $10^{-4} \times 10^7 = 10^3$
5Une puissance agit sur les deux parties : $(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}$
6Vérifie ton résultat : le coefficient doit vérifier $1 \le a < 10$

Questions fréquentes

Un exposant compte combien de facteurs

10

sont multipliés.

10^3 \times 10^5

, c'est trois dix fois cinq dix, donc

3 + 5 = 8

dix à la suite :

10^8

Glossaire

Notation scientifique: Un nombre écrit sous la forme $a \times 10^n$ avec $1 \le a < 10$ et $n$ un entier relatif
Coefficient: Le nombre $a$ devant la puissance de dix (aussi appelé mantisse), compris entre $1$ et $10$
Exposant: L'entier $n$ dans $10^n$ ; il indique de combien de rangs la virgule se déplace
Produit de puissances: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ : quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants
Normaliser: Réécrire un résultat comme $12 \times 10^8$ pour que le coefficient soit compris entre $1$ et $10$ : $1{,}2 \times 10^9$

Carte des formules

Multiplier en notation scientifique

(a \times 10^m)(b \times 10^n) = (a \times b) \times 10^{m+n}

Multiplie les coefficients, additionne les exposants.

Normaliser

12 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^9

Coefficient divisé par $10$, exposant plus $1$. La valeur ne change pas.

Puissance d'un nombre en notation scientifique

(a \times 10^m)^k = a^k \times 10^{m \times k}

Élève le coefficient à la puissance, multiplie l'exposant par $k$, puis normalise.

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