Deviner le nombre de bonbons

À la kermesse de l'école, tu estimes qu'un bocal contient 450 bonbons. Il en contient en réalité 500. Quelle est ton erreur relative en pourcentage ?

Calcule l'erreur absolue: $|450 - 500| = |-50| = 50$ = Erreur absolue = 50 bonbons

Divise par la valeur réelle: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ = $0{,}1$

Multiplie par 100: $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$ = $10\,\%$

Answer: Ton erreur relative est de **10 %**.

Température d'ébullition de l'eau

Au niveau de la mer, l'eau bout à $100\ °\text{C}$. Dans l'eau bouillante, le thermomètre A indique $102{,}5\ °\text{C}$ et le thermomètre B indique $97{,}5\ °\text{C}$. Calcule l'erreur relative de chaque thermomètre.

Erreur absolue du thermomètre A: $|102{,}5 - 100| = |2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ de trop

Erreur absolue du thermomètre B: $|97{,}5 - 100| = |-2{,}5| = 2{,}5$ = $2{,}5\ °\text{C}$ de moins

Divise par la valeur réelle et multiplie par 100: $\frac{2{,}5}{100} \times 100\,\% = 2{,}5\,\%$ = $2{,}5\,\%$ pour les deux

Answer: Les deux thermomètres ont une erreur relative de **2,5 %**. L'un indique trop, l'autre pas assez, mais la valeur absolue rend les deux erreurs positives.

Mesurer la pesanteur en TP

Dans une expérience avec un pendule, tu mesures l'accélération de la pesanteur et trouves $9{,}6\ \text{m/s}^2$. La valeur de référence est $9{,}81\ \text{m/s}^2$. Calcule l'erreur relative, arrondie à deux décimales.

Calcule l'erreur absolue: $|9{,}6 - 9{,}81| = |-0{,}21| = 0{,}21$ = $0{,}21\ \text{m/s}^2$

Divise par la valeur réelle (garde tous les chiffres): $\frac{0{,}21}{9{,}81} = 0{,}0214067\ldots$ = $0{,}0214067\ldots$

Multiplie par 100: $0{,}0214067\ldots \times 100\,\% = 2{,}14067\ldots\,\%$ = $2{,}14067\ldots\,\%$

Arrondis seulement à la fin, à deux décimales: La troisième décimale est 0, donc on arrondit vers le bas = $2{,}14\,\%$

Answer: L'erreur relative est d'environ **2,14 %** (arrondie à deux décimales).

Même erreur, erreur relative différente

Mia mesure un crayon de 10 cm et trouve 12 cm. Léo mesure une porte de 200 cm et trouve 202 cm. Les deux se trompent de 2 cm. Quelle mesure est la meilleure ?

Erreurs absolues: Mia : $|12 - 10| = 2$, Léo : $|202 - 200| = 2$ = Les deux se trompent de 2 cm

Erreur relative de Mia: $\frac{2}{10} \times 100\,\% = 20\,\%$ = $20\,\%$

Erreur relative de Léo: $\frac{2}{200} \times 100\,\% = 1\,\%$ = $1\,\%$

Compare: $20\,\% > 1\,\%$, et $20 \div 1 = 20$ = Par rapport à la taille de l'objet, l'erreur de Mia est 20 fois plus grande

Answer: La mesure de **Léo** est bien meilleure : 1 % d'erreur contre 20 % pour Mia. Diviser par la valeur réelle montre la taille de l'erreur par rapport à l'objet mesuré.

Une erreur relative supérieure à 100 %

Sam estime que 300 personnes assistent à un concert. En réalité, il n'y en a que 120. Quelle est l'erreur relative de Sam ?

Calcule l'erreur absolue: $|300 - 120| = 180$ = 180 personnes

Divise par la valeur réelle: $\frac{180}{120} = 1{,}5$ = $1{,}5$

Multiplie par 100: $1{,}5 \times 100\,\% = 150\,\%$ = $150\,\%$

Answer: L'erreur relative de Sam est de **150 %**. Une erreur relative peut dépasser 100 % quand l'estimation est plus du double de la valeur réelle.

Mistake: Diviser par la valeur mesurée au lieu de la valeur réelle : $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Why: L'erreur relative compare ton erreur à la VRAIE taille de la grandeur. La valeur mesurée est justement celle qui peut être fausse, elle ne peut donc pas servir de référence.

Correct: Divise toujours par la valeur réelle (valeur de référence) : $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%$

Mistake: Oublier la valeur absolue et écrire une erreur relative négative, comme $-10\,\%$

Why: L'erreur relative mesure la taille de l'erreur, pas son sens. Avoir 50 de moins, c'est une erreur aussi grande qu'avoir 50 de trop.

Correct: Utilise $|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|$. Pour une estimation de 450 et une valeur réelle de 500 : $|450 - 500| = 50$, erreur relative $10\,\%$.

Mistake: Oublier de multiplier par 100 et donner $0{,}1$ comme erreur relative

Why: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ est un nombre décimal, pas un pourcentage. $0{,}1\,\%$ voudrait dire une erreur 100 fois plus petite.

Correct: Multiplie par 100 : $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$.

Mistake: Arrondir trop tôt, ou ne pas dire à combien de décimales on a arrondi

Why: Si tu arrondis d'abord $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ à $0{,}02$, tu obtiens $2\,\%$ au lieu de $2{,}14\,\%$. Et une réponse comme $2{,}1\,\%$ sans règle d'arrondi ne peut pas être vérifiée.

Correct: Garde tous les chiffres jusqu'à la dernière étape, puis arrondis une seule fois et précise comment : "$2{,}14\,\%$, arrondi à deux décimales".

TP de sciences : masse volumique de l'aluminium

Les scientifiques jugent une expérience en comparant leur résultat à la valeur de référence. Une erreur relative inférieure à environ 5 % est en général un bon résultat de TP au lycée.

Une classe mesure la vitesse du son et trouve $330\ \text{m/s}$. La valeur de référence est $343\ \text{m/s}$, donc l'erreur relative est $\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%$.

Concours d'estimation

Les jeux d'estimation, le comptage d'une foule et les plannings sont tous des estimations. L'erreur relative montre la qualité d'une estimation, quelle que soit la taille des nombres.

Si tu estimes 90 bonbons et qu'il y en a 100, ton erreur relative est $\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%$.

Vérifier une balance de cuisine

Les commerces, les pharmacies et les usines testent leurs balances avec des masses étalons dont la masse est connue exactement. L'erreur relative leur dit si la balance peut encore être utilisée.

Une balance de pharmacie affiche 101 g pour une masse étalon de 100 g : l'erreur relative est $\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%$.

Q: L'erreur relative peut-elle être négative ?

A: Pas avec la formule de cette leçon : la valeur absolue la rend nulle ou positive. Certains professeurs de sciences enlèvent la valeur absolue pour montrer si un résultat était trop haut (+) ou trop bas ($-$). Avec une erreur relative signée, la taille reste la même, on ajoute seulement le sens.

Q: L'erreur relative peut-elle dépasser 100 % ?

A: Oui. Si la valeur réelle est 20 et que tu estimes 50, l'erreur absolue est 30, et $\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%$. Toute estimation supérieure au double de la valeur réelle donne une erreur relative supérieure à 100 %.

Q: Qu'est-ce qu'une bonne erreur relative ?

A: Cela dépend de la tâche. En TP au lycée, moins de 5 % est en général bien et moins de 1 % est excellent. À un jeu d'estimation, moins de 10 % c'est très bien, alors qu'une dose de médicament ou une machine de précision peut exiger moins de 0,1 %.

Q: Quelle est la différence entre erreur relative et variation en pourcentage ?

A: La variation en pourcentage compare une nouvelle valeur à la valeur initiale et garde le signe : $+25\,\%$ est une hausse, $-15\,\%$ une baisse. L'erreur relative compare une mesure à la valeur réelle et utilise la valeur absolue, donc elle n'est jamais négative. Dans les deux cas, on divise par la valeur de référence et on multiplie par 100.