L'erreur relative peut-elle dépasser 100 % ?

Oui. Si la valeur réelle est 20 et que tu estimes 50, l'erreur absolue est 30, et $\frac{30}{20} \times 100\,\% = 150\,\%$. Toute estimation supérieure au double de la valeur réelle donne une erreur relative supérieure à 100 %.

Qu'est-ce qu'une bonne erreur relative ?

Cela dépend de la tâche. En TP au lycée, moins de 5 % est en général bien et moins de 1 % est excellent. À un jeu d'estimation, moins de 10 % c'est très bien, alors qu'une dose de médicament ou une machine de précision peut exiger moins de 0,1 %.

Quelle est la différence entre erreur relative et variation en pourcentage ?

La variation en pourcentage compare une nouvelle valeur à la valeur initiale et garde le signe : $+25\,\%$ est une hausse, $-15\,\%$ une baisse. L'erreur relative compare une mesure à la valeur réelle et utilise la valeur absolue, donc elle n'est jamais négative. Dans les deux cas, on divise par la valeur de référence et on multiplie par 100.

Ressources enseignants

Erreur relative en pourcentage

Apprends à mesurer l'écart entre une mesure ou une estimation et la valeur réelle, exprimé en pourcentage de la valeur réelle.

Avancé25 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

L'erreur relative en pourcentage indique à quelle distance une valeur mesurée ou estimée se trouve de la valeur réelle, exprimée en pourcentage de la valeur réelle.

\text{Erreur relative} = \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%

Le calcul comporte trois parties :

1.Erreur absolue : la distance entre les deux valeurs, $|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|$ . Les barres de valeur absolue la rendent positive, car seule la taille de l'erreur compte.
2.Diviser par la valeur réelle : on compare ainsi l'erreur à la vraie taille de ce que tu as mesuré.
3.Multiplier par 100 : on transforme le nombre décimal en pourcentage.

Exemple : Tu estimes qu'un bocal contient 450 bonbons, mais il en contient réellement 500.

\frac{|450 - 500|}{500} \times 100\,\% = \frac{50}{500} \times 100\,\% = 10\,\%

La valeur réelle s'appelle aussi valeur de référence, valeur vraie ou valeur théorique. La valeur mesurée s'appelle aussi valeur expérimentale ou valeur estimée.

Dans Augmentation et diminution en pourcentage, tu divisais par la valeur initiale et tu gardais le signe (+ pour une hausse,

-

pour une baisse). L'erreur relative est semblable, mais elle divise toujours par la valeur réelle et n'est jamais négative : elle répond seulement à la question "quelle est la taille de l'erreur ?"

Essaie tout de suite

Soit

M

la valeur mesurée et

A

la valeur réelle. Quelle formule donne l'erreur relative en pourcentage ?

Exemples résolus

À la kermesse de l'école, tu estimes qu'un bocal contient 450 bonbons. Il en contient en réalité 500. Quelle est ton erreur relative en pourcentage ?

Calcule l'erreur absolue

$|450 - 500| = |-50| = 50$ → Erreur absolue = 50 bonbons

Divise par la valeur réelle

$\frac{50}{500} = 0{,}1$

Multiplie par 100

$0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$

Réponse: Ton erreur relative est de 10 %.

Erreurs courantes

Diviser par la valeur mesurée au lieu de la valeur réelle : $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}6}$

Pourquoi c'est faux: L'erreur relative compare ton erreur à la VRAIE taille de la grandeur. La valeur mesurée est justement celle qui peut être fausse, elle ne peut donc pas servir de référence.

Correct: Divise toujours par la valeur réelle (valeur de référence) : $\frac{|9{,}6 - 9{,}81|}{9{,}81} \times 100\,\% \approx 2{,}14\,\%$

Oublier la valeur absolue et écrire une erreur relative négative, comme $-10\,\%$

Pourquoi c'est faux: L'erreur relative mesure la taille de l'erreur, pas son sens. Avoir 50 de moins, c'est une erreur aussi grande qu'avoir 50 de trop.

Correct: Utilise $|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|$ . Pour une estimation de 450 et une valeur réelle de 500 : $|450 - 500| = 50$ , erreur relative $10\,\%$ .

Oublier de multiplier par 100 et donner $0{,}1$ comme erreur relative

Pourquoi c'est faux: $\frac{50}{500} = 0{,}1$ est un nombre décimal, pas un pourcentage. $0{,}1\,\%$ voudrait dire une erreur 100 fois plus petite.

Correct: Multiplie par 100 : $0{,}1 \times 100\,\% = 10\,\%$ .

Arrondir trop tôt, ou ne pas dire à combien de décimales on a arrondi

Pourquoi c'est faux: Si tu arrondis d'abord $\frac{0{,}21}{9{,}81}$ à $0{,}02$ , tu obtiens $2\,\%$ au lieu de $2{,}14\,\%$ . Et une réponse comme $2{,}1\,\%$ sans règle d'arrondi ne peut pas être vérifiée.

Correct: Garde tous les chiffres jusqu'à la dernière étape, puis arrondis une seule fois et précise comment : " $2{,}14\,\%$ , arrondi à deux décimales".

Visuel interactif

Plage:à

Clique sur les nombres pour les sélectionner. Ajuste la plage pour explorer différentes valeurs.

Diagramme à barres

Même erreur de 2 cm, erreur relative différente

Crayon, 10 cm(20 %)

Table, 50 cm(4 %)

Porte, 200 cm(1 %)

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Soit $M$ la valeur mesurée et $A$ la valeur réelle. Quelle formule donne l'erreur relative en pourcentage ?

Exercices pratiques: Erreur relative en pourcentage

1. Soit M la valeur mesurée et A la valeur réelle. Quelle formule donne l'erreur relative en pourcentage ?
2. Une planche mesure réellement 50 cm. Tu mesures 45 cm. Quelle est l'erreur relative en pourcentage ? Donne le résultat en %.
3. Une masse étalon a une masse réelle de 50 g. Une balance affiche 52 g. Quelle est l'erreur absolue ?
4. Tu estimes qu'un bocal contient 240 bonbons. Il en contient réellement 300. Quelle est ton erreur relative ?
5. Un thermomètre indique 98\ °\text{C} dans de l'eau bouillante au niveau de la mer, où la température d'ébullition réelle est 100\ °\text{C}. Quelle est l'erreur relative en pourcentage ? Donne le résultat en %.
6. Un livre mesure réellement 20 cm de large. Léa mesure 21 cm. Quelle est son erreur relative ?
7. La valeur réelle est 40 et la valeur mesurée est 48. Quel calcul donne l'erreur relative en pourcentage ?
8. Noah estime que 75 personnes viendront à une fête. Il en vient exactement 60. Quelle est son erreur relative en pourcentage ? Donne le résultat en %.
9. Lors d'un TP avec un pendule, tu mesures la pesanteur et trouves 9{,}32\ \text{m/s}^2. La valeur de référence est 9{,}81\ \text{m/s}^2. Quelle est l'erreur relative, arrondie à une décimale ?
10. Zoé estime qu'une boîte contient 90 boutons. Elle en contient réellement 40. Quelle est son erreur relative ?
11. Kai mesure une piscine de 25 m et trouve 25,5 m. Lena mesure une corde de 5 m et trouve 5,5 m. Combien de fois l'erreur relative de Lena est-elle plus grande que celle de Kai ?
12. Une bouteille contient réellement 2,5 litres. Un verre doseur indique 2,4 litres. Quelle est l'erreur relative du verre doseur en pourcentage ? Donne le résultat en %.
13. Une application de cartes estime qu'une promenade durera 68 minutes. Elle dure en réalité 80 minutes. Quelle est l'erreur relative de l'application ?
14. Une élève mesure la masse volumique du cuivre et trouve 8{,}512\ \text{g/cm}^3. La valeur de référence est 8{,}96\ \text{g/cm}^3. Quelle est l'erreur relative ?
15. La valeur réelle est 80. Une mesure a une erreur relative de 5 % et elle est plus petite que la valeur réelle. Quelle était la valeur mesurée ?
16. Une classe mesure la vitesse du son et trouve 352\ \text{m/s}. La valeur de référence est 343\ \text{m/s}. Calcule l'erreur relative arrondie à deux décimales, puis arrondie à l'unité.
17. Ana a mesuré 40, mais la valeur réelle est 50. Elle a écrit (|40 - 50|)/40 × 100 % = 25 %. Quelle est la bonne erreur relative ?
18. La masse réelle d'un colis est 250 g. Une balance a une erreur relative de 8 % et indique trop. Qu'affiche la balance ?

Pourquoi c'est important

Toute mesure comporte une erreur, et l'erreur relative en pourcentage te dit si cette erreur est petite ou grave :

Travaux pratiques de sciences : Tu mesures l'accélération de la pesanteur et trouves $9{,}6\ \text{m/s}^2$ , alors que la valeur de référence est $9{,}81\ \text{m/s}^2$ . Ton expérience est-elle bonne ? L'erreur relative dit qu'elle s'écarte d'environ 2 %.
Estimation : Les concours d'estimation, le nombre de personnes dans une foule et les plannings de projets peuvent être jugés avec l'erreur relative.
Contrôle qualité : Les usines vérifient que les balances, les règles et les machines restent sous une erreur relative fixée, par exemple 1 %.
Médecine et cuisine : Une petite dose de médicament ou une petite quantité de sel demande une mesure beaucoup plus précise qu'une grande.

La même erreur absolue peut être minuscule ou énorme : se tromper de 2 cm en mesurant une porte, ce n'est pas grave, mais se tromper de 2 cm sur un crayon, c'est une grosse erreur. L'erreur relative permet de comparer équitablement.

Applications dans le monde réel

TP de sciences : masse volumique de l'aluminium

Les scientifiques jugent une expérience en comparant leur résultat à la valeur de référence. Une erreur relative inférieure à environ 5 % est en général un bon résultat de TP au lycée.

Exemple:

Une classe mesure la vitesse du son et trouve $330\ \text{m/s}$ . La valeur de référence est $343\ \text{m/s}$ , donc l'erreur relative est $\frac{13}{343} \times 100\,\% \approx 3{,}79\,\%$ .

1Essaie par toi-même

Tu mesures la masse volumique d'un bloc d'aluminium et trouves $2{,}646\ \text{g/cm}^3$ . La valeur de référence pour l'aluminium est $2{,}70\ \text{g/cm}^3$ .

Quelle est l'erreur relative de ta mesure ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Concours d'estimation

Les jeux d'estimation, le comptage d'une foule et les plannings sont tous des estimations. L'erreur relative montre la qualité d'une estimation, quelle que soit la taille des nombres.

Exemple:

Si tu estimes 90 bonbons et qu'il y en a 100, ton erreur relative est $\frac{10}{100} \times 100\,\% = 10\,\%$ .

2Essaie par toi-même

Un grand bocal à la fête foraine contient 1 250 billes. Tu estimes 1 000 billes.

Quelle est ton erreur relative ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Vérifier une balance de cuisine

Les commerces, les pharmacies et les usines testent leurs balances avec des masses étalons dont la masse est connue exactement. L'erreur relative leur dit si la balance peut encore être utilisée.

Exemple:

Une balance de pharmacie affiche 101 g pour une masse étalon de 100 g : l'erreur relative est $\frac{1}{100} \times 100\,\% = 1\,\%$ .

3Essaie par toi-même

Tu poses une masse étalon d'exactement 500 g sur une balance de cuisine. La balance affiche 508 g.

Quelle est l'erreur relative de la balance ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Écris le calcul ou le résultat (en %) :

Points clés

1Erreur relative $= \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%$
2L'erreur absolue $|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|$ est la taille de l'erreur dans l'unité de départ ; l'erreur relative la compare à la valeur réelle
3Divise toujours par la valeur réelle (valeur de référence), jamais par la valeur mesurée
4L'erreur relative n'est jamais négative : trop haut ou trop bas de la même quantité donne la même erreur relative
5Garde tous les chiffres jusqu'à la fin, puis arrondis une seule fois et indique le nombre de décimales
6L'erreur relative peut dépasser 100 % quand une estimation vaut plus du double de la valeur réelle

Questions fréquentes

Pas avec la formule de cette leçon : la valeur absolue la rend nulle ou positive. Certains professeurs de sciences enlèvent la valeur absolue pour montrer si un résultat était trop haut (+) ou trop bas (

-

). Avec une erreur relative signée, la taille reste la même, on ajoute seulement le sens.

Glossaire

Valeur mesurée: La valeur obtenue par une mesure, une expérience ou une estimation (aussi appelée valeur expérimentale ou valeur estimée)
Valeur réelle: La valeur vraie ou admise avec laquelle on compare la mesure (aussi appelée valeur de référence, valeur vraie ou valeur théorique)
Erreur absolue: La distance entre la valeur mesurée et la valeur réelle, $|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|$ , dans l'unité de départ
Erreur relative en pourcentage: L'erreur absolue divisée par la valeur réelle, multipliée par 100 %
Valeur absolue: La distance d'un nombre à zéro, toujours nulle ou positive : $|-3| = 3$

Carte des formules

Erreur relative en pourcentage

\text{Erreur relative} = \frac{|\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|}{\text{valeur réelle}} \times 100\,\%

La taille de l'erreur, en pourcentage de la valeur réelle

Erreur absolue

\text{Erreur absolue} = |\text{valeur mesurée} - \text{valeur réelle}|

La taille de l'erreur dans l'unité de départ (cm, g, personnes)

Calcul à rebours

\text{valeur mesurée} = \text{valeur réelle} \pm \text{valeur réelle} \times \frac{\text{erreur relative}}{100}

Prends + si la mesure était trop haute et $-$ si elle était trop basse

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Vérifier une balance de cuisine

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Glossaire

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Erreur relative en pourcentage

Erreur absolue

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