Trouver le pourcentage

Quel pourcentage de 40 représente 12 ?

Repérer la partie et le tout: Le tout vient après "de" : 40. La partie va avec "représente" : 12. Le pourcentage manque. = partie = 12, tout = 40

Écrire la proportion: $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$

Faire le produit en croix: $40 \times p = 12 \times 100$ = $40p = 1200$

Diviser par 40: $p = 1200 \div 40$ = $p = 30$

Answer: 12 représente $30\,\%$ de 40.

Trouver le tout

15 est 30 % de quel nombre ?

Repérer ce que tu connais: La partie est 15 (près de "est"), le pourcentage est 30. Le tout (après "de") manque. = partie = 15, $p = 30$

Écrire la proportion: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$ = $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$

Faire le produit en croix: $30 \times x = 15 \times 100$ = $30x = 1500$

Diviser par 30: $x = 1500 \div 30$ = $x = 50$

Answer: 15 est $30\,\%$ de 50. Vérification : $30\,\%$ de 50 donne $0{,}3 \times 50 = 15$.

Trouver la partie

Utilise la proportion pour calculer 35 % de 60.

Repérer ce que tu connais: Le tout est 60, le pourcentage est 35. La partie manque. = tout = 60, $p = 35$

Écrire la proportion: $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$ = $\frac{x}{60} = \frac{35}{100}$

Faire le produit en croix: $100 \times x = 35 \times 60$ = $100x = 2100$

Diviser par 100: $x = 2100 \div 100$ = $x = 21$

Answer: $35\,\%$ de 60 font 21. La même mise en équation marche pour chaque inconnue.

Une note en pourcentage

Maria a répondu correctement à 34 des 40 questions d'un contrôle. Quel pourcentage de bonnes réponses a-t-elle obtenu ?

Repérer la partie et le tout: Toutes les questions forment le tout : 40. Les bonnes réponses sont la partie : 34. = partie = 34, tout = 40

Écrire la proportion: $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$ = $\frac{34}{40} = \frac{p}{100}$

Faire le produit en croix: $40p = 34 \times 100$ = $40p = 3400$

Diviser par 40: $p = 3400 \div 40$ = $p = 85$

Answer: Maria a obtenu $85\,\%$ de bonnes réponses.

Sondage : combien de personnes interrogées ?

Lors d'un sondage au collège, 45 élèves ont choisi le basket comme sport préféré. Cela représente 18 % de tous les élèves qui ont répondu. Combien d'élèves ont répondu au sondage ?

Repérer ce que tu connais: 45 élèves sont une partie de tous les élèves. Le pourcentage est 18. Le tout (tous les élèves) manque. = partie = 45, $p = 18$

Écrire la proportion: $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$ = $\frac{45}{x} = \frac{18}{100}$

Faire le produit en croix: $18x = 45 \times 100$ = $18x = 4500$

Diviser par 18 et vérifier: $x = 4500 \div 18 = 250$ ; vérification : $0{,}18 \times 250 = 45$ = $x = 250$

Answer: 250 élèves ont répondu au sondage.

Mistake: Mettre le tout en haut : écrire $\frac{40}{12} = \frac{p}{100}$ pour "Quel pourcentage de 40 représente 12 ?"

Why: La fraction de gauche doit être partie sur tout. En l'inversant, on obtient $p \approx 333$, ce qui est impossible ici car 12 est plus petit que 40.

Correct: Partie en haut, tout en bas : $\frac{12}{40} = \frac{p}{100}$, donc $p = 30$.

Mistake: Écrire le pourcentage à la place de la partie : $\frac{30}{x} = \frac{15}{100}$ pour "15 est 30 % de quel nombre ?"

Why: Le nombre avec le signe % se place toujours au-dessus de 100. L'autre nombre connu est la partie ou le tout.

Correct: $\frac{15}{x} = \frac{30}{100}$, donc $30x = 1500$ et $x = 50$.

Mistake: Multiplier en ligne au lieu de faire le produit en croix : $12 \times p = 40 \times 100$

Why: Le produit en croix associe chaque numérateur au dénominateur de l'AUTRE fraction.

Correct: Multiplie en diagonale : $12 \times 100 = 40 \times p$.

Mistake: Répondre 0,3 quand on demande le pourcentage

Why: Dans la proportion, $p$ est déjà le nombre de pour cent (sur 100), pas un nombre décimal.

Correct: Si $p = 30$, la réponse est $30\,\%$. Écris le signe %.

Notes de contrôle

Les professeurs transforment les points en pourcentages pour comparer des contrôles qui n'ont pas le même nombre de questions.

18 points sur 24 : $\frac{18}{24} = \frac{p}{100}$, donc $p = 75$, soit une note de $75\,\%$.

Sondages

Les sondages donnent leurs résultats en pourcentages. Si tu connais le pourcentage et le nombre de personnes qui ont donné une réponse, tu peux trouver combien de personnes ont été interrogées.

Si 30 personnes représentent $25\,\%$ d'un groupe, alors $\frac{30}{x} = \frac{25}{100}$ et le groupe compte 120 personnes.

Achats et remises

Un ticket de caisse indique souvent combien tu as économisé, mais pas le prix de départ. La proportion permet de retrouver ce prix.

Économiser 6 € avec une remise de $20\,\%$ signifie $\frac{6}{x} = \frac{20}{100}$, donc le prix de départ était 30 €.

Q: Comment savoir quel nombre est la partie et lequel est le tout ?

A: Demande-toi : quel nombre est le total ? C'est le tout (souvent après "de"). La partie en est un morceau (souvent près de "est"). Si le pourcentage est inférieur à 100, la partie est plus petite que le tout.

Q: La partie peut-elle être plus grande que le tout ?

A: Oui, quand le pourcentage dépasse 100. Par exemple, 60 représente $150\,\%$ de 40 : $\frac{60}{40} = \frac{p}{100}$ donne $p = 150$.

Q: Pourquoi le produit en croix fonctionne-t-il ?

A: Deux fractions égales restent égales si on multiplie les deux membres par les deux dénominateurs. Pour $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, on obtient $a \times d = b \times c$.

Q: Quelle différence entre la proportion et l'équation du pourcentage ?

A: Ce sont deux façons d'écrire la même relation. La proportion compare deux fractions ; l'équation du pourcentage (leçon suivante) s'écrit partie = taux × tout, avec le taux en nombre décimal. Les deux donnent la même réponse.