Compter méthodiquement un prisme hexagonal

Compte les sommets, arêtes et faces d'un prisme hexagonal et vérifie la relation d'Euler.

Compte les sommets étage par étage: L'hexagone du haut a $6$ sommets et l'hexagone du bas en a $6$ = $S = 6 + 6 = 12$

Compte les arêtes par groupes: $6$ arêtes en haut, $6$ en bas, $6$ arêtes verticales qui les relient = $A = 6 + 6 + 6 = 18$

Compte les faces: $2$ bases hexagonales et $6$ faces latérales rectangulaires = $F = 2 + 6 = 8$

Vérifie la relation d'Euler: $S - A + F = 12 - 18 + 8$ = $2$

Answer: $S = 12$, $A = 18$, $F = 8$ et $12 - 18 + 8 = 2$ : la relation d'Euler est vérifiée.

Compter les arêtes à partir des faces

Un polyèdre a $8$ faces triangulaires et $6$ faces carrées. Combien a-t-il d'arêtes et de sommets ?

Additionne les côtés de toutes les faces: $8 \times 3 + 6 \times 4 = 24 + 24$ = $48$ côtés

Chaque arête est partagée par deux faces : divise par 2: $A = 48 \div 2$ = $A = 24$

Compte les faces: $F = 8 + 6$ = $F = 14$

Résous la relation d'Euler pour trouver $S$: $S = 2 + A - F = 2 + 24 - 14$ = $S = 12$

Answer: Le polyèdre a $24$ arêtes et $12$ sommets.

Ce solide peut-il exister ?

Quelqu'un affirme avoir construit un polyèdre convexe avec $10$ sommets, $16$ arêtes et $7$ faces. Est-ce possible ?

Remplace dans $S - A + F$: $10 - 16 + 7$ = $1$

Compare avec la relation d'Euler: Un polyèdre convexe doit donner $2$, pas $1$ = Impossible

Trouve le nombre de faces qui conviendrait: $10 - 16 + F = 2$, donc $F = 2 + 16 - 10$ = $F = 8$

Answer: Non. $10 - 16 + 7 = 1 \neq 2$, les nombres sont donc faux. Avec $10$ sommets et $16$ arêtes, un polyèdre convexe aurait besoin de $8$ faces.

Un prisme dont on connaît seulement les arêtes

Un prisme a $36$ arêtes. Combien a-t-il de sommets et de faces ? Quelle est la forme de sa base ?

Utilise $A = 3n$ pour un prisme: $3n = 36$ = $n = 12$, la base est un polygone à 12 côtés

Trouve les sommets avec $S = 2n$: $S = 2 \times 12$ = $S = 24$

Trouve les faces avec $F = n + 2$: $F = 12 + 2$ = $F = 14$

Vérifie avec la relation d'Euler: $24 - 36 + 14$ = $2$

Answer: La base est un dodécagone (12 côtés). Le prisme a $24$ sommets et $14$ faces, et $24 - 36 + 14 = 2$.

Un contre-exemple : un solide avec un trou

Un cadre photo carré est un solide percé d'un trou carré au milieu. Découpe le dessus et le dessous en $4$ trapèzes chacun, pour que chaque face soit un polygone. Compte $S$, $A$ et $F$ et calcule $S - A + F$.

Compte les sommets: En haut : $4$ sommets extérieurs et $4$ intérieurs. En bas : autant = $S = 16$

Compte les faces: $4$ trapèzes en haut, $4$ en bas, $4$ faces latérales extérieures, $4$ intérieures = $F = 16$

Compte les arêtes à partir des faces: Les $16$ faces sont des quadrilatères : $16 \times 4 \div 2$ = $A = 32$

Calcule $S - A + F$: $16 - 32 + 16$ = $0$

Answer: $S - A + F = 0$, et non $2$. La relation d'Euler $S - A + F = 2$ n'est valable que pour les solides sans trou ; chaque trou diminue la valeur de $2$.

Mistake: Additionner les côtés de toutes les faces et prendre ce total pour le nombre d'arêtes

Why: Chaque arête est la ligne de rencontre de deux faces, elle est donc comptée une fois pour chacune d'elles.

Correct: Divise le nombre total de côtés des faces par 2. Un cube a $6 \times 4 = 24$ côtés de faces mais seulement $24 \div 2 = 12$ arêtes.

Mistake: Se tromper de signes, par exemple écrire $S + A - F = 2$

Why: Ce sont les arêtes qu'on soustrait. Avec les mauvais signes, un cube donne $8 + 12 - 6 = 14$.

Correct: On additionne sommets et faces, on soustrait les arêtes : $S - A + F = 2$. Vérifie sur un cube : $8 - 12 + 6 = 2$.

Mistake: Appliquer la relation aux cylindres, cônes, sphères ou solides troués

Why: Les surfaces courbes ne sont pas des polygones, et un trou change le résultat (un cadre photo donne $0$).

Correct: N'utilise $S - A + F = 2$ que pour des polyèdres sans trou : faces planes polygonales, arêtes droites, une seule surface fermée.

Mistake: Croire que trois nombres quelconques vérifiant $S - A + F = 2$ décrivent un vrai polyèdre

Why: Tout polyèdre passe ce test, mais le passer ne suffit pas. Par exemple $S = 4{,}5$, $A = 7{,}5$, $F = 5$ donne aussi $2$.

Correct: Vérifie aussi que les nombres sont entiers et que la somme des côtés des faces est paire ($2A$). Cinq triangles ont $15$ côtés, un nombre impair, donc aucun polyèdre n'est formé d'exactement cinq triangles (un polyèdre a toujours un nombre pair de faces ayant un nombre impair de côtés).

Concevoir un ballon de football

Le ballon de football classique est cousu à partir de $12$ pentagones et $20$ hexagones. Grâce aux côtés des faces et à la relation d'Euler, les concepteurs savent combien il y a de coutures et de points de couture avant de découper la moindre pièce.

Chaque couture relie deux pièces, donc le nombre de coutures est la moitié du nombre de côtés des pièces.

Modèles 3D dans les jeux et l'animation

Les personnages et objets des jeux vidéo sont construits à partir de maillages fermés de triangles. Les logiciels vérifient la relation d'Euler pour repérer les maillages avec des fentes, des sommets en double ou des trous accidentels avant qu'ils ne provoquent des bugs graphiques.

Un maillage fermé de $4$ triangles (un tétraèdre) a $6$ arêtes et $4$ sommets : $4 - 6 + 4 = 2$.

Les cristaux des minéraux

Beaucoup de cristaux poussent sous forme de polyèdres. Un cristal de quartz fixé sur une roche a la forme d'un prisme hexagonal surmonté d'une pyramide hexagonale à son extrémité libre, et les minéralogistes décrivent les formes cristallines avec ce genre de comptages.

Une pointe de quartz a $6$ faces latérales rectangulaires, $6$ faces triangulaires au sommet et $1$ face hexagonale posée sur la roche.

Q: La relation d'Euler fonctionne-t-elle pour les polyèdres non convexes ?

A: Oui, tant que le solide n'a pas de trou (on pourrait le gonfler comme un ballon jusqu'à obtenir une sphère). Un bloc en forme de L, par exemple, donne toujours $S - A + F = 2$. Les solides troués, comme un cadre photo, donnent une autre valeur.

Q: Pourquoi le résultat est-il toujours 2 ?

A: Imagine qu'on enlève une face et qu'on aplatit le reste sur une table. Découper les faces en triangles puis retirer les triangles du bord un par un ne change jamais $S - A + F$, et on finit avec un seul triangle ($3 - 3 + 1 = 1$). En rajoutant la face enlevée, on obtient $1 + 1 = 2$. Le nombre $2$ est lié à la forme de sphère de la surface, pas au solide particulier.

Q: La relation marche-t-elle pour un cylindre ou un cône ?

A: Non. Ils ont des surfaces courbes, ce ne sont donc pas des polyèdres, et leurs faces et arêtes ne se comptent pas de la même façon. La relation d'Euler concerne les solides formés uniquement de polygones plans.

Q: Qui a découvert cette relation ?

A: Leonhard Euler l'a décrite dans une lettre en 1750 et l'a publiée dans les années suivantes. René Descartes avait noté un résultat très proche vers 1630, mais ses notes n'ont été retrouvées que bien plus tard.