Pourquoi le résultat est-il toujours 2 ?

Imagine qu'on enlève une face et qu'on aplatit le reste sur une table. Découper les faces en triangles puis retirer les triangles du bord un par un ne change jamais $S - A + F$, et on finit avec un seul triangle ($3 - 3 + 1 = 1$). En rajoutant la face enlevée, on obtient $1 + 1 = 2$. Le nombre $2$ est lié à la forme de sphère de la surface, pas au solide particulier.

La relation marche-t-elle pour un cylindre ou un cône ?

Non. Ils ont des surfaces courbes, ce ne sont donc pas des polyèdres, et leurs faces et arêtes ne se comptent pas de la même façon. La relation d'Euler concerne les solides formés uniquement de polygones plans.

Qui a découvert cette relation ?

Leonhard Euler l'a décrite dans une lettre en 1750 et l'a publiée dans les années suivantes. René Descartes avait noté un résultat très proche vers 1630, mais ses notes n'ont été retrouvées que bien plus tard.

Ressources enseignants

La relation d'Euler pour les polyèdres

Découvre la relation d'Euler S - A + F = 2, compte méthodiquement sommets, arêtes et faces, et utilise la formule pour trouver un nombre manquant ou repérer un solide impossible.

Avancé25 minLeçon

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Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Un polyèdre est un solide dont la surface est formée uniquement de polygones plans. Tout polyèdre a trois nombres caractéristiques :

$S$ = nombre de sommets
$A$ = nombre d'arêtes (segments où deux faces se rejoignent)
$F$ = nombre de faces (les polygones plans)

La relation d'Euler affirme que pour tout polyèdre convexe :

S - A + F = 2

Pour un cube :

S = 8

A = 12

F = 6

, et

8 - 12 + 6 = 2

Compter les arêtes méthodiquement : chaque arête appartient à exactement deux faces. Si tu additionnes le nombre de côtés de toutes les faces, chaque arête est donc comptée deux fois :

A = \frac{\text{somme des côtés de toutes les faces}}{2}

Les prismes et pyramides dont la base a

n

côtés suivent des règles simples :

Prisme : $S = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$
Pyramide : $S = n + 1$ , $A = 2n$ , $F = n + 1$

La relation n'est valable que pour les solides sans trou. Un solide en forme de cadre photo (un solide traversé par un trou) donne

S - A + F = 0

au lieu de

2

Essaie tout de suite

Quelle égalité est la relation d'Euler pour un polyèdre convexe ?

Exemples résolus

Compte les sommets, arêtes et faces d'un prisme hexagonal et vérifie la relation d'Euler.

Compte les sommets étage par étage

L'hexagone du haut a

6

sommets et l'hexagone du bas en a

6

→

S = 6 + 6 = 12

Compte les arêtes par groupes

6

arêtes en haut,

6

en bas,

6

arêtes verticales qui les relient →

A = 6 + 6 + 6 = 18

Compte les faces

2

bases hexagonales et

6

faces latérales rectangulaires →

F = 2 + 6 = 8

Vérifie la relation d'Euler

S - A + F = 12 - 18 + 8

→

2

Réponse: $S = 12$ , $A = 18$ , $F = 8$ et $12 - 18 + 8 = 2$ : la relation d'Euler est vérifiée.

Erreurs courantes

Additionner les côtés de toutes les faces et prendre ce total pour le nombre d'arêtes

Pourquoi c'est faux: Chaque arête est la ligne de rencontre de deux faces, elle est donc comptée une fois pour chacune d'elles.

Correct: Divise le nombre total de côtés des faces par 2. Un cube a $6 \times 4 = 24$ côtés de faces mais seulement $24 \div 2 = 12$ arêtes.

Se tromper de signes, par exemple écrire $S + A - F = 2$

Pourquoi c'est faux: Ce sont les arêtes qu'on soustrait. Avec les mauvais signes, un cube donne $8 + 12 - 6 = 14$ .

Correct: On additionne sommets et faces, on soustrait les arêtes : $S - A + F = 2$ . Vérifie sur un cube : $8 - 12 + 6 = 2$ .

Appliquer la relation aux cylindres, cônes, sphères ou solides troués

Pourquoi c'est faux: Les surfaces courbes ne sont pas des polygones, et un trou change le résultat (un cadre photo donne $0$ ).

Correct: N'utilise $S - A + F = 2$ que pour des polyèdres sans trou : faces planes polygonales, arêtes droites, une seule surface fermée.

Croire que trois nombres quelconques vérifiant $S - A + F = 2$ décrivent un vrai polyèdre

Pourquoi c'est faux: Tout polyèdre passe ce test, mais le passer ne suffit pas. Par exemple $S = 4{,}5$ , $A = 7{,}5$ , $F = 5$ donne aussi $2$ .

Correct: Vérifie aussi que les nombres sont entiers et que la somme des côtés des faces est paire ( $2A$ ). Cinq triangles ont $15$ côtés, un nombre impair, donc aucun polyèdre n'est formé d'exactement cinq triangles (un polyèdre a toujours un nombre pair de faces ayant un nombre impair de côtés).

Visuel interactif

Compte S, A et F : prismes, pyramides et un octaèdre

Choisis un solide dans le tableau, puis compte ses sommets (S), arêtes (A) et faces (F) en dessous. Touche ? pour dévoiler un nombre.

Solide	S	A	F	S − A + F
				…
				…
				…
				…
				…
				…
				…

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Compte-les

Touche le solide ou Commencer à compter : chaque sommet s'allume l'un après l'autre.

Parcours les arêtes une par une

Choisir la forme

Rotation X (20°)

Rotation Y (30°)

Côté (4)

Hauteur (5)

Compte-les

Touche le solide ou Commencer à compter : chaque arête s'allume l'une après l'autre.

Faces

Arêtes

Sommets

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quelle égalité est la relation d'Euler pour un polyèdre convexe ?

Pourquoi c'est important

La relation d'Euler relie trois nombres qui semblent sans rapport, et elle fonctionne pour tout polyèdre convexe, quelle que soit sa taille ou sa forme.

Vérifier tes comptages : si tu comptes $S$ , $A$ et $F$ et que tu n'obtiens pas $2$ , tu t'es trompé quelque part (ou le solide a un trou)
Trouver un nombre manquant : deux des trois nombres suffisent pour obtenir le troisième sans compter
Tester des modèles : ingénieurs et graphistes 3D l'utilisent pour vérifier qu'un maillage fermé n'a ni trou ni fente
Sport et sciences : les pièces d'un ballon de football classique, les formes des cristaux et les structures des dômes géodésiques la respectent toutes

C'est aussi ton premier pas vers la topologie, la partie des mathématiques qui étudie ce qui reste inchangé quand on étire ou qu'on déforme une figure.

Applications dans le monde réel

Concevoir un ballon de football

Le ballon de football classique est cousu à partir de $12$ pentagones et $20$ hexagones. Grâce aux côtés des faces et à la relation d'Euler, les concepteurs savent combien il y a de coutures et de points de couture avant de découper la moindre pièce.

Exemple:

Chaque couture relie deux pièces, donc le nombre de coutures est la moitié du nombre de côtés des pièces.

1Essaie par toi-même

Un ballon de football a $12$ pièces pentagonales et $20$ pièces hexagonales. Les coutures sont les arêtes, les points où trois coutures se rejoignent sont les sommets.

Combien le ballon a-t-il de sommets ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise $S = 2 + A - F$ avec le nombre de coutures $A$ et de pièces $F$ :

Modèles 3D dans les jeux et l'animation

Les personnages et objets des jeux vidéo sont construits à partir de maillages fermés de triangles. Les logiciels vérifient la relation d'Euler pour repérer les maillages avec des fentes, des sommets en double ou des trous accidentels avant qu'ils ne provoquent des bugs graphiques.

Exemple:

Un maillage fermé de $4$ triangles (un tétraèdre) a $6$ arêtes et $4$ sommets : $4 - 6 + 4 = 2$ .

2Essaie par toi-même

Une graphiste 3D construit un modèle fermé, sans trou, avec $500$ triangles.

Combien de sommets le modèle doit-il avoir ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Trouve $A$ à partir des côtés des triangles, puis $S = 2 + A - F$ :

Les cristaux des minéraux

Beaucoup de cristaux poussent sous forme de polyèdres. Un cristal de quartz fixé sur une roche a la forme d'un prisme hexagonal surmonté d'une pyramide hexagonale à son extrémité libre, et les minéralogistes décrivent les formes cristallines avec ce genre de comptages.

Exemple:

Une pointe de quartz a $6$ faces latérales rectangulaires, $6$ faces triangulaires au sommet et $1$ face hexagonale posée sur la roche.

3Essaie par toi-même

Un cristal de quartz est un prisme hexagonal surmonté d'une pyramide hexagonale. Il a $13$ faces et $24$ arêtes.

Combien le cristal a-t-il de sommets ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Résous $S - A + F = 2$ pour trouver $S$ :

Points clés

1Un polyèdre est un solide à faces polygonales planes ; compte ses sommets $S$ , ses arêtes $A$ et ses faces $F$
2Relation d'Euler : $S - A + F = 2$ pour tout polyèdre convexe (et tout polyèdre sans trou)
3Compte méthodiquement par groupes (haut, bas, côtés) et vérifie tes comptages avec la relation
4Chaque arête appartient à deux faces, donc $A$ = (somme des côtés de toutes les faces) $\div 2$
5Prisme à base à $n$ côtés : $S = 2n$ , $A = 3n$ , $F = n + 2$ ; pyramide : $S = n + 1$ , $A = 2n$ , $F = n + 1$
6Des nombres qui ne donnent pas $2$ ne peuvent pas appartenir à un polyèdre convexe ; un solide avec un trou donne $S - A + F = 0$

Questions fréquentes

Oui, tant que le solide n'a pas de trou (on pourrait le gonfler comme un ballon jusqu'à obtenir une sphère). Un bloc en forme de L, par exemple, donne toujours

S - A + F = 2

. Les solides troués, comme un cadre photo, donnent une autre valeur.

Glossaire

Polyèdre: Un solide dont la surface est formée uniquement de polygones plans
Face: L'un des polygones plans qui forment la surface d'un polyèdre
Arête: Un segment où deux faces d'un polyèdre se rejoignent
Sommet: Un point où des arêtes se rejoignent (un coin du solide)
Polyèdre convexe: Un polyèdre sans creux : le segment entre deux de ses points reste toujours à l'intérieur
Relation d'Euler: La règle $S - A + F = 2$ pour tout polyèdre convexe

Carte des formules

Relation d'Euler

S - A + F = 2

$S$ = sommets, $A$ = arêtes, $F$ = faces d'un polyèdre convexe

Arêtes à partir des faces

A = \frac{\text{somme des côtés des faces}}{2}

Chaque arête est partagée par exactement deux faces

Prisme à base à n côtés

S = 2n,\; A = 3n,\; F = n + 2

$n$ = nombre de côtés de la base

Pyramide à base à n côtés

S = n + 1,\; A = 2n,\; F = n + 1

$n$ = nombre de côtés de la base

Défi du jourUn problème, trois essais

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