Les solides de Platon

Un **solide de Platon** (ou **polyèdre régulier**) est un solide qui remplit trois conditions : 1. Toutes ses faces sont **le même polygone régulier** (tous les côtés et tous les angles égaux). 2. **Le même nombre de faces se rejoint en chaque sommet**. 3. Il est **convexe** : pas de creux, chaque sommet pointe vers l'extérieur. Il y en a exactement **cinq** : - **Tétraèdre** : 4 triangles équilatéraux, 3 en chaque sommet. $S = 4$, $A = 6$, $F = 4$ - **Cube** : 6 carrés, 3 en chaque sommet. $S = 8$, $A = 12$, $F = 6$ - **Octaèdre** : 8 triangles équilatéraux, 4 en chaque sommet. $S = 6$, $A = 12$, $F = 8$ - **Dodécaèdre** : 12 pentagones réguliers, 3 en chaque sommet. $S = 20$, $A = 30$, $F = 12$ - **Icosaèdre** : 20 triangles équilatéraux, 5 en chaque sommet. $S = 12$, $A = 30$, $F = 20$ Les cinq vérifient la relation d'Euler $S - A + F = 2$ (souvent notée $V - E + F = 2$ en anglais). S'il n'y en a que cinq, c'est à cause de la **somme des angles en un sommet** : les angles des faces qui se rejoignent en un sommet doivent faire **moins de** $360°$ au total, sinon il n'y a pas de sommet : à exactement $360°$ les faces sont à plat, et au-delà de $360°$ elles ne tiennent pas autour du point. $$\text{(faces en un sommet)} \times \text{(un angle de face)} < 360°$$

Compter l'octaèdre sans maquette

Un octaèdre a 8 faces, chacune un triangle équilatéral, et 4 faces se rejoignent en chaque sommet. Trouve le nombre d'arêtes et de sommets.

Compte tous les côtés des triangles: $8 \text{ faces} \times 3 \text{ côtés} = 24$ = 24 côtés au total

Chaque arête est partagée par 2 faces: $A = 24 \div 2$ = $A = 12$

Compte tous les coins des triangles : chaque sommet en réunit 4: $8 \times 3 = 24$ coins, $S = 24 \div 4$ = $S = 6$

Vérifie avec la relation d'Euler: $S - A + F = 6 - 12 + 8$ = $2$, c'est juste

Answer: L'octaèdre a $12$ arêtes et $6$ sommets.

Combien de triangles en un sommet ?

Les triangles équilatéraux ont des angles de $60°$. Combien d'entre eux peuvent se rejoindre en un sommet d'un solide ?

Il faut au moins 3 faces pour former un sommet: $3 \times 60° = 180° < 360°$ = Possible : tétraèdre

Essaie 4 triangles: $4 \times 60° = 240° < 360°$ = Possible : octaèdre

Essaie 5 triangles: $5 \times 60° = 300° < 360°$ = Possible : icosaèdre

Essaie 6 triangles: $6 \times 60° = 360°$ = À plat, pas de sommet

Answer: 3, 4 ou 5 triangles peuvent se rejoindre en un sommet, ce qui donne le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre. Six triangles sont à plat.

Carrés, pentagones et hexagones

Combien de carrés, de pentagones réguliers ou d'hexagones réguliers peuvent se rejoindre en un sommet d'un solide ?

Les carrés ont des angles de $90°$: $3 \times 90° = 270° < 360°$, mais $4 \times 90° = 360°$ = Seulement 3 : le cube

Trouve l'angle d'un pentagone régulier: $\frac{(5 - 2) \times 180°}{5} = \frac{540°}{5}$ = $108°$

Pentagones en un sommet: $3 \times 108° = 324° < 360°$, mais $4 \times 108° = 432°$ = Seulement 3 : le dodécaèdre

Les hexagones ont des angles de $120°$: $3 \times 120° = 360°$ = À plat (un nid d'abeilles), pas de solide

Answer: Seulement 3 carrés (cube) ou 3 pentagones (dodécaèdre). Les hexagones et les polygones qui ont plus de côtés ne peuvent jamais former un sommet, donc la liste s'arrête à cinq solides.

Solides duaux : échanger faces et sommets

Place un point au centre de chaque face d'un cube et relie les points des faces voisines. Quel solide obtiens-tu, et quels sont ses $S$, $A$ et $F$ ?

Écris les nombres du cube: Cube : $S = 8$, $A = 12$, $F = 6$ = 8, 12, 6

Chaque face du cube donne un nouveau sommet: $S_{\text{nouveau}} = F_{\text{cube}} = 6$ = $S = 6$

Chaque sommet du cube donne une nouvelle face (les 3 points autour forment un triangle): $F_{\text{nouveau}} = S_{\text{cube}} = 8$ = $F = 8$ triangles

Chaque arête du cube croise exactement une nouvelle arête: $A_{\text{nouveau}} = A_{\text{cube}} = 12$ = Octaèdre : $S = 6$, $A = 12$, $F = 8$

Answer: Tu obtiens un octaèdre. Le cube et l'octaèdre sont **duaux** : $S$ et $F$ s'échangent, $A$ reste le même. De la même façon, le dodécaèdre et l'icosaèdre sont duaux, et le tétraèdre est son propre dual.

Aire totale d'un icosaèdre (pour aller plus loin)

Calcule l'aire totale d'un icosaèdre dont l'arête mesure $a = 4$ cm.

Aire d'un triangle équilatéral: $\mathcal{A} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 16$ = $4\sqrt{3}$ cm²

Multiplie par les 20 faces: $20 \times 4\sqrt{3}$ = $80\sqrt{3}$ cm²

Vérifie avec la formule $\mathcal{A} = 5\sqrt{3}\,a^2$: $5\sqrt{3} \times 16 = 80\sqrt{3}$ = Même résultat

Écris le résultat en écriture décimale: $80 \times 1{,}732...$ = $\approx 138{,}6$ cm²

Answer: $\mathcal{A} = 80\sqrt{3} \approx 138{,}6$ cm²

Les solides de Platon fascinent l'humanité depuis plus de 2000 ans, et tu les rencontres encore partout : - **Jeux** : les dés d4, d6, d8, d12 et d20 sont exactement les cinq solides de Platon. Comme toutes les faces sont identiques et placées de la même façon, chaque nombre a la même chance de sortir. - **Biologie** : beaucoup de virus (comme le virus de l'herpès ou l'adénovirus) construisent leur coque de protéines en forme d'icosaèdre, car 20 triangles identiques forment une coque solide et fermée à partir de nombreuses copies d'une même petite pièce. - **Chimie et cristaux** : une molécule de méthane a la forme d'un tétraèdre, le sel de table et la pyrite poussent en cubes, la fluorine et le diamant souvent en octaèdres. - **Architecture** : les dômes géodésiques partent d'un icosaèdre dont les faces sont découpées en triangles plus petits. - **Histoire** : Platon associait quatre solides au feu, à la terre, à l'air et à l'eau, et le dodécaèdre à l'univers entier. Euclide a démontré qu'il n'y en a que cinq, et Johannes Kepler (1596) a essayé d'expliquer les orbites des planètes en emboîtant les solides les uns dans les autres. La preuve qu'il n'y en a que cinq est l'un des raisonnements les plus anciens et les plus beaux des mathématiques, et tu peux la suivre avec seulement des angles.

Mistake: Appeler solide de Platon tout solide aux faces identiques

Why: La bipyramide triangulaire (deux tétraèdres collés) a 6 triangles équilatéraux identiques, mais 3 faces se rejoignent en deux de ses sommets et 4 faces aux trois autres.

Correct: Vérifie les deux conditions : le même polygone régulier pour chaque face ET le même nombre de faces en chaque sommet.

Mistake: Compter les arêtes d'un cube comme $6 \times 4 = 24$

Why: Chaque arête appartient à deux faces, donc en comptant les côtés de chaque face on compte chaque arête deux fois.

Correct: Divise par 2 : $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$. En général $A = \frac{F \times n}{2}$, où $n$ est le nombre de côtés d'une face.

Mistake: Croire que 6 triangles ou 4 carrés en un sommet donnent un nouveau solide

Why: $6 \times 60° = 360°$ et $4 \times 90° = 360°$ : les faces remplissent le tour complet autour du point et restent à plat, comme un carrelage.

Correct: La somme des angles en un sommet doit être strictement inférieure à $360°$.

Mistake: Croire que tous les dés de jeu sont des solides de Platon

Why: Le dé à dix faces (d10) a des faces en forme de cerf-volant, qui ne sont pas des polygones réguliers, et ses sommets ne sont pas tous pareils.

Correct: Seuls les d4, d6, d8, d12 et d20 sont des solides de Platon. Le d10 est quand même équitable, car toutes ses faces ont la même forme et la même position.

Des dés équitables pour les jeux de société

Les jeux de rôle utilisent les cinq solides de Platon comme dés. Comme chaque face est le même polygone régulier et que chaque sommet est pareil, aucune face ne tombe plus souvent sur le dessus.

Sur un d20 (icosaèdre), chaque nombre a une probabilité de $\frac{1}{20} = 0{,}05$, donc obtenir 15 ou plus (de 15 à 20, six nombres) a une probabilité de $\frac{6}{20} = 0{,}3$.

Les coques des virus

Beaucoup de virus enferment leurs gènes dans une coque (capside) en forme d'icosaèdre. La nature l'utilise parce que 20 triangles identiques se referment en une coque solide faite de nombreuses copies de la même petite protéine.

Une capside icosaédrique a 12 sommets où se rejoignent 5 triangles. Les scientifiques décrivent la structure à l'aide de ces 12 points de symétrie d'ordre cinq.

Lampes en papier et maquettes

Les designers plient des lampes, des boîtes cadeaux et des décorations à partir de patrons de solides de Platon. L'aire totale leur indique la quantité de papier ou de matériau nécessaire.

Une lampe cubique de 20 cm d'arête demande $6 \times 20^2 = 2400$ cm² de papier (plus les languettes de collage).

Un solide de Platon a des faces qui sont des polygones réguliers identiques, le même nombre de faces en chaque sommet, et aucun creux (convexe)

Il y en a exactement cinq : tétraèdre (4 triangles), cube (6 carrés), octaèdre (8 triangles), dodécaèdre (12 pentagones), icosaèdre (20 triangles)

Il n'en existe que cinq car les angles des faces en un sommet doivent faire moins de $360°$ : 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés ou 3 pentagones

Les arêtes et les sommets se déduisent des faces : $A = \frac{F \times n}{2}$ et $S = \frac{F \times n}{k}$ ($n$ côtés par face, $k$ faces par sommet), et $S - A + F = 2$

Les duaux échangent $S$ et $F$ : cube et octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre ; le tétraèdre est son propre dual

Aire totale pour une arête $a$ : tétraèdre $\sqrt{3}a^2$, cube $6a^2$, octaèdre $2\sqrt{3}a^2$, icosaèdre $5\sqrt{3}a^2$

Q: Pourquoi les appelle-t-on solides de Platon ?

A: Le philosophe grec Platon les a décrits vers 360 av. J.-C. dans son dialogue le Timée. Il associait le tétraèdre au feu, le cube à la terre, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau et le dodécaèdre à l'univers. On les connaissait déjà avant lui, et Euclide a démontré plus tard qu'il y en a exactement cinq.

Q: Le dé à dix faces (d10) est-il un solide de Platon ?

A: Non. Ses faces sont des cerfs-volants, pas des polygones réguliers, et certains sommets réunissent 3 faces alors que les deux pointes en réunissent 5. Il reste équitable, car toutes ses faces sont identiques et placées de la même façon.

Q: Quel solide est le dual du tétraèdre ?

A: Le tétraèdre lui-même. Il a $S = 4$ et $F = 4$, donc en échangeant sommets et faces on obtient de nouveau un tétraèdre (retourné).

Q: Existe-t-il des solides réguliers en dimension plus grande ?

A: Oui. En dimension quatre, il existe six formes régulières (appelées polytopes), et en dimension cinq ou plus, il n'y en a plus que trois. Notre monde en 3D en a cinq.

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Géométrie / Formes 3D

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Découvre les cinq solides de Platon, compte leurs faces, leurs arêtes et leurs sommets, et comprends pourquoi il ne peut jamais y en avoir un sixième.

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