Les solides de Platon

Découvre les cinq solides de Platon, compte leurs faces, leurs arêtes et leurs sommets, et comprends pourquoi il ne peut jamais y en avoir un sixième.

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Définition

Un solide de Platon (ou polyèdre régulier) est un solide qui remplit trois conditions :
  1. 1.Toutes ses faces sont le même polygone régulier (tous les côtés et tous les angles égaux).
  2. 2.Le même nombre de faces se rejoint en chaque sommet.
  3. 3.Il est convexe : pas de creux, chaque sommet pointe vers l'extérieur.
Il y en a exactement cinq :
  • Tétraèdre : 4 triangles équilatéraux, 3 en chaque sommet. S=4S = 4, A=6A = 6, F=4F = 4
  • Cube : 6 carrés, 3 en chaque sommet. S=8S = 8, A=12A = 12, F=6F = 6
  • Octaèdre : 8 triangles équilatéraux, 4 en chaque sommet. S=6S = 6, A=12A = 12, F=8F = 8
  • Dodécaèdre : 12 pentagones réguliers, 3 en chaque sommet. S=20S = 20, A=30A = 30, F=12F = 12
  • Icosaèdre : 20 triangles équilatéraux, 5 en chaque sommet. S=12S = 12, A=30A = 30, F=20F = 20
Les cinq vérifient la relation d'Euler S−A+F=2S - A + F = 2 (souvent notée V−E+F=2V - E + F = 2 en anglais). S'il n'y en a que cinq, c'est à cause de la somme des angles en un sommet : les angles des faces qui se rejoignent en un sommet doivent faire moins de 360°360° au total, sinon il n'y a pas de sommet : à exactement 360°360° les faces sont à plat, et au-delà de 360°360° elles ne tiennent pas autour du point.
(faces en un sommet)×(un angle de face)<360°\text{(faces en un sommet)} \times \text{(un angle de face)} < 360°

Essaie tout de suite

Lequel de ces solides n'est PAS un solide de Platon ?

Exemples résolus

Un octaèdre a 8 faces, chacune un triangle équilatéral, et 4 faces se rejoignent en chaque sommet. Trouve le nombre d'arêtes et de sommets.
1

Compte tous les côtés des triangles

8 faces×3 coˆteˊs=248 \text{ faces} \times 3 \text{ côtés} = 24 → 24 côtés au total
2

Chaque arête est partagée par 2 faces

A=24÷2A = 24 \div 2 → A=12A = 12
3

Compte tous les coins des triangles : chaque sommet en réunit 4

8×3=248 \times 3 = 24 coins, S=24÷4S = 24 \div 4 → S=6S = 6
4

Vérifie avec la relation d'Euler

S−A+F=6−12+8S - A + F = 6 - 12 + 8 → 22, c'est juste

Erreurs courantes

Appeler solide de Platon tout solide aux faces identiques

Pourquoi c'est faux: La bipyramide triangulaire (deux tétraèdres collés) a 6 triangles équilatéraux identiques, mais 3 faces se rejoignent en deux de ses sommets et 4 faces aux trois autres.

Correct: Vérifie les deux conditions : le même polygone régulier pour chaque face ET le même nombre de faces en chaque sommet.

Compter les arêtes d'un cube comme 6×4=246 \times 4 = 24

Pourquoi c'est faux: Chaque arête appartient à deux faces, donc en comptant les côtés de chaque face on compte chaque arête deux fois.

Correct: Divise par 2 : A=6×42=12A = \frac{6 \times 4}{2} = 12. En général A=F×n2A = \frac{F \times n}{2}, où nn est le nombre de côtés d'une face.

Croire que 6 triangles ou 4 carrés en un sommet donnent un nouveau solide

Pourquoi c'est faux: 6×60°=360°6 \times 60° = 360° et 4×90°=360°4 \times 90° = 360° : les faces remplissent le tour complet autour du point et restent à plat, comme un carrelage.

Correct: La somme des angles en un sommet doit être strictement inférieure à 360°360°.

Croire que tous les dés de jeu sont des solides de Platon

Pourquoi c'est faux: Le dé à dix faces (d10) a des faces en forme de cerf-volant, qui ne sont pas des polygones réguliers, et ses sommets ne sont pas tous pareils.

Correct: Seuls les d4, d6, d8, d12 et d20 sont des solides de Platon. Le d10 est quand même équitable, car toutes ses faces ont la même forme et la même position.

Visuel interactif

Les cinq solides de Platon : touche pour compter les faces

Compte-les

Touche le solide ou Commencer à compter : chaque face s'allume l'une après l'autre.

Faces

4

Arêtes

6

Sommets

4

Forme des faces

Triangle équilatéral

Faces à chaque sommet

3

Volume

V = (√2/12)a³

7,54 unités³

Aire de surface

SA = √3a²

27,71 unités²

Patrons des cinq solides de Platon

Patron

8 faces identiques

Faces

8

Arêtes

12

Sommets

6

Forme des faces

Triangle équilatéral

Faces à chaque sommet

4

Volume

V = (√2/3)a³

30,17 unités³

Aire de surface

SA = 2√3a²

55,43 unités²

Visualiseur 3D

Faces

4

Arêtes

6

Sommets

4

Forme des faces

Triangle équilatéral

Faces à chaque sommet

3

Relation d'Euler: S − A + F = 4 − 6 + 4 = 2

Volume

V = (√2/12)a³

V = √2/12 · 3³ ≈ 3,18

3,18 cm³

Aire de surface

SA = √3a²

SA = √3 · 3² ≈ 15,59

15,59 cm²

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Lequel de ces solides n'est PAS un solide de Platon ?

Pourquoi c'est important

Les solides de Platon fascinent l'humanité depuis plus de 2000 ans, et tu les rencontres encore partout :
  • Jeux : les dés d4, d6, d8, d12 et d20 sont exactement les cinq solides de Platon. Comme toutes les faces sont identiques et placées de la même façon, chaque nombre a la même chance de sortir.
  • Biologie : beaucoup de virus (comme le virus de l'herpès ou l'adénovirus) construisent leur coque de protéines en forme d'icosaèdre, car 20 triangles identiques forment une coque solide et fermée à partir de nombreuses copies d'une même petite pièce.
  • Chimie et cristaux : une molécule de méthane a la forme d'un tétraèdre, le sel de table et la pyrite poussent en cubes, la fluorine et le diamant souvent en octaèdres.
  • Architecture : les dômes géodésiques partent d'un icosaèdre dont les faces sont découpées en triangles plus petits.
  • Histoire : Platon associait quatre solides au feu, à la terre, à l'air et à l'eau, et le dodécaèdre à l'univers entier. Euclide a démontré qu'il n'y en a que cinq, et Johannes Kepler (1596) a essayé d'expliquer les orbites des planètes en emboîtant les solides les uns dans les autres.
La preuve qu'il n'y en a que cinq est l'un des raisonnements les plus anciens et les plus beaux des mathématiques, et tu peux la suivre avec seulement des angles.

Applications dans le monde réel

Des dés équitables pour les jeux de société

Les jeux de rôle utilisent les cinq solides de Platon comme dés. Comme chaque face est le même polygone régulier et que chaque sommet est pareil, aucune face ne tombe plus souvent sur le dessus.

Exemple:

Sur un d20 (icosaèdre), chaque nombre a une probabilité de 120=0,05\frac{1}{20} = 0{,}05, donc obtenir 15 ou plus (de 15 à 20, six nombres) a une probabilité de 620=0,3\frac{6}{20} = 0{,}3.

1Essaie par toi-même

Tu lances un dé équitable à 12 faces (un dodécaèdre) numéroté de 1 à 12.

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 9 ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Issues favorables divisées par toutes les issues :

Les coques des virus

Beaucoup de virus enferment leurs gènes dans une coque (capside) en forme d'icosaèdre. La nature l'utilise parce que 20 triangles identiques se referment en une coque solide faite de nombreuses copies de la même petite protéine.

Exemple:

Une capside icosaédrique a 12 sommets où se rejoignent 5 triangles. Les scientifiques décrivent la structure à l'aide de ces 12 points de symétrie d'ordre cinq.

2Essaie par toi-même

Un musée des sciences construit une maquette géante d'une capside de virus avec 20 panneaux triangulaires reliés par des barres métalliques le long des arêtes.

Combien de barres (arêtes) faut-il pour la maquette ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Compte tous les côtés des panneaux, puis souviens-toi que chaque barre est partagée :

Lampes en papier et maquettes

Les designers plient des lampes, des boîtes cadeaux et des décorations à partir de patrons de solides de Platon. L'aire totale leur indique la quantité de papier ou de matériau nécessaire.

Exemple:

Une lampe cubique de 20 cm d'arête demande 6×202=24006 \times 20^2 = 2400 cm² de papier (plus les languettes de collage).

3Essaie par toi-même

Tu plies une lampe en forme d'octaèdre en papier. Chaque arête mesure 10 cm.

Quelle surface de papier couvrent les 8 faces ? Arrondis au dixième.

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise A=23 a2\mathcal{A} = 2\sqrt{3}\,a^2 :

Points clés

  • 1Un solide de Platon a des faces qui sont des polygones réguliers identiques, le même nombre de faces en chaque sommet, et aucun creux (convexe)
  • 2Il y en a exactement cinq : tétraèdre (4 triangles), cube (6 carrés), octaèdre (8 triangles), dodécaèdre (12 pentagones), icosaèdre (20 triangles)
  • 3Il n'en existe que cinq car les angles des faces en un sommet doivent faire moins de 360°360° : 3, 4 ou 5 triangles, 3 carrés ou 3 pentagones
  • 4Les arêtes et les sommets se déduisent des faces : A=F×n2A = \frac{F \times n}{2} et S=F×nkS = \frac{F \times n}{k} (nn côtés par face, kk faces par sommet), et S−A+F=2S - A + F = 2
  • 5Les duaux échangent SS et FF : cube et octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre ; le tétraèdre est son propre dual
  • 6Aire totale pour une arête aa : tétraèdre 3a2\sqrt{3}a^2, cube 6a26a^2, octaèdre 23a22\sqrt{3}a^2, icosaèdre 53a25\sqrt{3}a^2

Questions fréquentes

Le philosophe grec Platon les a décrits vers 360 av. J.-C. dans son dialogue le Timée. Il associait le tétraèdre au feu, le cube à la terre, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau et le dodécaèdre à l'univers. On les connaissait déjà avant lui, et Euclide a démontré plus tard qu'il y en a exactement cinq.
Le philosophe grec Platon les a décrits vers 360 av. J.-C. dans son dialogue le Timée. Il associait le tétraèdre au feu, le cube à la terre, l'octaèdre à l'air, l'icosaèdre à l'eau et le dodécaèdre à l'univers. On les connaissait déjà avant lui, et Euclide a démontré plus tard qu'il y en a exactement cinq.
Non. Ses faces sont des cerfs-volants, pas des polygones réguliers, et certains sommets réunissent 3 faces alors que les deux pointes en réunissent 5. Il reste équitable, car toutes ses faces sont identiques et placées de la même façon.
Le tétraèdre lui-même. Il a S=4S = 4 et F=4F = 4, donc en échangeant sommets et faces on obtient de nouveau un tétraèdre (retourné).
Oui. En dimension quatre, il existe six formes régulières (appelées polytopes), et en dimension cinq ou plus, il n'y en a plus que trois. Notre monde en 3D en a cinq.

Glossaire

Solide de Platon (polyèdre régulier)
Un polyèdre convexe dont les faces sont des polygones réguliers identiques, avec le même nombre de faces en chaque sommet
Polygone régulier
Un polygone dont tous les côtés sont égaux et tous les angles sont égaux, comme un triangle équilatéral, un carré ou un pentagone régulier
Convexe
Sans creux : le segment entre deux points quelconques du solide reste à l'intérieur du solide
Somme des angles en un sommet
La somme des angles des faces qui se rejoignent en un sommet ; pour un solide, elle doit être inférieure à 360°360°
Solide dual
Le solide obtenu en plaçant un sommet au centre de chaque face ; sommets et faces s'échangent
Patron
Un dessin à plat de toutes les faces qui se plie pour former le solide

Carte des formules

Condition en un sommet

k×α<360°k \times \alpha < 360°

$k$ = faces en un sommet, $\alpha$ = un angle d'une face

Arêtes à partir des faces

A=F×n2A = \frac{F \times n}{2}

$n$ = côtés d'une face ; chaque arête est partagée par 2 faces

Sommets à partir des faces

S=F×nkS = \frac{F \times n}{k}

$k$ = faces qui se rejoignent en chaque sommet

Relation d'Euler

S−A+F=2S - A + F = 2

Vraie pour les cinq solides de Platon

Aires totales (arête $a$)

3a2, 6a2, 23a2, 53a2\sqrt{3}a^2,\ 6a^2,\ 2\sqrt{3}a^2,\ 5\sqrt{3}a^2

Tétraèdre, cube, octaèdre, icosaèdre

Défi du jourUn problème, trois essais

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