Vérifier CAC étape par étape

Dans $\triangle ABC$ : $AB = 6$ cm, $\angle B = 50°$, $BC = 8$ cm. Dans $\triangle DEF$ : $DE = 6$ cm, $\angle E = 50°$, $EF = 8$ cm. Les triangles sont-ils congrus ? Si $AC \approx 6{,}2$ cm, quelle est la longueur de $DF$ ?

Liste les éléments égaux: $AB = DE = 6$ cm, $BC = EF = 8$ cm, $\angle B = \angle E = 50°$ = Deux paires de côtés et une paire d'angles

Vérifie que l'angle est compris: Les côtés $AB$ et $BC$ se rejoignent en $B$ ; les côtés $DE$ et $EF$ se rejoignent en $E$ = $\angle B$ et $\angle E$ sont les angles compris

Applique CAC: Deux côtés et l'angle compris sont égaux = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$

Utilise les éléments homologues: $AC$ correspond à $DF$ (première et troisième lettres) = $DF = AC \approx 6{,}2$ cm

Answer: Oui, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CAC, donc $DF \approx 6{,}2$ cm.

L'angle est-il vraiment compris ?

Dans $\triangle PQR$ : $PQ = 5$, $QR = 7$, $\angle R = 40°$. Dans $\triangle XYZ$ : $XY = 5$, $YZ = 7$, $\angle Z = 40°$. Peux-tu utiliser CAC ?

Trouve le point commun des deux côtés: $PQ$ et $QR$ ont en commun le point $Q$ = L'angle compris serait $\angle Q$

Compare avec l'angle donné: L'angle donné est $\angle R$, qui n'est pas entre $PQ$ et $QR$ = L'angle n'est pas compris

Nomme la configuration: Côté, côté, puis un angle qui n'est pas entre eux = C'est CCA

Conclus: CCA n'est pas un critère de congruence = Aucune conclusion possible

Answer: Non. L'angle donné n'est pas compris entre les deux côtés (CCA), donc CAC ne s'applique pas et les triangles ne sont peut-être pas congrus.

Angle caché : angles opposés par le sommet

Les segments $AE$ et $BD$ se coupent en $C$. $C$ est le milieu des deux segments : $AC = CE = 4$ cm et $BC = CD = 5$ cm. Si $AB = 7$ cm, quelle est la longueur de $DE$ ?

Utilise les milieux: $AC = CE = 4$ cm et $BC = CD = 5$ cm = Deux paires de côtés égaux

Trouve l'angle caché: $\angle ACB$ et $\angle ECD$ sont opposés par le sommet = $\angle ACB = \angle ECD$

Vérifie qu'il est compris: $\angle ACB$ est entre $AC$ et $BC$ ; $\angle ECD$ est entre $EC$ et $DC$ = $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ par CAC

Utilise les éléments homologues: $AB$ correspond à $ED$ = $DE = AB = 7$ cm

Answer: $DE = 7$ cm, car $\triangle ACB \cong \triangle ECD$ par CAC.

Côté caché : un côté commun

Dans le quadrilatère $ABCD$, $AB = CB$ et la diagonale $BD$ est la bissectrice de $\angle ABC$, donc $\angle ABD = \angle CBD = 35°$. Si $\angle BAD = 80°$, trouve $\angle BCD$ et $\angle ADB$.

Écris les éléments donnés: $AB = CB$ et $\angle ABD = \angle CBD$ = Une paire de côtés, une paire d'angles

Trouve le côté caché: Les deux triangles contiennent $BD$, et $BD = BD$ = Côté commun

Applique CAC: L'angle en $B$ est entre $AB$ et $BD$ (et entre $CB$ et $BD$) = $\triangle ABD \cong \triangle CBD$

Utilise les éléments homologues et la somme des angles: $\angle BCD = \angle BAD = 80°$ ; $\angle ADB = 180° - 35° - 80°$ = $\angle BCD = 80°$, $\angle ADB = 65°$

Answer: $\angle BCD = 80°$ et $\angle ADB = 65°$.

Pourquoi CCA échoue : deux triangles avec les mêmes données

Trace un triangle avec $\angle A = 30°$, $AB = 10$ et $BC = 6$. Combien de triangles différents correspondent à cette description ?

Trouve la hauteur de $B$ au-dessus de la droite $AC$: Dans un triangle rectangle, le côté opposé à un angle de $30°$ mesure la moitié de l'hypoténuse : $h = 10 \div 2$ = $h = 5$

Compare $BC$ à la hauteur: $5 < 6 < 10$ : le côté $BC$ est plus long que la hauteur mais plus court que $AB$ = $BC$ peut atteindre la droite $AC$ en deux points

Trouve la distance de chaque point au pied de la hauteur: $\sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11} \approx 3{,}32$ = Un point de chaque côté du pied

Trouve les deux longueurs possibles de $AC$: Le pied est à $\approx 8{,}66$ de $A$ : $8{,}66 - 3{,}32$ et $8{,}66 + 3{,}32$ = $AC \approx 5{,}34$ ou $AC \approx 11{,}98$

Answer: Deux triangles différents, avec $AC \approx 5{,}34$ ou $AC \approx 11{,}98$. Les mêmes données côté, côté, angle donnent deux formes, donc CCA ne peut pas prouver la congruence.

Mistake: Utiliser CAC alors que l'angle n'est pas entre les deux côtés

Why: Deux côtés et un angle non compris (CCA) peuvent décrire deux triangles différents, comme le montre l'exemple $30°$, $10$, $6$.

Correct: Cherche le point commun aux deux côtés. Seul l'angle à ce sommet peut servir pour CAC.

Mistake: Associer les sommets dans le mauvais ordre

Why: Écrire $\triangle ABC \cong \triangle FED$ alors que $B$ correspond à $E$ et $A$ à $D$ associe les mauvais éléments et mène à de fausses conclusions.

Correct: Écris les sommets dans l'ordre des correspondances. Si $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$, écris $\triangle ABC \cong \triangle DEF$.

Mistake: Croire qu'il manque une information parce qu'un élément n'est pas écrit dans l'énoncé

Why: Les angles opposés par le sommet et les côtés communs sont égaux même si personne ne le dit. Les élèves les oublient et abandonnent une démonstration qui fonctionne.

Correct: Avant de décider, cherche des segments qui se croisent (angles opposés par le sommet) et un côté qui appartient aux deux triangles (côté commun).

Mistake: Utiliser les éléments homologues avant d'avoir prouvé la congruence

Why: Les éléments homologues sont égaux seulement parce que les triangles sont congrus. Sans cette preuve, tu supposes ce que tu veux démontrer.

Correct: Démontre d'abord $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ (par exemple par CAC), puis déduis les autres éléments égaux.

Tréteaux pliants

Les tréteaux, les escabeaux et les chevalets sont faits de deux pieds reliés par une charnière. La longueur des pieds et l'angle d'ouverture déterminent toute la forme.

Deux chevalets ont chacun des pieds de 150 cm ouverts à $25°$ à la charnière. Par CAC, les triangles qu'ils forment sont congrus, donc leurs pieds sont écartés de la même distance.

Mesurer la largeur d'un étang

Les géomètres utilisent CAC pour trouver une distance qu'ils ne peuvent pas parcourir, en construisant une copie congrue du triangle sur la terre ferme.

Pour mesurer $AB$ à travers un étang, on choisit un point $C$ sur la rive. On prolonge $AC$ au-delà de $C$ jusqu'à $D$ avec $CD = AC$, et $BC$ au-delà de $C$ jusqu'à $E$ avec $CE = BC$. Les angles en $C$ sont opposés par le sommet, donc $\triangle ACB \cong \triangle DCE$ par CAC et $DE = AB$.

Les aiguilles d'une horloge

Les deux aiguilles d'une horloge sont deux côtés de longueur fixe, et l'heure fixe l'angle entre elles.

À 2 h et à 10 h, l'angle entre les aiguilles est de $60°$ les deux fois, donc par CAC les pointes sont à la même distance l'une de l'autre aux deux heures.

Q: Pourquoi CCA n'est-il pas un critère de congruence ?

A: Parce que le côté opposé à l'angle donné peut pivoter comme un compas et couper le troisième côté en deux points. Avec $\angle A = 30°$, $AB = 10$ et $BC = 6$, tu obtiens deux triangles, l'un avec $AC \approx 5{,}34$ et l'autre avec $AC \approx 11{,}98$.

Q: CCA fonctionne-t-il parfois ?

A: Oui, dans un cas particulier : quand l'angle donné est opposé au **plus long** des deux côtés donnés, un seul triangle est possible. L'exemple le plus connu est un angle droit opposé à l'hypoténuse (le critère hypoténuse-côté). En général, n'utilise pas CCA.

Q: CAC est-il un axiome ou un théorème ?

A: Beaucoup de manuels admettent CAC comme axiome (une règle de base sans démonstration) et s'en servent pour démontrer ACA et CCC. Euclide l'a démontré dans sa proposition 4 en posant un triangle sur l'autre. Dans tous les cas, tu peux l'utiliser dans tes démonstrations.

Q: Comment choisir entre CCC, CAC, ACA et AAC ?

A: Compte ce que tu connais. Trois côtés : CCC. Deux côtés : vérifie si l'angle connu est entre eux (CAC) ou non (CCA, pas de conclusion). Deux angles : vérifie si le côté connu est entre eux (ACA) ou non (AAC).