Congruence CAC

Démontre que deux triangles sont congrus avec deux côtés et l'angle compris, repère les éléments égaux cachés et comprends pourquoi CCA ne suffit pas.

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Définition

Le critère CAC (côté-angle-côté) dit : si deux côtés d'un triangle et l'angle compris entre eux sont respectivement égaux à deux côtés d'un autre triangle et à l'angle compris entre eux, alors les deux triangles sont congrus.
AB‾≅DE‾,∠B≅∠E,BC‾≅EF‾⟹△ABC≅△DEF\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \angle B \cong \angle E, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF} \quad \Longrightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DEF
L'angle doit être l'angle compris : l'angle formé par les deux côtés donnés. Son sommet est le point commun aux deux côtés. Pour les côtés ABAB et BCBC, ce point est BB, donc l'angle compris est ∠B\angle B.
Pourquoi ça marche : imagine deux baguettes reliées par une charnière. Dès que la longueur des baguettes et l'ouverture de la charnière sont fixées, la distance entre les extrémités libres est fixée aussi. Le troisième côté n'a qu'une longueur possible, donc il n'y a qu'un triangle possible.
Attention : deux côtés et un angle qui n'est pas compris entre eux (CCA) ne prouvent pas la congruence. Le côté opposé à l'angle peut parfois pivoter vers deux positions différentes et donner deux triangles différents.

Essaie tout de suite

Dans △ABC\triangle ABC, quel angle est compris entre les côtés ABAB et BCBC ?

Exemples résolus

Dans △ABC\triangle ABC : AB=6AB = 6 cm, ∠B=50°\angle B = 50°, BC=8BC = 8 cm. Dans △DEF\triangle DEF : DE=6DE = 6 cm, ∠E=50°\angle E = 50°, EF=8EF = 8 cm. Les triangles sont-ils congrus ? Si AC≈6,2AC \approx 6{,}2 cm, quelle est la longueur de DFDF ?
1

Liste les éléments égaux

AB=DE=6AB = DE = 6 cm, BC=EF=8BC = EF = 8 cm, ∠B=∠E=50°\angle B = \angle E = 50° → Deux paires de côtés et une paire d'angles
2

Vérifie que l'angle est compris

Les côtés ABAB et BCBC se rejoignent en BB ; les côtés DEDE et EFEF se rejoignent en EE → ∠B\angle B et ∠E\angle E sont les angles compris
3

Applique CAC

Deux côtés et l'angle compris sont égaux → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF
4

Utilise les éléments homologues

ACAC correspond à DFDF (première et troisième lettres) → DF=AC≈6,2DF = AC \approx 6{,}2 cm

Erreurs courantes

Utiliser CAC alors que l'angle n'est pas entre les deux côtés

Pourquoi c'est faux: Deux côtés et un angle non compris (CCA) peuvent décrire deux triangles différents, comme le montre l'exemple 30°30°, 1010, 66.

Correct: Cherche le point commun aux deux côtés. Seul l'angle à ce sommet peut servir pour CAC.

Associer les sommets dans le mauvais ordre

Pourquoi c'est faux: Écrire △ABC≅△FED\triangle ABC \cong \triangle FED alors que BB correspond à EE et AA à DD associe les mauvais éléments et mène à de fausses conclusions.

Correct: Écris les sommets dans l'ordre des correspondances. Si A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F, écris △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF.

Croire qu'il manque une information parce qu'un élément n'est pas écrit dans l'énoncé

Pourquoi c'est faux: Les angles opposés par le sommet et les côtés communs sont égaux même si personne ne le dit. Les élèves les oublient et abandonnent une démonstration qui fonctionne.

Correct: Avant de décider, cherche des segments qui se croisent (angles opposés par le sommet) et un côté qui appartient aux deux triangles (côté commun).

Utiliser les éléments homologues avant d'avoir prouvé la congruence

Pourquoi c'est faux: Les éléments homologues sont égaux seulement parce que les triangles sont congrus. Sans cette preuve, tu supposes ce que tu veux démontrer.

Correct: Démontre d'abord △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (par exemple par CAC), puis déduis les autres éléments égaux.

Visuel interactif

Triangles isométriques

68ABC68DEF△ABC ≅ △DEF

CACDeux paires de côtés et l'angle compris entre eux sont égaux.

  • AB = DE = 6
  • BC = EF = 8
  • ∠B = ∠E = 50°

Touche un cas pour voir quels éléments doivent correspondre. Les éléments avec les mêmes marques sont égaux.

Courbe de la fonction

0246810120246xyA10B6C₁≈ 5,34C₂6
Tous les points à 6 unités de B

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Dans △ABC\triangle ABC, quel angle est compris entre les côtés ABAB et BCBC ?

Pourquoi c'est important

CAC est l'un des outils les plus utilisés dans les démonstrations de géométrie, car les informations nécessaires sont souvent données gratuitement :
  • Angles opposés par le sommet : quand deux segments se croisent, les angles opposés sont égaux, tu as donc déjà l'angle
  • Côtés communs : quand deux triangles partagent un côté, ce côté est égal à lui-même
  • Milieux et bissectrices : un milieu donne deux segments égaux, une bissectrice donne deux angles égaux
Une fois que CAC a prouvé que deux triangles sont congrus, toutes les autres paires d'éléments homologues sont égales aussi. C'est ainsi que les géomètres mesurent la largeur d'un étang qu'ils ne peuvent pas traverser, et que les menuisiers savent que deux tréteaux ouverts au même angle sont identiques.

Applications dans le monde réel

Tréteaux pliants

Les tréteaux, les escabeaux et les chevalets sont faits de deux pieds reliés par une charnière. La longueur des pieds et l'angle d'ouverture déterminent toute la forme.

Exemple:

Deux chevalets ont chacun des pieds de 150 cm ouverts à 25°25° à la charnière. Par CAC, les triangles qu'ils forment sont congrus, donc leurs pieds sont écartés de la même distance.

1Essaie par toi-même

Un menuisier fabrique deux tréteaux. Chacun a deux pieds de 90 cm, et les deux sont bloqués pour que l'angle à la charnière soit de 30°30°.

Quel critère de congruence garantit que les deux tréteaux sont identiques ?

Étape 1 : Choisis la bonne réponse

Choisis le critère :

Mesurer la largeur d'un étang

Les géomètres utilisent CAC pour trouver une distance qu'ils ne peuvent pas parcourir, en construisant une copie congrue du triangle sur la terre ferme.

Exemple:

Pour mesurer ABAB à travers un étang, on choisit un point CC sur la rive. On prolonge ACAC au-delà de CC jusqu'à DD avec CD=ACCD = AC, et BCBC au-delà de CC jusqu'à EE avec CE=BCCE = BC. Les angles en CC sont opposés par le sommet, donc △ACB≅△DCE\triangle ACB \cong \triangle DCE par CAC et DE=ABDE = AB.

2Essaie par toi-même

Une géomètre mesure AC=30AC = 30 m et BC=24BC = 24 m depuis le point CC. Elle place DD et EE comme décrit, puis mesure DE=42DE = 42 m.

Quelle est la largeur de l'étang, de AA à BB, en mètres ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre la longueur de ABAB en mètres :

Les aiguilles d'une horloge

Les deux aiguilles d'une horloge sont deux côtés de longueur fixe, et l'heure fixe l'angle entre elles.

Exemple:

À 2 h et à 10 h, l'angle entre les aiguilles est de 60°60° les deux fois, donc par CAC les pointes sont à la même distance l'une de l'autre aux deux heures.

3Essaie par toi-même

Une horloge a une petite aiguille de 3 cm et une grande aiguille de 4 cm. À 3 h, les aiguilles forment un angle droit et leurs pointes sont à 5 cm l'une de l'autre.

À quelle distance, en cm, sont les pointes à 9 h ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Entre la distance en cm :

Points clés

  • 1CAC : si deux côtés et l'angle compris d'un triangle sont égaux à ceux d'un autre triangle, les triangles sont congrus
  • 2L'angle compris est au sommet commun aux deux côtés : pour ABAB et BCBC, c'est ∠B\angle B
  • 3CCA n'est pas un critère : deux côtés et un angle non compris peuvent donner deux triangles différents
  • 4Cherche les éléments égaux cachés : angles opposés par le sommet là où des segments se croisent, un côté commun, des milieux et des bissectrices
  • 5Après avoir prouvé la congruence, utilise les éléments homologues pour trouver les autres côtés et angles
  • 6Critères valables : CCC, CAC, ACA, AAC. Configurations non valables : CCA et AAA

Questions fréquentes

Parce que le côté opposé à l'angle donné peut pivoter comme un compas et couper le troisième côté en deux points. Avec ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 et BC=6BC = 6, tu obtiens deux triangles, l'un avec AC≈5,34AC \approx 5{,}34 et l'autre avec AC≈11,98AC \approx 11{,}98.
Parce que le côté opposé à l'angle donné peut pivoter comme un compas et couper le troisième côté en deux points. Avec ∠A=30°\angle A = 30°, AB=10AB = 10 et BC=6BC = 6, tu obtiens deux triangles, l'un avec AC≈5,34AC \approx 5{,}34 et l'autre avec AC≈11,98AC \approx 11{,}98.
Oui, dans un cas particulier : quand l'angle donné est opposé au plus long des deux côtés donnés, un seul triangle est possible. L'exemple le plus connu est un angle droit opposé à l'hypoténuse (le critère hypoténuse-côté). En général, n'utilise pas CCA.
Beaucoup de manuels admettent CAC comme axiome (une règle de base sans démonstration) et s'en servent pour démontrer ACA et CCC. Euclide l'a démontré dans sa proposition 4 en posant un triangle sur l'autre. Dans tous les cas, tu peux l'utiliser dans tes démonstrations.
Compte ce que tu connais. Trois côtés : CCC. Deux côtés : vérifie si l'angle connu est entre eux (CAC) ou non (CCA, pas de conclusion). Deux angles : vérifie si le côté connu est entre eux (ACA) ou non (AAC).

Glossaire

Congruence CAC
Deux triangles sont congrus si deux côtés et l'angle compris de l'un sont égaux à deux côtés et l'angle compris de l'autre
Angle compris
L'angle formé par deux côtés donnés ; son sommet est leur extrémité commune
CCA
Deux côtés et un angle non compris ; ce n'est pas un critère de congruence, car deux triangles différents sont possibles
Angles opposés par le sommet
Les angles opposés formés par deux droites sécantes ; ils sont toujours égaux
Côté commun
Un côté qui appartient à deux triangles à la fois ; il est égal à lui-même
Éléments homologues de triangles congrus
Une fois deux triangles prouvés congrus, tous leurs côtés et angles correspondants sont égaux

Carte des formules

Critère CAC

AB=DE, ∠B=∠E, BC=EF⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ \angle B = \angle E,\ BC = EF \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

L'angle doit être entre les deux côtés

Critères valables

CCC, CAC, ACA, AAC\text{CCC},\ \text{CAC},\ \text{ACA},\ \text{AAC}

Chacun détermine un seul triangle

Configurations non valables

CCA, AAA\text{CCA},\ \text{AAA}

CCA peut donner deux triangles ; AAA fixe la forme mais pas la taille

Éléments homologues

△ABC≅△DEF⇒AC=DF, ∠A=∠D, ∠C=∠F\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow AC = DF,\ \angle A = \angle D,\ \angle C = \angle F

À utiliser seulement après avoir prouvé la congruence

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