Congruence CCC

Le **critère de congruence CCC (Côté-Côté-Côté)** dit : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congrus. $$\text{Si } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}$$ $$\text{Alors } \triangle ABC \cong \triangle DEF$$ Tu n'as besoin de mesurer aucun angle. Trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle : c'est la **rigidité du triangle**. Une fois les trois côtés choisis, les angles sont imposés, donc tout triangle ayant ces côtés est le même triangle, seulement déplacé, tourné ou retourné. **Associer les côtés :** l'ordre des lettres dans $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ indique quels éléments sont homologues : $A \leftrightarrow D$, $B \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow F$. Associe le plus petit côté au plus petit, le moyen au moyen et le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant. Dans un repère, tu calcules chaque côté avec la **formule de la distance** : $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Vérifier CCC avec des longueurs données

Dans $\triangle ABC$ : $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm, $CA = 6$ cm. Dans $\triangle DEF$ : $DE = 5$ cm, $EF = 7$ cm, $FD = 6$ cm. Les triangles sont-ils congrus ?

Compare la première paire de côtés: $AB = DE = 5$ cm = $\overline{AB} \cong \overline{DE}$

Compare la deuxième paire: $BC = EF = 7$ cm = $\overline{BC} \cong \overline{EF}$

Compare la troisième paire: $CA = FD = 6$ cm = $\overline{CA} \cong \overline{FD}$

Applique CCC: Les trois paires de côtés sont congrues = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC

Answer: Oui, $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. Aucun angle n'a été nécessaire.

Écrire l'énoncé de congruence dans le bon ordre

Dans $\triangle PQR$ : $PQ = 8$, $QR = 11$, $RP = 9$. Dans $\triangle XYZ$ : $XY = 9$, $YZ = 8$, $ZX = 11$. Écris un énoncé de congruence correct.

Associe les côtés selon leur longueur: $8$ : $PQ \leftrightarrow YZ$, $\quad 9$ : $RP \leftrightarrow XY$, $\quad 11$ : $QR \leftrightarrow ZX$ = Trois paires égales, donc CCC s'applique

Trouve le sommet homologue de P: En $P$ se rejoignent les côtés $8$ et $9$. Dans $\triangle XYZ$, les côtés $8$ ($YZ$) et $9$ ($XY$) se rejoignent en $Y$ = $P \leftrightarrow Y$

Trouve les homologues de Q et R: $Q$ : les côtés $8$ et $11$ se rejoignent, dans $\triangle XYZ$ c'est $Z$. $R$ : les côtés $9$ et $11$ se rejoignent, c'est $X$ = $Q \leftrightarrow Z$, $R \leftrightarrow X$

Écris l'énoncé dans l'ordre correspondant: $P, Q, R$ vont avec $Y, Z, X$ = $\triangle PQR \cong \triangle YZX$

Answer: $\triangle PQR \cong \triangle YZX$ par CCC. Écrire $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ serait faux, car $P$ ne correspond pas à $X$.

CCC dans un repère

Démontre que $\triangle ABC$ avec $A(1, 1)$, $B(5, 3)$, $C(2, 6)$ est congru à $\triangle DEF$ avec $D(-7, -1)$, $E(-5, -5)$, $F(-2, -2)$.

Calcule AB et DE avec la formule de la distance: $AB = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{20}$, $\quad DE = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{20}$ = $AB = DE = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Calcule BC et EF: $BC = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18}$, $\quad EF = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ = $BC = EF = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Calcule CA et FD: $CA = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{26}$, $\quad FD = \sqrt{(-5)^2 + 1^2} = \sqrt{26}$ = $CA = FD = \sqrt{26}$

Applique CCC: Trois paires de côtés égaux = $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC

Answer: Les trois paires de côtés sont égales ($\sqrt{20}$, $\sqrt{18}$, $\sqrt{26}$), donc $\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. Le triangle $DEF$ est le triangle $ABC$ tourné de $90°$ puis déplacé.

Démonstration en deux colonnes avec un côté commun

Dans le cerf-volant $ABCD$, $AB = AD$ et $CB = CD$. On trace la diagonale $AC$. Démontre que $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ et que $\angle B \cong \angle D$.

Affirmation 1 et sa justification: $\overline{AB} \cong \overline{AD}$ = Justification : hypothèse

Affirmation 2 et sa justification: $\overline{CB} \cong \overline{CD}$ = Justification : hypothèse

Affirmation 3 : le côté commun: $\overline{AC} \cong \overline{AC}$ = Justification : réflexivité (un segment est congru à lui-même)

Affirmation 4 : les triangles: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ = Justification : CCC (affirmations 1, 2, 3)

Affirmation 5 : les angles: $\angle ABC \cong \angle ADC$ = Justification : éléments homologues de triangles congrus

Answer: $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ par CCC, puis $\angle B \cong \angle D$ car les éléments homologues de triangles congrus sont congrus. Le côté commun $AC$ est la troisième paire de côtés.

Utiliser l'algèbre avec CCC

$\triangle ABC \cong \triangle DEF$ par CCC. $AB = 2x + 1$, $DE = 11$, $BC = 3y - 2$, $EF = 16$ et $CA = FD = 9$. Trouve $x$, $y$ et le périmètre de $\triangle ABC$.

Les côtés homologues sont égaux : AB = DE: $2x + 1 = 11 \Rightarrow 2x = 10$ = $x = 5$

BC = EF: $3y - 2 = 16 \Rightarrow 3y = 18$ = $y = 6$

Écris les trois côtés de ABC: $AB = 11$, $BC = 16$, $CA = 9$ = Côtés 11, 16 et 9

Additionne les côtés: $11 + 16 + 9$ = Périmètre $= 36$

Answer: $x = 5$, $y = 6$, et le périmètre de $\triangle ABC$ est $36$.

CCC est le critère que tu peux vérifier avec une simple règle, et il explique pourquoi les triangles sont partout dans la construction : - **Ponts et toits** : un triangle fait de trois poutres fixes ne peut pas changer de forme, c'est pourquoi les charpentes sont faites de triangles. Un cadre carré aux coins articulés s'aplatit en losange, un triangle jamais - **Fabrication** : pour vérifier qu'une pièce triangulaire correspond au gabarit, les ouvriers mesurent seulement les trois côtés - **Cartes et arpentage** : avec des coordonnées, tu peux démontrer que deux parcelles triangulaires sont identiques rien qu'en calculant des distances - **Démonstrations** : CCC est souvent la première étape d'une preuve, puis la propriété **les éléments homologues de triangles congrus sont congrus** te donne les angles égaux gratuitement Dans les leçons sur les triangles congrus et sur ACA et AAC, tu as vu les autres critères. CCC est le seul qui n'a besoin d'aucun angle.

Mistake: Écrire les sommets dans le mauvais ordre, comme $\triangle PQR \cong \triangle XYZ$ alors que $P$ correspond à $Y$

Why: Un énoncé de congruence promet que les premières lettres se correspondent, de même que les deuxièmes et les troisièmes. L'ordre alphabétique n'est pas l'ordre des correspondances.

Correct: Associe d'abord les côtés selon leur longueur, puis cherche en quels sommets se rejoignent les côtés homologues. Écris les sommets dans cet ordre : $\triangle PQR \cong \triangle YZX$.

Mistake: Croire que CCC marche aussi pour les quadrilatères

Why: Un carré de côté 4 et un losange étroit de côté 4 ont quatre paires de côtés égaux, mais ils ne sont pas congrus. Quatre côtés ne fixent pas les angles.

Correct: Les longueurs des côtés seules ne fixent que la forme d'un triangle. Pour un quadrilatère, il faut aussi des angles ou une diagonale.

Mistake: Oublier le côté commun dans une démonstration

Why: Quand deux triangles ont un côté en commun, beaucoup d'élèves ne trouvent que deux paires de côtés égaux et s'arrêtent, ou utilisent ce côté sans justification.

Correct: Écris le côté commun comme une affirmation à part, $\overline{AC} \cong \overline{AC}$, avec la justification réflexivité. Il compte comme troisième paire.

Mistake: Conclure à la congruence à partir de périmètres égaux

Why: Les triangles de côtés 3, 4, 5 et 4, 4, 4 ont tous deux un périmètre de 12, mais leurs formes sont différentes.

Correct: CCC demande trois paires distinctes de côtés égaux, pas seulement la même somme.

Fermes de charpente

Les charpentiers construisent les toits avec des triangles identiques, car un triangle aux côtés fixes ne peut pas être déformé.

Chaque ferme d'un abri de jardin est faite de poutres de 3 m, 4 m et 5 m. Par CCC, toutes les fermes sont congrues, donc le toit est le même sur toute sa longueur.

Champs sur un quadrillage de carte

Les urbanistes comparent des parcelles grâce aux coordonnées et à la formule de la distance, sans se déplacer.

Le champ 1 a pour sommets $(0, 0)$, $(6, 0)$ et $(0, 8)$, le champ 2 a pour sommets $(10, 2)$, $(10, 8)$ et $(18, 2)$. Les deux ont des côtés de 6, 8 et 10 unités, donc ils sont congrus par CCC.

Contrôle qualité des carreaux

Une usine de carrelage contrôle les carreaux triangulaires avec un gabarit en mesurant les trois côtés.

Le gabarit a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. Un carreau de 20 cm, 12 cm et 15 cm est accepté : l'ordre des mesures n'a pas d'importance, seules les trois paires comptent.

**CCC** : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre, les triangles sont congrus

Aucun angle n'est nécessaire : trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle (rigidité du triangle)

Associe le plus petit au plus petit, le moyen au moyen, le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant

Dans un repère, calcule chaque côté avec la formule de la distance $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Un côté commun à deux triangles est congru à lui-même (réflexivité) et compte comme une paire

Après CCC, les éléments homologues donnent les angles égaux ; CCC ne marche pas pour les quadrilatères

Q: Pourquoi CCC fonctionne-t-il sans aucun angle ?

A: Essaie de construire un triangle avec trois baguettes de longueur fixe. Une fois les extrémités reliées, il n'y a qu'une seule forme possible, tu ne peux ni ouvrir ni fermer les angles. Tout triangle ayant ces trois côtés est le même triangle, éventuellement tourné ou retourné. C'est pourquoi trois côtés suffisent.

Q: Pourquoi CCC ne marche-t-il pas pour les quadrilatères ?

A: Quatre baguettes reliées aux coins peuvent encore bouger : un carré de côté 4 peut être poussé en un losange de côté 4. Les côtés restent les mêmes, les angles changent. Une diagonale partage la figure en deux triangles et la rend rigide.

Q: L'ordre des côtés a-t-il de l'importance ?

A: Pas pour décider de la congruence : des côtés 5, 6, 8 et 8, 5, 6 donnent des triangles congrus. Mais il compte dans l'énoncé de congruence : les lettres des sommets doivent être écrites dans l'ordre correspondant.

Q: Quelle est la différence entre la congruence CCC et la similitude CCC ?

A: La congruence CCC demande trois paires de côtés égaux, donc les triangles ont la même taille. La similitude CCC demande seulement que les trois rapports des côtés homologues soient égaux, donc un triangle peut être un agrandissement de l'autre.

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Congruence CCC

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Géométrie / Congruence & Similitude

Congruence CCC

Apprends à démontrer que des triangles sont congrus avec le critère CCC (Côté-Côté-Côté), à associer les côtés homologues et à vérifier CCC dans un repère.

Intermédiaire25 min

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