Congruence CCC

Apprends à démontrer que des triangles sont congrus avec le critère CCC (Côté-Côté-Côté), à associer les côtés homologues et à vérifier CCC dans un repère.

Intermédiaire25 minLeçon
Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Le critère de congruence CCC (Côté-Côté-Côté) dit : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre triangle, alors les deux triangles sont congrus.
Si AB‾≅DE‾,BC‾≅EF‾,CA‾≅FD‾\text{Si } \overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}
Alors △ABC≅△DEF\text{Alors } \triangle ABC \cong \triangle DEF
Tu n'as besoin de mesurer aucun angle. Trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle : c'est la rigidité du triangle. Une fois les trois côtés choisis, les angles sont imposés, donc tout triangle ayant ces côtés est le même triangle, seulement déplacé, tourné ou retourné.
Associer les côtés : l'ordre des lettres dans △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF indique quels éléments sont homologues : A↔DA \leftrightarrow D, B↔EB \leftrightarrow E, C↔FC \leftrightarrow F. Associe le plus petit côté au plus petit, le moyen au moyen et le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant.
Dans un repère, tu calcules chaque côté avec la formule de la distance :
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Essaie tout de suite

Quelles informations suffisent pour démontrer avec CCC que deux triangles sont congrus ?

Exemples résolus

Dans △ABC\triangle ABC : AB=5AB = 5 cm, BC=7BC = 7 cm, CA=6CA = 6 cm. Dans △DEF\triangle DEF : DE=5DE = 5 cm, EF=7EF = 7 cm, FD=6FD = 6 cm. Les triangles sont-ils congrus ?
1

Compare la première paire de côtés

AB=DE=5AB = DE = 5 cm → AB‾≅DE‾\overline{AB} \cong \overline{DE}
2

Compare la deuxième paire

BC=EF=7BC = EF = 7 cm → BC‾≅EF‾\overline{BC} \cong \overline{EF}
3

Compare la troisième paire

CA=FD=6CA = FD = 6 cm → CA‾≅FD‾\overline{CA} \cong \overline{FD}
4

Applique CCC

Les trois paires de côtés sont congrues → △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF par CCC

Erreurs courantes

Écrire les sommets dans le mauvais ordre, comme △PQR≅△XYZ\triangle PQR \cong \triangle XYZ alors que PP correspond à YY

Pourquoi c'est faux: Un énoncé de congruence promet que les premières lettres se correspondent, de même que les deuxièmes et les troisièmes. L'ordre alphabétique n'est pas l'ordre des correspondances.

Correct: Associe d'abord les côtés selon leur longueur, puis cherche en quels sommets se rejoignent les côtés homologues. Écris les sommets dans cet ordre : △PQR≅△YZX\triangle PQR \cong \triangle YZX.

Croire que CCC marche aussi pour les quadrilatères

Pourquoi c'est faux: Un carré de côté 4 et un losange étroit de côté 4 ont quatre paires de côtés égaux, mais ils ne sont pas congrus. Quatre côtés ne fixent pas les angles.

Correct: Les longueurs des côtés seules ne fixent que la forme d'un triangle. Pour un quadrilatère, il faut aussi des angles ou une diagonale.

Oublier le côté commun dans une démonstration

Pourquoi c'est faux: Quand deux triangles ont un côté en commun, beaucoup d'élèves ne trouvent que deux paires de côtés égaux et s'arrêtent, ou utilisent ce côté sans justification.

Correct: Écris le côté commun comme une affirmation à part, AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}, avec la justification réflexivité. Il compte comme troisième paire.

Conclure à la congruence à partir de périmètres égaux

Pourquoi c'est faux: Les triangles de côtés 3, 4, 5 et 4, 4, 4 ont tous deux un périmètre de 12, mais leurs formes sont différentes.

Correct: CCC demande trois paires distinctes de côtés égaux, pas seulement la même somme.

Visuel interactif

Triangles isométriques

576ABC576DEF△ABC ≅ △DEF

CCCLes trois paires de côtés sont égales.

  • AB = DE = 5
  • BC = EF = 7
  • CA = FD = 6

Touche un cas pour voir quels éléments doivent correspondre. Les éléments avec les mêmes marques sont égaux.

Courbe de la fonction

-8-7-6-5-4-3-2-112345678-6-5-4-3-2-112345670xyA2√5B3√2C√26D2√5E3√2F√26

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

18 exercices
Problème 1 sur 18
Facile
Quelles informations suffisent pour démontrer avec CCC que deux triangles sont congrus ?

Pourquoi c'est important

CCC est le critère que tu peux vérifier avec une simple règle, et il explique pourquoi les triangles sont partout dans la construction :
  • Ponts et toits : un triangle fait de trois poutres fixes ne peut pas changer de forme, c'est pourquoi les charpentes sont faites de triangles. Un cadre carré aux coins articulés s'aplatit en losange, un triangle jamais
  • Fabrication : pour vérifier qu'une pièce triangulaire correspond au gabarit, les ouvriers mesurent seulement les trois côtés
  • Cartes et arpentage : avec des coordonnées, tu peux démontrer que deux parcelles triangulaires sont identiques rien qu'en calculant des distances
  • Démonstrations : CCC est souvent la première étape d'une preuve, puis la propriété les éléments homologues de triangles congrus sont congrus te donne les angles égaux gratuitement
Dans les leçons sur les triangles congrus et sur ACA et AAC, tu as vu les autres critères. CCC est le seul qui n'a besoin d'aucun angle.

Applications dans le monde réel

Fermes de charpente

Les charpentiers construisent les toits avec des triangles identiques, car un triangle aux côtés fixes ne peut pas être déformé.

Exemple:

Chaque ferme d'un abri de jardin est faite de poutres de 3 m, 4 m et 5 m. Par CCC, toutes les fermes sont congrues, donc le toit est le même sur toute sa longueur.

1Essaie par toi-même

Un charpentier construit 12 fermes de toit identiques. Chaque ferme est un triangle fait de poutres de 3 m, 4 m et 5 m.

Combien de mètres de poutre faut-il au total ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Longueur totale de poutre en mètres :

Champs sur un quadrillage de carte

Les urbanistes comparent des parcelles grâce aux coordonnées et à la formule de la distance, sans se déplacer.

Exemple:

Le champ 1 a pour sommets (0,0)(0, 0), (6,0)(6, 0) et (0,8)(0, 8), le champ 2 a pour sommets (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) et (18,2)(18, 2). Les deux ont des côtés de 6, 8 et 10 unités, donc ils sont congrus par CCC.

2Essaie par toi-même

Sur une carte, une unité du quadrillage vaut 10 m. Le champ 2 a pour sommets (10,2)(10, 2), (10,8)(10, 8) et (18,2)(18, 2).

Quelle est la longueur, en mètres, de la limite oblique du champ 2, de (10,8)(10, 8) à (18,2)(18, 2) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Longueur en mètres :

Contrôle qualité des carreaux

Une usine de carrelage contrôle les carreaux triangulaires avec un gabarit en mesurant les trois côtés.

Exemple:

Le gabarit a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. Un carreau de 20 cm, 12 cm et 15 cm est accepté : l'ordre des mesures n'a pas d'importance, seules les trois paires comptent.

3Essaie par toi-même

Le gabarit a des côtés de 12 cm, 15 cm et 20 cm. Un carreau test a des côtés de 15 cm, 20 cm et xx cm.

Quelle doit être la valeur de xx pour que le carreau soit congru au gabarit ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Valeur de x :

Points clés

  • 1CCC : si les trois côtés d'un triangle sont congrus aux trois côtés d'un autre, les triangles sont congrus
  • 2Aucun angle n'est nécessaire : trois longueurs de côtés déterminent complètement un triangle (rigidité du triangle)
  • 3Associe le plus petit au plus petit, le moyen au moyen, le plus grand au plus grand, puis écris les sommets dans l'ordre correspondant
  • 4Dans un repère, calcule chaque côté avec la formule de la distance d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • 5Un côté commun à deux triangles est congru à lui-même (réflexivité) et compte comme une paire
  • 6Après CCC, les éléments homologues donnent les angles égaux ; CCC ne marche pas pour les quadrilatères

Questions fréquentes

Essaie de construire un triangle avec trois baguettes de longueur fixe. Une fois les extrémités reliées, il n'y a qu'une seule forme possible, tu ne peux ni ouvrir ni fermer les angles. Tout triangle ayant ces trois côtés est le même triangle, éventuellement tourné ou retourné. C'est pourquoi trois côtés suffisent.
Essaie de construire un triangle avec trois baguettes de longueur fixe. Une fois les extrémités reliées, il n'y a qu'une seule forme possible, tu ne peux ni ouvrir ni fermer les angles. Tout triangle ayant ces trois côtés est le même triangle, éventuellement tourné ou retourné. C'est pourquoi trois côtés suffisent.
Quatre baguettes reliées aux coins peuvent encore bouger : un carré de côté 4 peut être poussé en un losange de côté 4. Les côtés restent les mêmes, les angles changent. Une diagonale partage la figure en deux triangles et la rend rigide.
Pas pour décider de la congruence : des côtés 5, 6, 8 et 8, 5, 6 donnent des triangles congrus. Mais il compte dans l'énoncé de congruence : les lettres des sommets doivent être écrites dans l'ordre correspondant.
La congruence CCC demande trois paires de côtés égaux, donc les triangles ont la même taille. La similitude CCC demande seulement que les trois rapports des côtés homologues soient égaux, donc un triangle peut être un agrandissement de l'autre.

Glossaire

Critère CCC
Deux triangles sont congrus si leurs trois paires de côtés homologues sont congrues
Côtés homologues
Côtés qui se correspondent dans une congruence ; ils occupent les mêmes positions dans l'énoncé de congruence
Rigidité du triangle
Un triangle aux longueurs de côtés fixes ne peut changer ni de forme ni d'angles
Réflexivité
Tout segment est congru à lui-même ; on l'utilise pour un côté commun à deux triangles
Éléments homologues de triangles congrus
Une fois deux triangles congrus, tous leurs côtés et angles homologues sont égaux
Formule de la distance
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}, la longueur du segment entre deux points

Carte des formules

Critère CCC

AB=DE, BC=EF, CA=FD⇒△ABC≅△DEFAB = DE,\ BC = EF,\ CA = FD \Rightarrow \triangle ABC \cong \triangle DEF

Trois paires de côtés congrus prouvent que les triangles sont congrus

Formule de la distance

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Longueur d'un côté à partir des coordonnées de ses extrémités

Réflexivité

AC‾≅AC‾\overline{AC} \cong \overline{AC}

Un côté commun est congru à lui-même

Éléments homologues

△ABC≅△DEF⇒∠A≅∠D\triangle ABC \cong \triangle DEF \Rightarrow \angle A \cong \angle D

Les éléments homologues de triangles congrus sont congrus

Défi du jourUn problème, trois essais

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