Vérifier la similitude CCC

$\triangle ABC$ a pour côtés $AB = 4$, $BC = 6$, $CA = 8$. $\triangle DEF$ a pour côtés $DE = 6$, $EF = 9$, $FD = 12$. Les triangles sont-ils semblables ?

Range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long: $\triangle ABC$ : $4, 6, 8$. $\triangle DEF$ : $6, 9, 12$ = Paires : $4 \leftrightarrow 6$, $6 \leftrightarrow 9$, $8 \leftrightarrow 12$

Divise chaque côté de $\triangle DEF$ par le côté homologue de $\triangle ABC$: $\frac{6}{4} = 1{,}5$, $\frac{9}{6} = 1{,}5$, $\frac{12}{8} = 1{,}5$ = Les trois rapports valent $1{,}5$

Applique la similitude CCC: Trois rapports égaux, donc les côtés sont proportionnels = $\triangle ABC \sim \triangle DEF$, $k = 1{,}5$

Answer: Oui, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ par la similitude CCC, avec un rapport de similitude $k = 1{,}5$.

Quand la similitude CCC ne marche pas

Un triangle a pour côtés $5$, $7$, $9$. Un autre a pour côtés $10$, $14$, $17$. Sont-ils semblables ?

Associe les côtés dans l'ordre: $5 \leftrightarrow 10$, $7 \leftrightarrow 14$, $9 \leftrightarrow 17$ = Côtés rangés du plus court au plus long

Calcule les trois rapports: $\frac{10}{5} = 2$, $\frac{14}{7} = 2$, $\frac{17}{9} \approx 1{,}89$ = Le troisième rapport est différent

Conclus: Le cas CCC exige que les TROIS rapports soient égaux. Deux sur trois ne suffisent pas. = Pas semblables

Answer: Non. Les rapports valent $2$, $2$ et environ $1{,}89$, donc les triangles ne sont pas semblables. Pour un triangle semblable, le plus long côté devrait mesurer $9 \times 2 = 18$.

Similitude CAC et côté manquant

Dans $\triangle PQR$ : $PQ = 5$, $QR = 8$, $\angle Q = 60°$, $PR = 7$. Dans $\triangle XYZ$ : $XY = 10$, $YZ = 16$, $\angle Y = 60°$. Les triangles sont-ils semblables ? Si oui, calcule $XZ$.

Compare les deux paires de côtés: $\frac{XY}{PQ} = \frac{10}{5} = 2$, $\frac{YZ}{QR} = \frac{16}{8} = 2$ = Même rapport $k = 2$

Vérifie que l'angle est bien l'angle compris: $\angle Q$ est entre $PQ$ et $QR$, $\angle Y$ est entre $XY$ et $YZ$, et $\angle Q = \angle Y = 60°$ = Les angles compris sont égaux

Applique la similitude CAC: Deux côtés proportionnels et l'angle compris = $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$, $k = 2$

Utilise le rapport de similitude pour le côté manquant: $XZ = k \cdot PR = 2 \cdot 7$ = $XZ = 14$

Answer: Oui, $\triangle PQR \sim \triangle XYZ$ par la similitude CAC avec $k = 2$, et $XZ = 14$.

Triangles emboîtés avec un angle commun

Dans $\triangle ABC$, le point $D$ est sur $AB$ et le point $E$ est sur $AC$. $AD = 4$, $AB = 12$, $AE = 5$, $AC = 15$ et $DE = 6$. Montre que $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ et calcule $BC$.

Trouve l'angle commun: Les deux triangles contiennent l'angle en $A$ = $\angle DAE = \angle BAC$

Compare les côtés qui forment l'angle $A$: $\frac{AB}{AD} = \frac{12}{4} = 3$, $\frac{AC}{AE} = \frac{15}{5} = 3$ = Même rapport $k = 3$

Applique la similitude CAC: L'angle commun est l'angle compris des deux paires de côtés = $\triangle ADE \sim \triangle ABC$

Calcule le troisième côté: $BC = k \cdot DE = 3 \cdot 6$ = $BC = 18$

Answer: $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ par la similitude CAC (angle commun $A$, $k = 3$), donc $BC = 18$. Utilise les côtés entiers $AB$ et $AC$, pas les morceaux $DB$ et $EC$.

Rapport des périmètres et rapport des aires

Un triangle rectangle a pour côtés $3$, $4$, $5$. Un second triangle a pour côtés $9$, $12$, $15$. Compare leurs périmètres et leurs aires.

Vérifie la similitude CCC: $\frac{9}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5} = 3$ = Semblables, $k = 3$

Compare les périmètres: $3 + 4 + 5 = 12$ et $9 + 12 + 15 = 36$, $\frac{36}{12} = 3$ = Rapport des périmètres $= k = 3$

Compare les aires (les côtés de l'angle droit sont la base et la hauteur): $\frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ et $\frac{9 \cdot 12}{2} = 54$, $\frac{54}{6} = 9$ = Rapport des aires $= 9$

Relie le rapport des aires à $k$: $k^2 = 3^2 = 9$ = Rapport des aires $= k^2$

Answer: Les périmètres valent $12$ et $36$ (rapport $3 = k$), les aires valent $6$ et $54$ (rapport $9 = k^2$).

Mistake: Associer les côtés dans l'ordre où ils sont écrits, par exemple $4, 6, 8$ avec $12, 9, 6$, et obtenir les rapports $3$, $1{,}5$, $0{,}75$

Why: L'ordre dans lequel les longueurs sont données n'indique pas quels côtés sont homologues. De mauvaises paires donnent des rapports différents, même pour des triangles semblables.

Correct: Range d'abord les deux triangles du plus court au plus long : $4, 6, 8$ et $6, 9, 12$. Alors tous les rapports valent $1{,}5$.

Mistake: Utiliser CAC avec un angle qui n'est pas entre les deux côtés

Why: Deux côtés proportionnels et un angle non compris (CCA) ne fixent pas la forme : deux triangles différents peuvent avoir les mêmes deux côtés et le même angle opposé à l'un d'eux.

Correct: Vérifie que l'angle égal est formé exactement par les deux côtés que tu as comparés. Sinon, la similitude CAC ne s'applique pas.

Mistake: Croire que le rapport des aires vaut aussi $k$

Why: Une aire, c'est une longueur fois une longueur, donc les deux facteurs sont multipliés par $k$ : l'aire est multipliée par $k \cdot k = k^2$.

Correct: Rapport des périmètres $= k$, rapport des aires $= k^2$. Avec $k = 3$, l'aire est $9$ fois plus grande, pas $3$ fois.

Mistake: Diviser le grand par le petit pour une paire et le petit par le grand pour une autre, par exemple $\frac{6}{4} = 1{,}5$ mais $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Why: Les rapports semblent alors différents alors que les côtés sont proportionnels.

Correct: Divise toujours dans le même sens : côté de l'image sur côté de l'original (ou l'inverse pour chaque paire).

Agrandir un logo

Les graphistes agrandissent un logo de sorte que chaque longueur soit multipliée par le même rapport. Le triangle agrandi est semblable à l'original par la similitude CCC, il garde donc exactement la même forme.

Un logo triangulaire de côtés $2$ cm, $3$ cm et $4$ cm est imprimé sur une affiche avec $k = 5$ : les côtés deviennent $10$ cm, $15$ cm et $20$ cm.

Mesurer la largeur d'un lac

Les géomètres ne peuvent pas tendre un mètre ruban au-dessus de l'eau. Ils marquent deux points sur des lignes qui partent d'un sommet et utilisent le petit triangle qui partage l'angle de ce sommet avec le grand.

Depuis le point $A$, deux chemins rectilignes longent le lac. Un petit triangle dont les côtés le long des deux chemins sont $\frac{1}{4}$ de ceux du grand partage l'angle en $A$, donc la largeur du lac est $4$ fois la courte distance mesurée sur la terre ferme.

Du tissu pour une plus grande voile

Les fabricants de voiles agrandissent ou réduisent des modèles de voiles éprouvés. La nouvelle voile est semblable à l'ancienne, mais le tissu nécessaire est multiplié par le rapport des aires $k^2$, pas par $k$.

Une voile dont chaque côté est $1{,}5$ fois plus long demande $1{,}5^2 = 2{,}25$ fois plus de tissu.

Q: Quelle est la différence entre la similitude CCC et la congruence CCC ?

A: La congruence CCC exige trois paires de côtés **égaux**. La similitude CCC exige seulement trois paires de côtés dans le **même rapport**. La congruence est le cas particulier $k = 1$.

Q: Pourquoi l'angle du cas CAC doit-il être l'angle compris ?

A: Les deux côtés et l'angle entre eux fixent complètement la forme. Si l'angle est ailleurs (CCA), deux triangles différents peuvent correspondre aux mêmes données, et tu ne peux pas conclure que les triangles sont semblables.

Q: Quand utiliser AA, CCC ou CAC ?

A: Regarde ce qui est donné. Deux paires d'angles égaux : AA. Trois paires de longueurs : CCC. Deux paires de longueurs et l'angle entre elles : CAC. Dans des triangles emboîtés, un angle commun te donne souvent gratuitement l'angle pour AA ou CAC.

Q: Est-ce important de savoir par quel triangle je divise ?

A: Seulement pour la valeur de $k$. Le grand sur le petit donne $k > 1$ (agrandissement), le petit sur le grand donne $k < 1$ (réduction). Les deux fonctionnent, à condition de diviser dans le même sens pour chaque paire.