Pourquoi l'angle du cas CAC doit-il être l'angle compris ?

Les deux côtés et l'angle entre eux fixent complètement la forme. Si l'angle est ailleurs (CCA), deux triangles différents peuvent correspondre aux mêmes données, et tu ne peux pas conclure que les triangles sont semblables.

Quand utiliser AA, CCC ou CAC ?

Regarde ce qui est donné. Deux paires d'angles égaux : AA. Trois paires de longueurs : CCC. Deux paires de longueurs et l'angle entre elles : CAC. Dans des triangles emboîtés, un angle commun te donne souvent gratuitement l'angle pour AA ou CAC.

Est-ce important de savoir par quel triangle je divise ?

Seulement pour la valeur de $k$. Le grand sur le petit donne $k > 1$ (agrandissement), le petit sur le grand donne $k < 1$ (réduction). Les deux fonctionnent, à condition de diviser dans le même sens pour chaque paire.

Ressources enseignants

Similitude CCC et CAC

Q: Quelle est la différence entre la similitude CCC et la congruence CCC ?

La congruence CCC exige trois paires de côtés **égaux**. La similitude CCC exige seulement trois paires de côtés dans le **même rapport**. La congruence est le cas particulier $k = 1$.

Démontre que deux triangles sont semblables grâce aux rapports des côtés (CCC) ou à deux rapports et l'angle compris (CAC), puis utilise le rapport de similitude.

Avancé30 minLeçon

Fiche d'exercices à imprimer

Définition

Avec la similitude AA, tu as démontré que des triangles sont semblables uniquement avec des angles. Maintenant, tu vas le faire avec les côtés. Rappel : des triangles semblables ont la même forme, leurs côtés homologues sont dans le même rapport, le rapport de similitude

k

Similitude CCC (Côté-Côté-Côté) : si les trois paires de côtés homologues sont dans le même rapport, les triangles sont semblables.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Similitude CAC (Côté-Angle-Côté) : si deux paires de côtés homologues sont dans le même rapport et que l'angle compris (l'angle entre ces deux côtés) est de même mesure, les triangles sont semblables.

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k \text{ et } \angle B = \angle E \quad\Rightarrow\quad \triangle ABC \sim \triangle DEF

Comment associer les côtés : quand tu ne connais que les longueurs, range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long et associe-les dans cet ordre : le plus court avec le plus court, le moyen avec le moyen, le plus long avec le plus long.

Dès que tu sais que les triangles sont semblables :

chaque côté de l'image vaut $k$ fois le côté homologue
le rapport des périmètres est $k$
le rapport des aires est $k^2$

Comparaison avec les triangles congrus : la congruence CCC et CAC exige des côtés égaux (

k = 1

), la similitude CCC et CAC seulement des côtés proportionnels.

Essaie tout de suite

Quel triangle est semblable à un triangle de côtés

2

3

4

Exemples résolus

\triangle ABC

a pour côtés

AB = 4

BC = 6

CA = 8

\triangle DEF

a pour côtés

DE = 6

EF = 9

FD = 12

. Les triangles sont-ils semblables ?

Range les côtés de chaque triangle du plus court au plus long

\triangle ABC

4, 6, 8

\triangle DEF

6, 9, 12

→ Paires :

4 \leftrightarrow 6

6 \leftrightarrow 9

8 \leftrightarrow 12

Divise chaque côté de $\triangle DEF$ par le côté homologue de $\triangle ABC$

\frac{6}{4} = 1{,}5

\frac{9}{6} = 1{,}5

\frac{12}{8} = 1{,}5

→ Les trois rapports valent

1{,}5

Applique la similitude CCC

Trois rapports égaux, donc les côtés sont proportionnels →

\triangle ABC \sim \triangle DEF

k = 1{,}5

Réponse: Oui, $\triangle ABC \sim \triangle DEF$ par la similitude CCC, avec un rapport de similitude $k = 1{,}5$ .

Erreurs courantes

Associer les côtés dans l'ordre où ils sont écrits, par exemple $4, 6, 8$ avec $12, 9, 6$ , et obtenir les rapports $3$ , $1{,}5$ , $0{,}75$

Pourquoi c'est faux: L'ordre dans lequel les longueurs sont données n'indique pas quels côtés sont homologues. De mauvaises paires donnent des rapports différents, même pour des triangles semblables.

Correct: Range d'abord les deux triangles du plus court au plus long : $4, 6, 8$ et $6, 9, 12$ . Alors tous les rapports valent $1{,}5$ .

Utiliser CAC avec un angle qui n'est pas entre les deux côtés

Pourquoi c'est faux: Deux côtés proportionnels et un angle non compris (CCA) ne fixent pas la forme : deux triangles différents peuvent avoir les mêmes deux côtés et le même angle opposé à l'un d'eux.

Correct: Vérifie que l'angle égal est formé exactement par les deux côtés que tu as comparés. Sinon, la similitude CAC ne s'applique pas.

Croire que le rapport des aires vaut aussi $k$

Pourquoi c'est faux: Une aire, c'est une longueur fois une longueur, donc les deux facteurs sont multipliés par $k$ : l'aire est multipliée par $k \cdot k = k^2$ .

Correct: Rapport des périmètres $= k$ , rapport des aires $= k^2$ . Avec $k = 3$ , l'aire est $9$ fois plus grande, pas $3$ fois.

Diviser le grand par le petit pour une paire et le petit par le grand pour une autre, par exemple $\frac{6}{4} = 1{,}5$ mais $\frac{6}{9} \approx 0{,}67$

Pourquoi c'est faux: Les rapports semblent alors différents alors que les côtés sont proportionnels.

Correct: Divise toujours dans le même sens : côté de l'image sur côté de l'original (ou l'inverse pour chaque paire).

Visuel interactif

Triangles semblables

Rapport k = 1,5

CCCLes trois paires de côtés sont proportionnelles, de rapport k.

DE : AB = 6 : 4 = 1,5
EF : BC = 9 : 6 = 1,5
FD : CA = 12 : 8 = 1,5

Déplace le curseur pour changer le rapport k. Les angles restent les mêmes, chaque côté est multiplié par k.

Triangles semblables

Rapport k = 2

CACDeux paires de côtés sont proportionnelles, de rapport k, et l'angle compris est le même.

XY : PQ = 10 : 5 = 2
YZ : QR = 16 : 8 = 2
∠Q = ∠Y = 60°

Déplace le curseur pour changer le rapport k. Les angles restent les mêmes, chaque côté est multiplié par k.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

Aucun calcul pour l'instant

Exercices pratiques

18 exercices

Problème 1 sur 18

Facile

Quel triangle est semblable à un triangle de côtés

2

3

4

Exercices pratiques: Similitude CCC et CAC

1. Quel triangle est semblable à un triangle de côtés 2, 3 et 4 ?
2. △ ABC a pour côtés 5, 7, 8 et △ DEF a pour côtés 15, 21, 24. Les triangles sont semblables. Quel est le rapport de similitude k de △ ABC à △ DEF ?
3. Un triangle a pour côtés 3, 5, 6 et un autre 9, 15, 18. Vérifie les trois rapports avec la similitude CCC et trouve le rapport de similitude.
4. Pour △ ABC et △ DEF, tu sais que DE/AB = DF/AC = 2 et ∠ A = ∠ D. Quel cas prouve que les triangles sont semblables ?
5. \triangle ABC \sim \triangle DEF avec un rapport de similitude k = 2 de \triangle ABC à \triangle DEF. Si AB = 6, combien mesure DE ?
6. △ ABC a pour côtés 8, 4, 6 et △ DEF a pour côtés 9, 12, 6. Associe correctement les côtés et trouve le rapport de similitude de △ ABC à △ DEF.
7. Deux triangles sont semblables avec un rapport de similitude k = 3. Le plus petit a une aire de 5 cm². Quelle est l'aire du plus grand ?
8. Deux triangles semblables ont un rapport de similitude k = 2,5 du plus petit au plus grand. Le plus petit a un périmètre de 18 cm. Quel est le périmètre du plus grand, en cm ?
9. △ ABC : AB = 3, AC = 5, ∠ A = 120°, BC = 7. △ DEF : DE = 9, DF = 15, ∠ D = 120°. Montre que les triangles sont semblables et calcule EF.
10. △ ABC : AB = 6, AC = 9, ∠ A = 40°. △ DEF : DE = 8, DF = 12, ∠ D = 40°. Que peux-tu conclure ?
11. △ ABC a pour côtés 6, 8, 10. Un triangle semblable a pour côtés 9, 12 et x, où x est son plus grand côté. Calcule x.
12. Les triangles de côtés 4, 6, 9 et 6, x, 13,5 sont semblables (côtés du plus court au plus long). Calcule x.
13. Dans △ ABC, le point D est sur AB et le point E sur AC. AD = 3, AB = 9, AE = 4, AC = 12 et DE = 5. Calcule BC.
14. △ ABC : AB = 4, BC = 6, ∠ C = 30°. △ DEF : DE = 8, EF = 12, ∠ F = 30°. Les triangles sont-ils semblables ?
15. △ ABC : AB = 8, BC = 12, ∠ B = 55°. △ DEF : DE = 6, EF = x, ∠ E = 55°. Pour quelle valeur de x les triangles sont-ils semblables par la similitude CAC (avec AB rightarrow DE et BC rightarrow EF) ?
16. △ ABC a pour côtés 5, 12, 13 et un angle droit entre les côtés 5 et 12. Un triangle semblable △ DEF a un plus petit côté de 15. Calcule le périmètre puis l'aire de △ DEF.
17. Dans \triangle ABC, le point D est sur AB et le point E sur AC. AD = 6, DB = 4, AE = 9, EC = 6 et DE = 12. Montre que \triangle ADE \sim \triangle ABC et calcule BC.
18. Deux triangles semblables ont des aires de 20 cm² et 45 cm². Le plus petit côté du petit triangle mesure 4 cm. Combien mesure le plus petit côté du grand triangle, en cm ?

Pourquoi c'est important

Il est souvent plus facile de mesurer des longueurs que des angles, et c'est alors la similitude CCC ou CAC qu'il te faut :

Topographie : pour trouver la largeur d'un lac qu'on ne peut pas traverser, les géomètres tracent un petit triangle qui partage un angle avec un grand triangle et utilisent la similitude CAC
Ingénierie : la maquette d'une charpente ou d'un pont est construite avec toutes les longueurs multipliées par le même facteur, elle a donc exactement la même forme que l'original
Impression et design : quand on agrandit un logo, chaque longueur est multipliée par $k$ , mais l'encre ou le matériau nécessaire est multiplié par $k^2$
Vérifier un plan : un menuisier peut vérifier qu'un cadre triangulaire correspond au plan en comparant trois rapports de longueurs, sans rapporteur

Savoir que l'aire est multipliée par

k^2

(et non par

k

) évite aussi des erreurs coûteuses, comme acheter seulement deux fois plus de peinture pour un mur deux fois plus large et deux fois plus haut.

Applications dans le monde réel

Agrandir un logo

Les graphistes agrandissent un logo de sorte que chaque longueur soit multipliée par le même rapport. Le triangle agrandi est semblable à l'original par la similitude CCC, il garde donc exactement la même forme.

Exemple:

Un logo triangulaire de côtés $2$ cm, $3$ cm et $4$ cm est imprimé sur une affiche avec $k = 5$ : les côtés deviennent $10$ cm, $15$ cm et $20$ cm.

1Essaie par toi-même

Un logo triangulaire a pour côtés $3$ cm, $4$ cm et $6$ cm. Sur une banderole, son plus petit côté doit mesurer $7{,}5$ cm, et le logo doit garder sa forme.

Quelle est la longueur du plus grand côté du logo sur la banderole (en cm) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie le plus grand côté par le rapport de similitude :

Mesurer la largeur d'un lac

Les géomètres ne peuvent pas tendre un mètre ruban au-dessus de l'eau. Ils marquent deux points sur des lignes qui partent d'un sommet et utilisent le petit triangle qui partage l'angle de ce sommet avec le grand.

Exemple:

Depuis le point $A$ , deux chemins rectilignes longent le lac. Un petit triangle dont les côtés le long des deux chemins sont $\frac{1}{4}$ de ceux du grand partage l'angle en $A$ , donc la largeur du lac est $4$ fois la courte distance mesurée sur la terre ferme.

2Essaie par toi-même

Depuis le point $A$ , on a $AD = 20$ m et $AB = 60$ m le long d'un chemin, $AE = 25$ m et $AC = 75$ m le long de l'autre. $B$ et $C$ sont sur des rives opposées du lac. Sur la terre ferme, on mesure $DE = 18$ m.

Quelle est la largeur du lac, c'est-à-dire la distance $BC$ (en m) ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie la distance mesurée $DE$ par le rapport de similitude :

Du tissu pour une plus grande voile

Les fabricants de voiles agrandissent ou réduisent des modèles de voiles éprouvés. La nouvelle voile est semblable à l'ancienne, mais le tissu nécessaire est multiplié par le rapport des aires $k^2$, pas par $k$.

Exemple:

Une voile dont chaque côté est $1{,}5$ fois plus long demande $1{,}5^2 = 2{,}25$ fois plus de tissu.

3Essaie par toi-même

Une petite voile triangulaire a pour côtés $3$ m, $4$ m et $5$ m et une aire de $6$ m². Une nouvelle voile a pour côtés $6$ m, $8$ m et $10$ m.

Combien de tissu (en m²) faut-il pour la nouvelle voile ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Multiplie l'ancienne aire par le rapport des aires :

Points clés

1Similitude CCC : si les trois paires de côtés homologues ont le même rapport $k$ , les triangles sont semblables
2Similitude CAC : deux paires de côtés de même rapport $k$ et un angle compris de même mesure rendent les triangles semblables
3Quand seules les longueurs sont données, range les côtés du plus court au plus long et associe-les dans cet ordre
4Le rapport de similitude $k$ est côté de l'image sur côté de l'original ; chaque côté manquant vaut $k$ fois son homologue
5Rapport des périmètres $= k$ , rapport des aires $= k^2$
6Choisis le cas selon les données : deux angles, c'est AA ; trois côtés, c'est CCC ; deux côtés et l'angle entre eux, c'est CAC

Questions fréquentes

La congruence CCC exige trois paires de côtés égaux. La similitude CCC exige seulement trois paires de côtés dans le même rapport. La congruence est le cas particulier

k = 1

Glossaire

Similitude CCC: Si les trois paires de côtés homologues de deux triangles sont dans le même rapport, les triangles sont semblables
Similitude CAC: Si deux paires de côtés homologues sont dans le même rapport et que les angles compris sont égaux, les triangles sont semblables
Angle compris: L'angle formé par deux côtés donnés d'un triangle, au sommet où ils se rejoignent
Rapport de similitude: Le rapport $k$ entre un côté d'une figure et le côté homologue d'une figure semblable
Côtés homologues: Côtés qui occupent la même position dans deux figures semblables ou congrues
Rapport des aires: Le rapport des aires de deux figures semblables, égal à $k^2$

Carte des formules

Similitude CCC

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = k \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Les trois rapports des côtés sont égaux (côtés rangés du plus court au plus long)

Similitude CAC

\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = k,\ \angle B = \angle E \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF

Deux rapports des côtés sont égaux et les angles compris sont égaux

Rapport des périmètres

\frac{P_2}{P_1} = k

Les périmètres sont multipliés par le même facteur que les côtés

Rapport des aires

\frac{A_2}{A_1} = k^2

Les aires sont multipliées par le carré du rapport de similitude

Défi du jourUn problème, trois essais

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Agrandir un logo

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Du tissu pour une plus grande voile

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Similitude CCC

Similitude CAC

Rapport des périmètres

Rapport des aires

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