Démonstrations en géométrie analytique

Écris ta démarche pour chaque exercice.

1.
Quelle formule dois-tu utiliser pour prouver que deux côtés d'un quadrilatère ont la même longueur ?
1. a)Formule de la pente
2. b)Formule quadratique
3. c)Formule du milieu
4. d)Formule de distance
Réponse: Formule de distance
La formule de distance $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ calcule la longueur d'un segment entre deux points.
2.
Deux droites sont perpendiculaires si leurs pentes multipliées donnent :
1. a) $-1$
2. b) $0$
3. c)indéfini
4. d) $1$
Réponse: $-1$
Pour que deux droites non verticales et non horizontales soient perpendiculaires, leurs pentes doivent être des réciproques négatives : $m_1 \cdot m_2 = -1$ .
3.
Trouve la pente de la droite passant par $A(2, 3)$ et $B(6, 7)$ .
Réponse: 1
Pente $m = \frac{7-3}{6-2} = \frac{4}{4} = 1$ .
4.
Trouve la distance entre $P(0, 0)$ et $Q(3, 4)$ .
Réponse: 5
Distance $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .
5.
Que signifie le fait que deux droites aient la même pente ?
1. a)Elles sont la même droite
2. b)Elles sont perpendiculaires
3. c)Elles sont parallèles
4. d)Elles se coupent à l'origine
Réponse: Elles sont parallèles
Les droites avec des pentes égales sont parallèles. Elles ne se couperont jamais (sauf si elles sont la même droite).
6.
Trouve le milieu du segment avec extrémités $A(2, 8)$ et $B(6, 4)$ . Entre sous la forme $(x, y)$ .
Réponse: (4, 6)
Milieu $M = \left(\frac{2+6}{2}, \frac{8+4}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{12}{2}\right) = (4, 6)$ .
7.
Prouve que $\overline{AB}$ avec $A(1, 2)$ et $B(5, 6)$ est parallèle à $\overline{CD}$ avec $C(2, 0)$ et $D(6, 4)$ .
Réponse: Both slopes equal 1, so the lines are parallel
1. Calcule la pente de $\overline{AB}$ : $m_{AB} = \frac{6-2}{5-1} = ?$ 1
2. Calcule la pente de $\overline{CD}$ : $m_{CD} = \frac{4-0}{6-2} = ?$ 1
3. Les pentes sont-elles égales ? oui
4. Donc, $\overline{AB}$ et $\overline{CD}$ sont-ils parallèles ? oui
8.
Pour prouver qu'un quadrilatère est un losange à l'aide de coordonnées, que dois-tu montrer ?
1. a)Les quatre côtés ont la même longueur
2. b)Tous les angles sont de 90 degrés
3. c)Les diagonales sont égales
4. d)Les côtés opposés sont parallèles
Réponse: Les quatre côtés ont la même longueur
Un losange est un quadrilatère avec quatre côtés égaux. Utilise la formule de distance pour vérifier que tous les côtés ont la même longueur.
9.
Prouve que les droites avec pentes $m_1 = 2$ et $m_2 = -\frac{1}{2}$ sont perpendiculaires.
Réponse: The product of slopes is -1, so the lines are perpendicular
1. Que vaut $m_1 \cdot m_2$ ? Calcule $2 \times (-\frac{1}{2})$ -1
2. Que doit valoir le produit des pentes pour des droites perpendiculaires ? -1
3. Puisque $m_1 \cdot m_2 = -1$ , les droites sont-elles perpendiculaires ? oui
10.
Trouve la distance entre $R(-2, 3)$ et $S(4, -5)$ .
Réponse: 10
$d = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-5-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ .
11.
Vérifie que le quadrilatère $ABCD$ avec $A(0,0)$ , $B(4,0)$ , $C(4,3)$ , $D(0,3)$ est un rectangle en montrant que les côtés adjacents sont perpendiculaires.
Réponse: ABCD is a rectangle
1. Quelle est la pente de $\overline{AB}$ ? (ligne horizontale) 0
2. Quelle est la pente de $\overline{BC}$ ? (ligne verticale) indéfinie
3. Les lignes horizontales et verticales sont-elles perpendiculaires ? oui
4. $ABCD$ est-il un rectangle ? oui
12.
Prouve que le quadrilatère $PQRS$ avec $P(1,1)$ , $Q(4,5)$ , $R(8,5)$ , $S(5,1)$ est un parallélogramme en montrant que les diagonales se coupent en leur milieu.
Réponse: (4.5, 3)
1. Quel est le milieu de la diagonale $\overline{PR}$ ? $M = ((1+8)/2, (1+5)/2) = ?$ (4.5, 3)
2. Quel est le milieu de la diagonale $\overline{QS}$ ? $M = ((4+5)/2, (5+1)/2) = ?$ (4.5, 3)
3. Les milieux des deux diagonales sont-ils identiques ? oui
4. Donc, $PQRS$ est-il un parallélogramme ? oui
13.
Si $\overline{AB}$ a une pente de $\frac{3}{4}$ , quelle pente doit avoir $\overline{CD}$ pour être perpendiculaire à $\overline{AB}$ ? Entre sous forme de fraction.
Réponse: -4/3
Pour des droites perpendiculaires, $m_1 \cdot m_2 = -1$ . Donc $\frac{3}{4} \cdot m_2 = -1$ , donnant $m_2 = -\frac{4}{3}$ .
14.
Prouve que le quadrilatère avec les sommets $W(0,0)$ , $X(5,0)$ , $Y(5,5)$ , $Z(0,5)$ est un carré.
Réponse: WXYZ is a square
1. Calcule $WX$ avec la formule de distance : 5
2. Calcule $XY$ : 5
3. Calcule $YZ$ : 5
4. Calcule $ZW$ : 5
5. Les quatre côtés sont-ils égaux ? oui
6. Les côtés adjacents sont-ils perpendiculaires ? (horizontal et vertical) oui
7. Cette forme est-elle un carré ? oui
15.
Quelle propriété distingue un rectangle d'un parallélogramme général ?
1. a)Les diagonales se coupent en leur milieu
2. b)Les côtés adjacents sont perpendiculaires
3. c)Les côtés opposés sont égaux
4. d)Les côtés opposés sont parallèles
Réponse: Les côtés adjacents sont perpendiculaires
Un rectangle est un parallélogramme avec des côtés adjacents perpendiculaires (angles droits). Les autres propriétés sont partagées par tous les parallélogrammes.