Le théorème de Pythagore

Apprends la célèbre relation entre les côtés d'un triangle rectangle et utilise-la pour résoudre des problèmes concrets.

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Définition

Le théorème de Pythagore décrit la relation entre les trois côtés d'un triangle rectangle :
a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Où :
  • aa et bb sont les longueurs des deux côtés de l'angle droit, aussi appelés cathètes
  • cc est la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit)
L'hypoténuse est toujours le côté le plus long d'un triangle rectangle.
Idée clé : La somme des carrés des deux côtés les plus courts est égale au carré du côté le plus long.

Essaie tout de suite

Dans un triangle rectangle, quel côté est toujours le plus long ?

Exemples résolus

Un triangle rectangle a des cathètes de longueur 3 et 4. Trouve l'hypoténuse.
1

Écris le théorème de Pythagore

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 → Formule prête
2

Remplace par les valeurs connues

32+42=c23^2 + 4^2 = c^2 → Valeurs insérées
3

Calcule les carrés

9+16=c29 + 16 = c^2 → 25=c225 = c^2
4

Prends la racine carrée

c=25c = \sqrt{25} → c=5c = 5

Erreurs courantes

Utiliser la formule pour des triangles non rectangles

Pourquoi c'est faux: Le théorème de Pythagore fonctionne UNIQUEMENT pour les triangles rectangles (triangles avec un angle de 90°).

Correct: Vérifie toujours que le triangle a un angle droit avant d'appliquer a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

Mettre l'hypoténuse au mauvais endroit

Pourquoi c'est faux: Les élèves ajoutent parfois l'hypoténuse avec une cathète : a2+c2=b2a^2 + c^2 = b^2. Cela donne des réponses fausses.

Correct: L'hypoténuse (cc) est TOUJOURS seule d'un côté : a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2. L'hypoténuse est opposée à l'angle droit.

Oublier de prendre la racine carrée

Pourquoi c'est faux: Après avoir trouvé c2=25c^2 = 25, les élèves écrivent c=25c = 25 au lieu de c=5c = 5.

Correct: Prends toujours la racine carrée comme dernière étape : si c2=25c^2 = 25, alors c=25=5c = \sqrt{25} = 5.

Additionner au lieu de mettre au carré d'abord

Pourquoi c'est faux: Écrire 3+4=73 + 4 = 7 puis mettre au carré, au lieu de 32+423^2 + 4^2.

Correct: Mets au carré CHAQUE cathète individuellement d'abord : 32+42=9+16=253^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25, pas (3+4)2=49(3+4)^2 = 49.

Visuel interactif

Explorateur de triangles

a = 3b = 4c = 5

a² + b² = c²

3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

Change les longueurs des côtés pour voir le théorème de Pythagore en action.

Bac à sable interactif

Calculatrice d'expressions

Essaie ceux-ci :

Historique

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Exercices pratiques

15 exercices
Problème 1 sur 15
Facile
Dans un triangle rectangle, quel côté est toujours le plus long ?

Pourquoi c'est important

Le théorème de Pythagore est l'un des outils les plus utiles en mathématiques :
  • Construction : Les ouvriers l'utilisent pour s'assurer que les angles sont parfaitement droits
  • Navigation : Calcule la distance la plus courte entre deux points
  • Sports : Détermine les distances diagonales sur les terrains
  • Architecture : Conçois des structures stables avec des mesures précises
  • Jeux vidéo : Calcule les distances et les mouvements en 2D et 3D
Ce théorème vieux de 2 500 ans est utilisé quotidiennement par les ingénieurs, architectes et scientifiques du monde entier !

Applications dans le monde réel

Construction et menuiserie

Les ouvriers utilisent la règle 3-4-5 pour vérifier si les coins sont parfaitement droits (90°).

Exemple:

Mesure 3 mètres le long d'un mur et 4 mètres le long de l'autre. Si la diagonale entre les deux repères mesure exactement 5 mètres, le coin forme un angle droit parfait.

1Essaie par toi-même

Une maçonne trace au sol la dalle rectangulaire d'un garage, large de 8 mètres et longue de 15 mètres.

Quelle doit être la longueur de la diagonale pour que les coins soient des angles droits parfaits ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Utilise le théorème de Pythagore : a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Navigation et GPS

Trouver la distance la plus courte (en ligne droite) entre deux endroits.

Exemple:

Si tu marches 400 mètres vers l'est puis 300 mètres vers le nord, la distance directe de retour est 4002+3002=500\sqrt{400^2 + 300^2} = 500 mètres.

2Essaie par toi-même

Un navire navigue 12 km vers le sud, puis 9 km vers l'ouest.

À quelle distance se trouve le navire de son point de départ ?

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Le trajet forme un triangle rectangle.

Mesures de terrains de sport

Calcule les distances diagonales sur les terrains et courts rectangulaires.

Exemple:

Un terrain de football fait 100 mètres de long et 70 mètres de large. La distance diagonale est 1002+702≈122\sqrt{100^2 + 70^2} \approx 122 mètres.

3Essaie par toi-même

Un terrain de basketball rectangulaire fait 28 mètres de long et 15 mètres de large.

Une joueuse court en diagonale d'un coin à l'autre. Quelle distance parcourt-elle ? (Arrondis au nombre entier le plus proche)

Étape 1 : Écris l'expression mathématique

Calcule la diagonale en utilisant le théorème de Pythagore.

Points clés

  • 1Le théorème de Pythagore affirme que dans un triangle rectangle, a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
  • 2Les cathètes (aa et bb) sont les deux côtés qui forment l'angle droit
  • 3L'hypoténuse (cc) est le côté le plus long, opposé à l'angle droit
  • 4Utilise ce théorème pour trouver n'importe quel côté manquant quand tu connais les deux autres
  • 5Triplets pythagoriciens courants : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25

Questions fréquentes

Pythagore était un mathématicien grec qui a vécu vers 500 avant J.-C. Bien que le théorème porte son nom, des connaissances similaires existaient déjà à Babylone et en Inde. On attribue à Pythagore (ou à son école) la première démonstration.
Pythagore était un mathématicien grec qui a vécu vers 500 avant J.-C. Bien que le théorème porte son nom, des connaissances similaires existaient déjà à Babylone et en Inde. On attribue à Pythagore (ou à son école) la première démonstration.
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers qui satisfont le théorème. Exemples : 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17. Tout multiple d'un triplet fonctionne aussi (6-8-10, 9-12-15, etc.).
Oui ! Si les côtés sont 11 et 11, l'hypoténuse est 2≈1,414\sqrt{2} \approx 1,414. Tous les triangles rectangles n'ont pas des côtés entiers.
Oui ! Si trois côtés satisfont a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, le triangle DOIT être rectangle. C'est ce qu'on appelle la réciproque du théorème de Pythagore.

Glossaire

Triangle rectangle
Un triangle avec un angle de 90°
Hypoténuse
Le côté le plus long d'un triangle rectangle, opposé à l'angle droit
Cathète
Autre nom d'un côté de l'angle droit : l'un des deux côtés plus courts d'un triangle rectangle, qui forment l'angle droit
Triplet pythagoricien
Un ensemble de trois entiers positifs aa, bb, cc tels que a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2
Racine carrée
Un nombre qui, multiplié par lui-même, donne le nombre original. 25=5\sqrt{25} = 5 car 5×5=255 \times 5 = 25

Carte des formules

Théorème de Pythagore

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Où $a$ et $b$ sont les cathètes et $c$ est l'hypoténuse

Trouver l'hypoténuse

c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}

À utiliser quand tu connais les deux cathètes et dois trouver l'hypoténuse

Trouver une cathète

a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}

À utiliser quand tu connais l'hypoténuse et une cathète

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